7.7: Centroides usando Integración
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Preguntas Clave
- ¿Cómo se encuentra el centroide de una zona utilizando la integración?
- ¿Qué es una cantidad diferencial?
- ¿Por qué se requieren integrales dobles para\(dA\) elementos cuadrados y integrales simples para\(dA\) elementos rectangulares?
En esta sección utilizaremos la forma integral de (7.4.2) para encontrar los centroides de objetos no homogéneos o formas con límites curvos.
\ begin {align}\ bar x\ amp =\ frac {\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA} {\ int dA}\ amp\ bar y\ amp=\ frac {\ int\ bar {y} _ {\ texto {el}}\ dA} {\ int dA}\ amp\ bar z\ amp=\ frac {\ int\ bar {z} _\ text {el}}\ dA} {\ int dA}\ tag {7.7.1}\ end {align}
Con las ecuaciones integrales estamos rompiendo matemáticamente una forma en un número infinito de piezas infinitesimalmente pequeñas y sumarlas integrándolas. Este poderoso método es conceptualmente idéntico a las sumas discretas que introdujimos primero.
Proceso de Integración
Determinar el centroide de un área mediante integración implica encontrar valores promedio ponderados\(\bar{x}\) y\(\bar{y}\text{,}\) evaluando estas tres integrales,
\ begin {align} A\ amp =\ int dA,\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\ texto {,}\ etiqueta {centroid_eqn}\ tag {7.7.2}\ end {align}
donde
- \(dA\)es un bit diferencial de área llamado el elemento.
- \(A\)es el área total encerrada por la forma, y se encuentra evaluando la primera integral.
- \(\bar{x}_{\text{el}}\)y\(\bar{y}_{\text{el}}\) son las coordenadas del centroide del elemento. Estas son frecuentemente funciones de\(x\) o\(y\text{,}\) no valores constantes.
- \(Q_x\)y\(Q_y\) son los Primeros momentos de Área con respecto al\(y\) eje\(x\) y.
El procedimiento para encontrar centroides con integración puede dividirse en tres pasos:
1. Configura las integrales.
Por lo general, este es el paso más difícil.
Siempre se debe comenzar por dibujar un boceto del problema y revisar la información dada.
Deberá comprender los límites de la forma, que pueden ser líneas o funciones. Es posible que necesites conocer algunos datos matemáticos, como la definición de pendiente, o la ecuación de una línea o parábola. Una función delimitadora puede ser dada como una función de\(x\text{,}\) pero usted la quiere como una función de\(y,\) o viceversa o puede tener una constante que necesitará determinar.
Tendrás que elegir un elemento de área\(dA\text{.}\) Hay varias opciones disponibles, incluyendo franjas verticales, franjas horizontales o elementos cuadrados; o en coordenadas polares, anillos, cuñas o cuadrados. Realmente no hay una elección correcta o incorrecta; todas funcionarán, pero una puede hacer que la integración sea más fácil que otra. La mejor opción depende de la naturaleza del problema, y se necesita algo de experiencia para predecir cuál será.
(a) Elemento cuadrado (b) Tira vertical (c) Franja horizontal
Figura 7.7.1. Elementos Diferenciales de Área
Las dos opciones más comunes para los elementos diferenciales son:
Debe encontrar expresiones para el área\(dA\) y centroide del elemento\((\bar{x}_{\text{el}}, \bar{y}_{\text{el}})\) en términos de las funciones delimitadoras. Es así como convertimos una integral sobre un área en una integral definida que se puede integrar.
Cuando haya establecido todos estos ítems, podrá sustituirlos en (7.7.2) y proceder al paso de integración.
- Si eliges un elemento cuadrado infinitesimal\(dA = dx\;dy\text{,}\) debes integrarlo dos veces, una\(x\) y otra vez\(y\) entre los límites de integración apropiados. La posición del elemento típicamente designado\((x,y)\text{.}\)
- Si eliges tiras rectangulares eliminas la necesidad de integrar dos veces. Se puede seleccionar un elemento vertical con una anchura\(dx\text{,}\) y una altura diferentes que se extiende desde el límite inferior hasta el límite superior, o una tira horizontal con una altura diferencial\(dy\) y una anchura que se extiende desde los límites izquierdo a derecho. De cualquier manera, solo se integra una vez para cubrir el área cerrada.
Al encontrar el área encerrada por una sola función\(y=f(x)\text{,}\)\(x\) y los\(y\) ejes y\((x,y)\) representa un punto en la función y\(dA = y\ dx\) para tiras verticales, o\(dA = x\ dy\) para tiras horizontales.
2. Resuelve las integrales.
Este paso es matemáticas puras.
Aquí te dejamos algunos consejos si estás haciendo integración “a mano”. Sé ordenado, trabaja con cuidado y revisa tu trabajo a medida que avanzas. Usa la notación matemática adecuada: no pierdas el diferencial\(dx\) ni\(dy\) antes del paso de integración, y no lo incluyas después de las palabras. No olvides usar signos iguales entre pasos. Simplifique a medida que avanza y no sustituya números u otras constantes demasiado pronto. Presta atención a las unidades: El área\(A\) debe tener unidades de\([\text{length}]^3\) y los primeros momentos de área\(Q_x\) y\(Q_y\) debe tener unidades de\([\text{length}]^3\text{.}\) Si tus unidades no son consistentes, entonces has cometido un error.
3. Evaluar el centroide.
Después de haber evaluado las integrales tendrá expresiones o valores para\(A\text{,}\)\(Q_x\text{,}\) y\(Q_y\text{.}\) Todo lo que queda es sustituirlos en las ecuaciones definitorias para\(\bar{x}\) y\(\bar{y}\) y simplificar. Observe el\(Q_x\) entra en la\(\bar{y}\) ecuación, y viceversa.
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {Q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {Q_x} {A}\ end {alinear*}
Finalmente, traza el centroide\((\bar{x}, \bar{y})\) en tu boceto y decide si tu respuesta tiene sentido para el área.
- Pensar más profundo 7.7.2. Qué es\(dA\text{?}\)
-
\(dA\)es solo un área, ¡pero una extremadamente pequeña!
Es un ejemplo de una cantidad diferencial —también llamada infinitesimal. Una cantidad diferencial es un valor que es lo más cercano a cero como posiblemente puede ser sin ser realmente cero. Se puede pensar en su valor ya que la\(\frac{1}{\infty}\text{.}\) Integración es el proceso de sumar un número infinito de cantidades infinitesimales.
Algunas otras cantidades diferenciales que veremos en la estática son\(dx\text{,}\)\(dy\) y\(dz\text{,}\) que son incrementos infinitesimales de distancia;\(dV\text{,}\) que es un volumen diferencial;\(dW\text{,}\) un peso diferencial;\(dm\text{,}\) una masa diferencial, y así sucesivamente.
Cualquier producto que involucre una cantidad diferencial es en sí mismo una cantidad diferencial, por lo que si el área de una tira vertical se da para\(dA =y\ dx\) entonces, aunque la altura\(y\) sea un número real, el área es un diferencial porque\(dx\) es diferencial.
Si quieres, puedes pronunciar el\(d\) como “el pedacito de” así se\(dA = y\ dx\) lee “El poco de área es la altura\(y\) veces un poco x.” y\(A = \int dA\) dice “El área total es la suma de los pequeños trozos de área”.
Área de una Spandrel General
En esta sección utilizaremos el proceso de integración descrito anteriormente para calcular el área de la spandrel general mostrada en la Figura 7.7.3. Un spandrel es el área entre una curva y un marco rectangular. Este es un spandrel general porque la curva está definida por la función\(y = k x^n\text{,}\) donde no\(n\) se especifica. Si\(n = 0\) la función es constante, si\(n=1\) entonces es una línea recta,\(n=2\) es una parábola, etc. Puede cambiar el control deslizante para ver el efecto de diferentes valores de\(n\text{.}\)
Comience por identificar las funciones delimitadoras. Del diagrama, vemos que los límites son la función, el\(x\) eje y, la línea vertical\(x = b\text{.}\) La función\(y=kx^n\) tiene una constante\(k\) que no se ha especificado, pero que no es arbitraria. El diagrama indica que la función pasa por el origen y el punto\((a,b)\text{,}\) y sólo hay un valor del\(k\) cual provocará esto. Podemos encontrar\(k\) sustituyendo\(a\) y\(b\) en la función para\(x\) y\(y\) luego resolviendo para ello.
\ begin {alinear*} y\ amp = k x^n\\ b\ amp = k a^n\\ k\ amp =\ frac {b} {a^n}\ end {align*}
A continuación, elija un área diferencial. Para este problema una tira vertical funciona bien. Una tira vertical tiene un ancho\(dx\text{,}\) y se extiende desde el límite inferior hasta el límite superior. Cualquier punto en la curva es\((x,y)\) y un punto directamente debajo de él en el\(x\) eje es\((x,0)\text{.}\) Esto significa que la altura de la tira es\((y-0) = y\) y el área de la tira es (\(\times\)altura base), por lo que
\[ dA =y\ dx\text{.} \nonumber \]
Los límites a la integral son de\(x=0\) la izquierda a la\(x=a\) derecha ya que nos estamos integrando con respecto a\(x\text{.}\)
Con estos detalles establecidos, el siguiente paso es configurar y evaluar la integral\(A = \int dA = \int_0^a y\ dx\text{.}\) Esta es la fórmula familiar a partir del cálculo para el área bajo una curva. Procediendo con la integración
\ begin {alinear*} A\ amp =\ int_0^a y\ dx\ amp\ izquierda (y = kx^n\ derecha)\\ amp =\ int_0^a k x^n dx\ amp\ texto {(integrar)}\\ amp = k\ izquierda. \ frac {x^ {n+1}} {n+1}\ derecha\ vert_0^a\ amp\ texto {(evaluar límites)}\\\ amp = k\ frac {a^ {n+1}} {n+1}\ amp\ izquierda (k =\ frac {b} {a^n}\ derecha)\\ amp =\ frac {b} {a^n}\ frac {a^ {n+1}} {n+1}\ texto {(simplificar)}\\ A\ amp =\ frac {ab} {n+1}\ amp\ texto {(resultado)}\ end {alinear*}
Este resultado no es un número, sino una fórmula general para el área bajo una curva en términos de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(n\text{.}\) Explore con el interactivo, y observe, por ejemplo, que cuando\(n=0\text{,}\) la forma es un rectángulo y\(A = ab\text{;}\) cuando\(n=1\) la forma es un triángulo y el\(A = ab/2\text{;}\) cuándo \(n=2\)la forma es una parábola y\(A = ab/3\) etc. Esta fórmula única da la ecuación para el área bajo toda una familia de curvas.
- Pensar más profundo 7.7.4. ¿Cuál es mejor, elementos horizontales o verticales?
-
Recordemos que el primer momento de área\(Q_x = \int \bar{x}_{\text{el}}\ dA\) es el área ponderada de distancia medida desde un eje deseado. El término distancia\(\bar{x}_{\text{el}}\) es la distancia desde el eje deseado hasta el centroide de cada elemento diferencial de área,\(dA\text{.}\)
Si estás usando una sola integral con un elemento vertical\(dA\)
\[ dA = \underbrace{y(x)}_{\text{height}} \underbrace{(dx)}_{\text{base}} \nonumber \]
y la distancia horizontal desde el\(y\) eje hasta el centroide de\(dA\) sería simplemente
\[ \bar{x}_{\text{el}}=x \nonumber \]
También es posible encontrar\(\bar{x}\) usando un elemento horizontal pero los cálculos son un poco más desafiantes. Primero la ecuación para\(dA\) los cambios a
\[ dA= \underbrace{x(y)}_{\text{height}} \underbrace{(dy)}_{\text{base}}\text{.} \nonumber \]
Adicionalmente, la distancia al centroide de cada elemento,\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) debe medir a la mitad del elemento horizontal. Para este triángulo,
\[ \bar{x}_{\text{el}}=\frac{x(y)}{2}\text{.} \nonumber \]
Encontramos un contraste similar a encontrar la distancia centroidal vertical\(\bar{y}\) donde es más fácil usar un\(dy\) elemento para encontrar\(\bar{y}\) que usar un\(dx\) elemento.
El siguiente interactivo compara tiras horizontales y verticales para una forma delimitada por la parábola\(y^2 = x\) y la línea diagonal\(y = x-2\). Las tiras horizontales son una mejor opción en este caso, porque los límites izquierdo y derecho son fáciles de expresar como funciones de\(y\text{.}\) Si se eligen tiras verticales, la parábola debe expresarse como dos funciones diferentes de\(x\text{,}\) y se necesitan dos integrales para cubrir el área, la primera de \(x=0\)a\(x=1\text{,}\) y el segundo de\(x=1\) a\(x=4\text{.}\)
Figura 7.7.5. Función demostrando buenas y malas elecciones de elementos diferenciales.
Ejemplos
Esta sección contiene varios ejemplos de encontrar centroides por integración, comenzando con formas muy simples y haciéndose cada vez más difíciles. Todos los ejemplos incluyen diagramas interactivos para ayudarle a visualizar el proceso de integración, y para ver cómo\(dA\) se relaciona con\(x\) o\(y\text{.}\)
Los dos primeros ejemplos son un rectángulo y un triángulo evaluados de tres maneras diferentes: con tiras verticales, tiras horizontales, y utilizando doble integración. Los diferentes enfoques producen resultados idénticos, como cabría esperar. Debes tratar de decidir qué método es el más fácil para una situación en particular.
Ejemplo 7.7.6. Centroide de un rectángulo.
Utilice la integración para mostrar que el centroide de un rectángulo con una base\(b\) y una altura de\(h\) está en su centro.
- Responder
-
\ begin {ecuación}\ bar {x} = b/2\ qquad\ bar {y} =h/2\ tag {7.7.3}\ fin {ecuación}
- Solución 1
-
Esta solución demuestra resolver integrales usando tiras rectangulares verticales. Ajuste el control deslizante en el diagrama\(h\;dx\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Las funciones de delimitación en este ejemplo son líneas verticales\(x=0\)\(x=a\text{,}\) y líneas horizontales\(y = 0\) y\(y = h\text{.}\)
La tira se extiende desde\((x,0)\) el\(x\) eje hasta\((x,h)\) la parte superior del rectángulo, y tiene un ancho diferencial\(dx\text{.}\)
El área de la tira es la base por la altura, por lo que
\[ dA = h\ dx\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = h/2\ final {alinear*}
Con franjas verticales la variable de integración es\(x\text{,}\) y los límites\(x=0\) a\(x\) correr de la izquierda a\(x=b\) la derecha. Para un rectángulo, tanto 0 como\(h\) son constantes, pero en otras situaciones,\(\bar{y}_{\text{el}}\) y los límites izquierdo o derecho pueden ser funciones de\(x\text{.}\)
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^b h\ dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ frac {h} {2} (h\ dx)\ amp\ amp =\ int_0^b x\; (h\ dx)\\ amp =\ amp =\ grande [hx\ grande] _0^b\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2}\ int_0^b dx\ amp\ amp = h\ int_0^b x\ dx\\ amp = hb - 0\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2}\ Grande [x\ Grande] _0^b\ amp\ amp = h\ izquierda [\ frac {x^2} {2}\ derecha] _0^b\ A\ amp = bh\ amp q_x\ amp = amp =\ frac {h^2} {2} amp Q_y\ amp =\ frac {b^2 h} {2}\ end {align*}
Como era de esperar, aprendemos que el área de un rectángulo es el tiempo base de la altura. Dado que la fórmula de área es bien conocida, no fue realmente necesario resolver la primera integral. Tenga en cuenta que\(A\) tiene unidades de\([\text{length}]^2\text{,}\)\(Q_x\) y y\(Q_y\) tienen unidades de\([\text{length}]^3\text{.}\)
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {2}\ bigg/ {bh}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {2}\ bigg/ {bh}\\ amp =\ frac {b} {2}\ amp\ amp =\ frac {h} {2}\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 2
-
Esta solución demuestra resolver integrales usando tiras rectangulares horizontales. Ajuste el control deslizante en el diagrama\(b\;dy\) para ver un elemento representativo.
1. Las funciones delimitadoras\(x=0\text{,}\)\(x=a\text{,}\)\(y = 0\) y\(y = h\text{.}\)
La tira se extiende desde\((0,y)\) el\(y\) eje hasta\((b,y)\) la derecha, y tiene una altura diferencial\(dy\text{.}\)
El área de la tira es la base por la altura, por lo que
\[ dA = b\ dy\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = b/2\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y\ final {alinear*}
Con las tiras horizontales la variable de integración es\(y\text{,}\) y los límites\(y=0\) a\(y\) correr desde la parte\(y = h\) inferior hasta la parte superior.
Para un rectángulo, tanto 0 como\(h\) son constantes, pero en otras situaciones,\(\bar{x}_{\text{el}}\) y los límites superior o inferior pueden ser funciones de\(y\text{.}\)
2. Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar. Los resultados son los mismos que encontramos usando tiras verticales.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^h b\ dy\ amp\ amp =\ int_0^h y\ (b\ dy)\ amp\ amp =\ int_0^h\ frac {b} {2} (b\ dy)\\ amp =\ amp =\ grande [por\ grande] _0^h\ amp\ amp = b\ int_0^h y\ dy\ amp\ amp =\ frac {b^2} {2}\ int_0^h dy\\ amp = bh\ amp\ amp = b\\ grande [\ frac {y^2} {2}\ Grande] _0^h\ amp\ amp =\ frac {b^2} {2}\ Grande [y\ Grande] _0^h\ A\ amp = bh\ amp q_x\ amp =\ frac {h^2 b} {2}\ qamp _Y\ amp =\ frac {b^2 h} {2}\ end {alinear*}
3. Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {2}\ bigg/ {bh}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {2}\ bigg/ {bh}\\ amp =\ frac {b} {2}\ amp\ amp =\ frac {h} {2}\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 3
-
Esta solución demuestra resolver integrales usando elementos cuadrados y dobles integrales. Ajuste el control deslizante en el diagrama\(dx\;dy\) para ver un elemento representativo.
1. Ajuste el control deslizante en el diagrama\(dx\;dy\) para ver un elemento representativo.
Las funciones delimitadoras\(x=0\text{,}\)\(x=a\text{,}\)\(y = 0\) y\(y = h\text{.}\)
En lugar de tiras, las integrales se evaluarán utilizando elementos cuadrados con ancho\(dx\) y alto\(dy\) ubicados en\((x,y)\text{.}\)
El área del elemento cuadrado es la base multiplicada por la altura, por lo que
\[ dA = dx\ dy = dy\ dx\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y\ final {alinear*}
Nos integraremos dos veces, primero con respecto a\(y\) y luego con respecto a\(x\text{.}\) Los límites en la primera integral son\(y = 0\) a\(h\) y\(x = 0\) a\(b\) en la segunda. Para un rectángulo, ambos\(b\) y\(h\) son constantes. En otras situaciones, los límites superior o inferior pueden ser funciones de\(x\)\(y\text{.}\)
2. Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar la integral 'interior', luego la integral 'externa'. Los resultados son los mismos que antes.
\ begin {alinear*} A\ amp =\ int dA\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ texto {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^b\ int_0^h dy\ dx\ amp\ amp = int_0^b\ int_0^h y\ dy\ dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ int_0^h x\ dy\ dx\\ amp =\ int_0^b\ izquierda [\ int_0^h dy\ derecha] dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ izquierda [\ int _0^h y\ dy\ derecha] dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\ izquierda [\ int_0^h dy\ derecha] dx\\ amp =\ int_0^b\ grande [y\ grande] _0^h dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ grande [\ frac {y^2} {2}\ grande] _0^h dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\ Grande [y\ Grande] _0^h dx\\ amp = h\ int_0^b dx\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2}\ int_0^b dx\ amp\ amp = h\ int_0^b x\ dx\\ amp = h\ grande [x\ Grande] _0^b\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2}\ Grande [x\ Grande] _0^b\ amp\ amp = h\ grande [\ frac {x^2} {2}\ Grande] _0^b\ A\ amp = hb\ amp q_x\ amp =\ frac {h^2b} {2} amp q_y\ amp =\ frac {b^2 h} {2}\ final {alinear*}
3. Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {2}\ bigg/ {bh}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {2}\ bigg/ {bh}\\ amp =\ frac {b} {2}\ amp\ amp =\ frac {h} {2}\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 4
Ejemplo 7.7.8. Centroide de un triángulo.
Utilice la integración para ubicar el centroide de un triángulo con base\(b\) y altura de\(h\) orientado como se muestra en el interactivo.
Figura 7.7.9.
- Responder
-
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {2} {3} b\ qquad\ bar {y} =\ frac {1} {3} h\ tag {7.7.4}\ end {ecuación}
- Solución 1
-
Esta solución demuestra encontrar el centroide del triángulo usando tiras verticales\(dA = y\ dx\text{.}\) Establecer el control deslizante en el diagrama\(y\;dx\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Las funciones de delimitación en este ejemplo son el\(x\) eje, la línea vertical\(x = b\text{,}\) y la línea recta a través del origen con una pendiente de\(\frac{h}{b}\text{.}\) Usando la forma pendiente-intercepción de la ecuación de una línea, la función de delimitación superior es
\[ y = f(x) = \frac{h}{b} x \nonumber \]
y cualquier punto de esta línea es designado\((x,y)\text{.}\)
La tira se extiende desde\((x,0)\) el\(x\) eje hasta\((x,y)\) sobre la función, tiene una altura de\(y\text{,}\) y un ancho diferencial\(dx\text{.}\) El área de esta tira es
\[ dA = y dx\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y/2\ final {alinear*}
Con las tiras verticales la variable de integración es\(x\text{,}\) y los límites son\(x=0\)\(x=b\text{.}\)
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar. En contraste con el ejemplo rectángulo ambos\(dA\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) son funciones de\(x\text{,}\) y tendrán que ser integrados en consecuencia.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^b y\ dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ frac y} {2} (y\ dx)\ amp\ amp =\ int_0^b x\; (y\ dx)\\ amp =\ int_0^b\ frac {h} {b} {b} x\ dx\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^b\ left (\ frac {h} {b} x\ derecha) ^2\ dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\;\ izquierda (\ frac {h} {b} {b} x\ derecha)\ dx\\ amp =\ frac {h} {b}\ Grande [\ frac {x^2} {2}\ Grande] _0^b\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2 b^2}\ int_0^b x^2 dx\ amp\ amp =\ frac {h} {b}\ int_0^b x^2\ dx\\ amp =\ frac {h} {\ cancel {b}}\ frac {b^ {\ cancel {2}}} {2}\ amp\ amp =\ frac {h^2} {2b^2}\ Grande [\ frac {xfrac {^3} {3 }\ Grande] _0^b\ amp\ amp =\ frac {h} {b}\ izquierda [\ frac {x^3} {3}\ derecha] _0^b\ A\ amp =\ frac {bh} {2}\ amp q_x\ amp =\ frac {h^2 b} {6}\ amp q_y\ amp =\ frac {b^2 h} {3}\ final {alinear*}
Aprendemos que el área de un triángulo es media base por altura. Dado que la fórmula de área es bien conocida, habría sido más eficiente saltarse la primera integral. Tenga en cuenta que\(A\) tiene unidades de\([\text{length}]^2\text{,}\)\(Q_x\) y y\(Q_y\) tienen unidades de\([\text{length}]^3\text{.}\)
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {3}\ big/\ frac {bh} {2}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {6}\ big/\ frac {bh} {2}\\ amp =\ frac {2} {3} b\ amp\ amp =\ frac {1} {3} h\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 2
-
Esta solución demuestra resolver integrales usando tiras rectangulares horizontales. Ajuste el control deslizante en el diagrama\((b-x)\;dy\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Como antes, el triángulo está delimitado por el\(x\) eje, la línea vertical\(x = b\text{,}\) y la línea
\[ y = f(x) = \frac{h}{b} x\text{.} \nonumber \]
Para integrar usando tiras horizontales, la función\(f(x)\) debe invertirse para expresar\(x\) en términos de\(y\text{.}\) Resolver\(f(x)\) para\(x\) da
\[ x = g(y) = \frac{b}{h} y\text{.} \nonumber \]
Los límites en la integral son de\(y = 0\) a\(y = h\text{.}\)
La tira se extiende desde\((x,y)\) hasta\((b,y)\text{,}\) tiene una altura de\(dy\text{,}\) y una longitud de,\((b-x)\text{,}\) por lo tanto, el área de esta tira es
\[ dA = (b-x) dy\text{.} \nonumber \]
Las coordenadas del punto medio del elemento son
\ begin {alinear*}\ bar {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y\\ barra {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x +\ frac {(b-x)} {2} =\ frac {b+x} {2}\ texto {.} \ end {align*}
Estas expresiones se reconocen como el promedio de las\(y\) coordenadas\(x\) y de los puntos finales de la tira.
Un error común del estudiante es usar\(dA = x\ dy\text{,}\) y\(\bar{x}_{\text{el}} = x/2\text{.}\) estos serían correctos si estuvieras buscando las propiedades del área a la izquierda de la curva.
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en las definiciones de\(Q_x\) e\(Q_y\) e integrar. Los resultados son los mismos que encontramos usando tiras verticales. No hay necesidad de evaluar\(A = \int dA\) ya que lo sabemos\(A = \frac{bh}{2}\) para un triángulo.
\ begin {align*} q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^h y\ (b-x)\ dy\ amp\ amp =\ int_0^h\ frac {(b+x)} {2} (b-x)\ dy\\ amp =\ int_0^h\ izquierda (por - xy\ derecha)\ dy\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^h\ izquierda (b^2-x^2\ derecha)\ dy\\ amp =\ int_0^h\ izquierda (por -\ frac {por^2} {h}\ derecha) dy\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^h\ izquierda (b^2 -\ frac {b^2y^2} {h^2}\ derecha) dy\\ amp = b\ grande [\ frac {y^2} {2} -\ frac {y^3} {3h} Grande] _0^h\ amp\ amp =\ frac {b^2} {2}\ Grande [y -\ frac {y^3} {3 h^2}\ Grande] _0^h\\ amp = bh^2\ Grande (\ frac {1} {2} -\ frac {1} {3}\ Grande)\ amp\ amp =\ frac {1} {2} (b^2h)\ Grande (1 -\ frac {1} {3}\ Grande)\\ q_x\ amp =\ frac {h^2 b} {6}\ amp q_y\ amp =\ frac {b^2 h} {3}\ final {alinear*}
Hace que resolver estas integrales sea más fácil si evitas sustituir prematuramente en la función\(x\) y si factorizas constantes siempre que sea posible. Aquí no\(x = g(y)\) se sustituyó hasta la cuarta línea.
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {3}\ big/\ frac {bh} {2}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {6}\ big/\ frac {bh} {2}\\ amp =\ frac {2} {3} b\ amp\ amp =\ frac {1} {3} h\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 3
-
Esta solución demuestra resolver integrales usando elementos cuadrados y dobles integrales. Establezca el control deslizante en el diagrama en\(dx\;dy\) o\(dy\;dx\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Como antes, el triángulo está delimitado por el\(x\) eje, la línea vertical\(x = b\text{,}\) y la línea
\[ y = f(x) = \frac{h}{b} x \quad \text{or in terms of } y, \quad x = g(y) = \frac{b}{h} y\text{.} \nonumber \]
En esta solución se evaluarán las integrales utilizando elementos diferenciales cuadrados\(dA=dy\; dx\) ubicados en\((x,y)\text{.}\)
Con doble integración, se debe tener cuidado de evaluar los límites correctamente, ya que los límites en la integral interna son funciones de la variable de integración de la integral externa. La integral interior esencialmente apila los elementos en tiras y la integral exterior agrega todas las tiras para cubrir el área.
Elegir expresar\(dA\) como\(dy\;dx\) significa que la integral sobre\(y\) se llevará a cabo primero. Los límites en la integral interior son de\(y = 0\) a\(y = f(x)\text{.}\) Entonces, los límites en la integral externa son de\(x = 0\) a\(x=b.\)
El uso\(dA= dx\;dy\) invertiría el orden de integración, por lo que los límites de la integral interna serían de\(x = g(y)\) a\(x = b\text{,}\) y los límites en la integral externa serían\(y=0\) a\(y = h\text{.}\) Cualquiera de las dos opciones dará los mismos resultados — ¡si no cometes ningún error!
El área del elemento cuadrado es la base multiplicada por la altura, por lo que
\[ dA = dy\ dx\text{.} \nonumber \]
El centroide del cuadrado se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y\ final {alinear*}
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar la integral 'interior', luego la integral 'externa'. Los resultados son los mismos que antes.
\ begin {align*} q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ text {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^b\ int_0^ {f (x)} y\ dy\ dx\ amp\ amp =\ int_0^b\ _0^ {f (x)} x\ dy\ dx\\ amp =\ int_0^b\ izquierda [\ int_0^ {f (x)} y\ dy\ derecha] dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\ izquierda [\ int_0^ {f (x)} dy\ derecha] dx\\ amp =\ int_0^ b\ izquierda [\ frac {y^2} {2}\ derecha] _0^ {f (x)} dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\ bigg [y\ bigg] _0^ {f (x)} dx\\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^b\ izquierda [\ frac {h^2} {b^2} x^2\ derecha] dx\ amp\ amp =\ int_0^b x\ izquierda [\ frac {h} {b} x\ derecha] dx\\ amp =\ frac {h^2} {2b^2}\ int_0^b x^2 dx\ amp\ amp =\ frac {h} {b}\ int_0^b x^2\ dx\\ =\ frac {h^ 2} {2b^2}\ Grande [\ frac {x^3} {3}\ Grande] _0^b\ amp\ amp =\ frac {h} {b}\ Grande [\ frac {x^3} {3}\ Grande] _0^b\ q_x\ amp =\ frac {h^2 b} {6}\ amp q_y =\ frac {b^2 h} {3}\ final {alinear*}
3. Encuentra el centroide.
Sustituir Q_x y\(Q_y\) junto con\(A = bh/2\) en las definiciones de centroide da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {b^2h} {3}\ big/\ frac {bh} {2}\ amp\ amp =\ frac {h^2b} {6}\ big/\ frac {bh} {2}\\ amp =\ frac {2} {3} b\ amp\ amp =\ frac {1} {3} h\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 4
Los dos ejemplos siguientes abarcan esferas con funciones para ambos límites,
Ejemplo 7.7.10. Centroide de una semi-parábola.
Encuentra las coordenadas del centroide de un spandrel parabólico delimitado por el\(y\) eje, una línea horizontal que pasa por el punto\((a,b),\) y una parábola con un vértice en el origen y que pasa por el mismo punto. \(a\)y\(b\) son enteros positivos.
Figura 7.7.11.
- Responder
-
\[ \bar{x} = \frac{3}{8} a \qquad \bar{y} \frac{2}{5} b \nonumber \]
- Solución
-
Utilizaremos (7.7.2) con tiras verticales para encontrar el centroide de una espandrel.
1. Configura las integrales.
Determinar las funciones delimitadoras y configurar las integrales suele ser la parte más difícil de problemas como este. Comience dibujando y etiquetando un boceto de la situación.
a. colocar un punto en el primer cuadrante y etiquetarlo\(P=(a,b)\text{.}\) Este punto está en el primer cuadrante y fijo ya que se nos dice que\(a\) y\(b\) son enteros positivos
b. Colocar una línea horizontal\(P\) para hacer el límite superior.
c. Bosquejo en una parábola con un vértice en el origen y paso\(P\) y sombra en el área cerrada.
d. Decidir qué elemento diferencial pretende utilizar. Para este ejemplo optamos por usar tiras verticales, que puedes ver si marcas mostrar tiras en el interactivo anterior. Tiras horizontales\(dA = x\ dy\) darían el mismo resultado, pero habría que definir la ecuación para la parábola en términos de\(y\text{.}\)
Determinar la ecuación de la parábola y expresarla en términos de\(x\) y cualquier constante conocida es un paso crítico. Debe recordar del álgebra que la ecuación general de parábola con un vértice en el origen es\(y = k x^2\text{,}\) donde\(k\) es una constante que determina la forma de la parábola. Si\(k \gt 0\text{,}\) la parábola se abre hacia arriba y si\(k \lt 0\text{,}\) la parábola se abre hacia abajo.
Para encontrar el valor de\(k\text{,}\) sustituir las coordenadas de\(P\) en la ecuación general, luego resolver para\(k\text{.}\)
\ begin {align*} y\ amp = k x^2,\ text {así en} P\\ (b)\ amp = k (a) ^2\\ k\ amp=\ frac {b} {a^2}\ end {align*}
La función resultante de la parábola es
\[ y = y(x) = \frac{b}{a^2} x^2\text{.} \nonumber \]
Para realizar las integraciones, expresar el área y las coordenadas centroidales del elemento en términos de los puntos en la parte superior e inferior de la tira. El área de la tira es su altura multiplicada por su base, por lo que
\[ dA = (b-y)\ dx\text{.} \nonumber \]
Si usaste incorrectamente\(dA = y\ dx\text{,}\) encontrarías el centroide de la espandrel debajo de la curva.
Para las tiras verticales, la parte inferior está\((x,y)\) en la parábola, y la parte superior está directamente arriba en\((x,b)\text{.}\) La tira tiene un ancho diferencial\(dx\text{.}\) El centroide de la tira se ubica en su punto medio y las coordenadas se encuentran promediando las\(y\) coordenadas\(x\) y de la puntos en la parte superior e inferior.
\ begin {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = (x + x) /2 = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = (y+b) /2\ final {alinear*}
Para las franjas verticales, las integraciones son con respecto\(x\text{,}\) y los límites en las integrales están\(x=0\) a la\(x = a\) izquierda a la derecha.
2. Resuelve las integrales. - Ya hemos establecido que\(y(x) = k x^2\) donde\(k = b/a^2\text{.}\) Para simplificar el álgebra, lo mejor es no sustituir prematuramente y (x) y\(k\text{,}\) sino debes sustituir en cualquier función de\(x\) antes de hacer el paso de integración.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\ amp q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}} dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ texto {el}} dA\\ amp =\ int_0^a (b-y)\ dx\ amp\ amp =\ int_0^a\ frac {b+y)} {2} (b-y) dx\ amp\ amp =\ int_0^a x (b-y)\ dx\\ amp =\ int_0^a (b-kx^2)\ dx\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^a (b^2-y^2)\ dx\ amp\ amp\ amp =\ int_o^a x (b-y)\ dx\\ amp =\ izquierda. bx - k\ frac {x^3} {3}\ derecha |_0^a\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^a (b^2- (k x^2) ^2)\ dx\ amp\ amp =\ int_o^a b (k x^2)\ dx\\ amp = ba - k\ frac {a^3} {3}\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^a (b^2-k^2 x^4)\ dx\ amp\ amp =\ int_o^a (bx-k x^3)\ dx\\ amp = ba -\ izquierda (\ frac {b} {a ^2}\ derecha)\ frac {a^3} {3}\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ izquierda [b^2 x - k^2\ frac {x^5} {5}\ derecha] _0^a\ amp\ amp =\ izquierda [\ frac {bx^2} {2} - k\ frac {x^4} {4} derecha] _0^a\\ amp =\ frac {3ba} {3} -\ frac {ba} {3}\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ izquierda [b^2 a -\ izquierda (\ frac {b} {a^2}\ derecha) ^2\ frac {a^5} {5}\ derecha]\ amp\ amp = izquierda [\ frac {ba^2} { 2} -\ izquierda (\ frac {b} {a^2}\ derecha)\ frac {4^4} {4}\ derecha]\\ amp =\ amp =\ frac {2} {3} ba\ amp\ amp =\ frac {1} {2} b^2a\ izquierda [1-\ frac {1} {5}\ derecha]\ amp\ amp = ba^2\ izquierda [\ frac {1} {2} -\ frac {1} {4}\ derecha]\ A\ amp =\ frac {2} {3} ba\ amp q_x\ amp =\ frac {2} {5} b^2a\ amp q_y\ amp =\ frac {1} {4} ba^2\ end {align*}
El área de la espandrel es\(2/3\) del área del rectángulo de cerramiento y los momentos de área tienen unidades de\([\text{length}]^3\text{.}\)
3. Encuentra el centroide. - Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {align*}\ bar {x}\ amp =\ frac {q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp = {q_x} {A}\\ amp =\ frac {ba^2} {4}\ big/\ frac {2 ba} {3}\ amp\ amp =\ frac {2 b^2a} {5}\ big/\ frac {2 ba} {3}\\\ amp =\ frac {3} {8} a\ amp\ amp =\ frac {2} {5} b\ text {.} \ end {align*}
\(\bar{x}\)es\(3/8\) del ancho y\(\bar{y}\) es\(2/5\) de la altura del rectangl que lo encierra
Ejemplo 7.7.12. Centroide de un área entre dos curvas.
Utilice la integración para localizar el centroide del área delimitada por
\[ y_1 = \dfrac{x}{4} \text{ and }y_2 = \dfrac{x^2}{2}\text{.} \nonumber \]
Encuentra la ubicación\((\bar{x}\text{, }\bar{y})\) del centroide del área sombreada entre las dos curvas de abajo.
- Responder
-
\ begin {ecuación}\ bar {x} =\ frac {1} {4}\ qquad\ bar {y} =\ frac {1} {20}\ tag {7.7.5}\ end {ecuación}
- Solución 1
-
Esta solución demuestra encontrar el centroide del área entre dos funciones usando tiras verticales\(dA = y\ dx\text{.}\) Establecer el deslizador en el diagrama\(h\;dx\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Las funciones de delimitación en este ejemplo son el\(x\) eje, la línea vertical\(x = b\text{,}\) y la línea recta a través del origen con una pendiente de\(\frac{h}{b}\text{.}\) Usando la forma pendiente-intercepción de la ecuación de una línea, la función de delimitación superior es
\[ y = f(x) = \frac{h}{b} x \nonumber \]
y cualquier punto de esta línea es designado\((x,y)\text{.}\)
La tira se extiende desde\((x,0)\) el\(x\) eje hasta\((x,y)\) sobre la función, tiene una altura de\(y\text{,}\) y un ancho diferencial\(dx\text{.}\) El área de esta tira es
\[ dA = y dx\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y/2\ final {alinear*}
Con las tiras verticales la variable de integración es\(x\text{,}\) y los límites son\(x=0\)\(x=b\text{.}\)
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar. En contraste con el ejemplo rectángulo ambos\(dA\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) son funciones de\(x\text{,}\) y tendrán que ser integrados en consecuencia.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\\ amp =\ int_0^ {1/2} (y_1 - y_2)\ dx\\ amp =\ int_0^ {1/2}\ izquierda (\ frac {x} {4} -\ frac {x^2} {2}\ derecha)\ dx\\ amp =\ grande [\ frac {x^2} 8} -\ frac {x^3} {6}\ Grande] _0^ {1/2}\\ amp =\ grande [\ frac {1} {32} -\ frac {1} {48}\ Grande]\\ A\ amp =\ frac {1} {96}\ end {align*}
\ begin {align*} q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ text {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^ {1/2}\ left (\ frac {y_1+y_2} {2}\ derecha) (y_1-y_2)\ dx\ amp\ amp =\ int_0^ {1/2} x (y_1-y_2)\ dx\\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^ {1/2}\ izquierda (y_1^2 - y_2^2\ derecha)\ dx\ amp\ amp =\ int_0^ {1/2} x\ izquierda (\ frac {x } {4} -\ frac {x^2} {2}\ derecha)\ dx\\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^ {1/2}\ izquierda (\ frac {x^2} {16} -\ frac {x^4} {4}\ derecha)\ dx\ amp\ amp =\ int_0^ {1/2}\ izquierda (\ frac {x^2} {4} -\ frac {x^3} {2}\ derecha)\ dx\\ amp =\ frac {1} {2}\ Grande [\ frac {x^3} {48} -\ frac {x^5} {20}\ Grande] _0^ {1/2}\ amp\ amp =\ izquierda [\ frac {x^3} {12} -\ frac {x^4} {8}\ derecha] _ 0^ {1/2}\\ amp =\ frac {1} {2}\ Grande [\ frac {1} {384} -\ frac {1} {640}\ Grande]\ amp\ amp =\ grande [\ frac {1} {96} -\ frac {1} {128}\ Grande]\ Q_x\ amp =\ frac {1} {1920}\ amp _Y\ amp =\ frac {1} {384}\ final {alinear*}
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {Q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {1} {384}\ big/\ frac {1} {96}\ amp\ amp =\ frac {1} {1920}\ big/\ frac {} {96}\\ barra {x}\ amp=\ frac {1} {4}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {1} {20}\ texto {.} \ end {align*}
- Solución 2
-
Esta solución demuestra encontrar el centroide del área entre dos funciones usando tiras verticales\(dA = y\ dx\text{.}\) Establecer el deslizador en el diagrama\(h\;dx\) para ver un elemento representativo.
1. Configura las integrales.
Las funciones de delimitación en este ejemplo son el\(x\) eje, la línea vertical\(x = b\text{,}\) y la línea recta a través del origen con una pendiente de\(\frac{h}{b}\text{.}\) Usando la forma pendiente-intercepción de la ecuación de una línea, la función de delimitación superior es
\[ y = f(x) = \frac{h}{b} x \nonumber \]
y cualquier punto de esta línea es designado\((x,y)\text{.}\)
La tira se extiende desde\((x,0)\) el\(x\) eje hasta\((x,y)\) sobre la función, tiene una altura de\(y\text{,}\) y un ancho diferencial\(dx\text{.}\) El área de esta tira es
\[ dA = y dx\text{.} \nonumber \]
El centroide de la tira se ubica en su punto medio por lo que, por inspección
\ comenzar {alinear*}\ bar {x} _ {\ texto {el}}\ amp = x\\ barra {y} _ {\ texto {el}}\ amp = y/2\ final {alinear*}
Con las tiras verticales la variable de integración es\(x\text{,}\) y los límites son\(x=0\)\(x=b\text{.}\)
2. Resuelve las integrales.
Sustituir\(dA\text{,}\)\(\bar{x}_{\text{el}}\text{,}\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) en (7.7.2) e integrar. En contraste con el ejemplo rectángulo ambos\(dA\) y\(\bar{y}_{\text{el}}\) son funciones de\(x\text{,}\) y tendrán que ser integrados en consecuencia.
\ begin {align*} A\ amp =\ int dA\\ amp =\ int_0^y (x_2 - x_1)\ dy\\ amp =\ int_0^ {1/8}\ izquierda (4y -\ sqrt {2y}\ derecha)\ dy\\ amp =\ grande [2y^2 -\ frac {4} {3} y^ {3/2}\ Grande] _0^ {1/8}\\ amp =\ Grande [\ frac {1} {32} -\ frac {1} {48}\ Grande]\\ A\ amp =\ frac {1} {96}\ final {alinear*}
\ begin {align*} q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}}\ dA\ amp q_y\ amp =\ int\ bar {x} _ {\ text {el}}\ dA\\ amp =\ int_0^ {1/8} y (x_2-x_1)\ dy\ amp\ amp =\ int_0^ {1/8}\ left (\ frac {x_2+x_1} {2}\ derecha) (x_2-x_1)\ dy\\ amp =\ int_0^ {1/8} y\ izquierda (\ sqrt {2y} -4y\ derecha)\ dy\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^ {1/8}\ izquierda (x_2^2 - x_1^2\ derecha)\ dy\\ amp =\ int_0^ {1/8}\ izquierda (\ sqrt {2} y^ {3/2} - 4y^2\ derecha)\ dy\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ int_0^ {1/8}\ izquierda (2y -16 y^2\ derecha)\ dy\\ amp =\ grande [\ frac {2\ sqrt {2}} {5} y^ {5/2} -\ frac {4} {3} y^3\ Grande] _0^ {1/8}\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ izquierda [y^2-\ frac {16} {3} y^3\ derecha] _0^ {1/8}\\ amp =\ grande [\ frac ac {1} { 320} -\ frac {1} {384}\ Grande]\ amp\ amp =\ frac {1} {2}\ Grande [\ frac {1} {64} -\ frac {1} {96}\ Grande]\ Q_x\ amp =\ frac {1} {1920}\ amp Q_y\ amp =\ frac {1} {384}\ end {1920}\ amp Q_y\ amp =\ frac {1} {384}\ end {align*}
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {x}\ amp =\ frac {Q_y} {A}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {q_x} {A}\\ amp =\ frac {1} {384}\ big/\ frac {1} {96}\ amp\ amp =\ frac {1} {1920}\ big/\ frac {} {96}\\ barra {x}\ amp=\ frac {1} {4}\ amp\ bar {y}\ amp =\ frac {1} {20}\ texto {.} \ end {align*}
El último ejemplo demuestra el uso de doble integración con coordenadas polares.
Ejemplo 7.7.14. Centroide de un semicírculo.
Encuentra las coordenadas de la mitad superior de un círculo con radio\(r\text{,}\) centrado en el origen.
- Responder
-
El centroide de un semicírculo con radio\(r\text{,}\) centrado en el origen es
\ begin {ecuación}\ bar {x} = 0\ qquad\ bar {y} =\ frac {4r} {3\ pi}\ tag {7.7.6}\ end {ecuación}
- Solución
-
Utilizaremos (7.7.2) con coordenadas polares\((\rho, \theta)\) para resolver este problema porque son un ajuste natural para la geometría. En coordenadas polares, la ecuación para el semicírculo delimitador es simplemente
\[ \rho = r \text{.} \nonumber \]
Normalmente esto implica evaluar tres integrales pero como verás, podemos tomar algunos atajos en este problema. De lo contrario seguiremos el mismo procedimiento que antes.
1. Configura las integrales.
Divida el semicírculo en elementos diferenciales “rectangulares” de área\(dA\text{,}\) como se muestra en el interactivo cuando selecciona
Mostrar elemento. Esta forma no es realmente un rectángulo, pero en el límite como\(d\rho\) y\(d\theta\) acercarse a cero, no hace ninguna diferencia.La altura radial del rectángulo es\(d\rho\) y el ancho tangencial es la longitud del arco\(\rho d\theta\text{.}\) El producto es el área diferencial\(dA\text{.}\)
\ begin {ecuación} dA = (d\ rho) (\ rho\ d\ theta) =\ rho\ d\ rho\ d\ theta\ text {.} \ tag {7.7.7}\ fin {ecuación}
El elemento diferencial se encuentra\((\rho, \theta)\) en coordenadas polares. Expresar este punto en coordenadas rectangulares da
\ begin {align*}\ bar {x} _ {\ text {el}}\ amp =\ rho\ cos\ theta\\ bar {y} _ {\ text {el}}\ amp =\ rho\ sin\ theta\ texto {.} \ end {align*}
2. Resuelve las integrales.
El área de un semicírculo es bien conocida, por lo que no hay necesidad de evaluar realmente\(A = \int dA\text{,}\)
\[ A = \int dA = \frac{\pi r^2}{2}\text{.} \nonumber \]
Dado que el semicírculo es simétrico alrededor del\(y\) eje,
\[ Q_y = \int \bar{x}_{\text{el}}\; dA= 0\text{.} \nonumber \]
Esto se debe a que cada elemento de área a la derecha del\(y\) eje está equilibrado por un elemento correspondiente a la misma distancia la izquierda que se cancelan entre sí en la suma.
Todo lo que queda es evaluar la integral\(Q_x\) en el numerador de
\[ \bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{\bar{y}_{\text{el}}\; dA}{A} \nonumber \]
El área diferencial\(dA\) es producto de dos cantidades diferenciales, necesitaremos realizar una doble integración.
\ begin {align*} q_x\ amp =\ int\ bar {y} _ {\ text {el}} dA\\\ amp =\ int_0^\ pi\ int_0^r (\ rho\ sin\ theta)\ rho\; d\ rho\; d\ theta\\ amp =\ int_0^\ pi\ sin\ theta [\ int_0^ 0^r\ rho^2\; d\ rho\ derecha] d\ theta\\ amp =\ int_0^\ pi\ sin\ theta\ izquierda [\ frac {\ rho^3} {3}\ derecha] _0^r\; d\ theta\\ amp =\ frac {r^3} {3}\\ int_0^\ pi\ sin\ theta\; d\ theta\\ amp =\ frac {r^3} {3}\ izquierda [-\ cos\ theta\ derecha] _0^\ pi\\ amp = -\ frac {r^3} {3}\ izquierda [\ cos\ pi -\ cos 0\ derecha]\\ amp = -\ frac {r^3} {3}\ izquierda [(-1) - (1)\ derecha]\\ Q_x\ amp =\ frac {2} {3} r^3\ end {alinear*}
3. Encuentra el centroide.
Sustituir los resultados en las definiciones da
\ begin {alinear*}\ bar {y}\ amp =\ frac {Q_x} {A}\\\ amp =\ frac {2 r^3} {3}\ bigg/\ frac {\ pi r^2} {2}\\ amp =\ frac {4r} {3\ pi}\ texto {.} \ end {align*}
Así\(\bar{x}=0\) y yace sobre el eje de simetría, y\(\bar{y} =\dfrac{4r}{3\pi}\) por encima del diámetro.
Este resultado se puede extender señalando que un semicírculo se refleja en cuartos de círculos a cada lado del\(y\) eje. Estos deben tener el mismo\(\bar{y}\) valor que el semicírculo. Además, los cuartos de círculo son simétricos alrededor de una\(\ang{45}\) línea, por lo que para el cuarto de círculo en el primer cuadrante,
\[ \bar{x} = \bar{y} = \frac{4r}{3\pi}\text{.} \nonumber \]