7.8: Cargas Distribuidas
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Preguntas Clave
- ¿Qué es una carga distribuida?
- Dada una carga distribuida, ¿cómo encontramos la magnitud de la fuerza concentrada equivalente?
- Dada una carga distribuida, ¿cómo encontramos la ubicación de la fuerza concentrada equivalente?
Las cargas distribuidas son fuerzas que se extienden sobre una longitud, área o volumen. La mayoría de las cargas del mundo real se distribuyen, incluido el peso de los materiales de construcción y la fuerza del viento, el agua o la tierra que empujan sobre una superficie. Presión, carga, densidad de peso y tensión son todos los nombres comúnmente utilizados para cargas distribuidas. La carga distribuida es una fuerza por unidad de longitud o fuerza por unidad de área representada con una serie de vectores de fuerza unidos en la parte superior, y se designará como\(w(x)\) para indicar que la carga distribuida es una función de\(x\text{.}\)
Por ejemplo, aunque una estantería de libros podría tratarse como una colección de fuerzas individuales, es más común y conveniente representar el peso de los libros como una carga uniformemente distribuida. Una carga uniformemente distribuida es una carga que tiene el mismo valor en todas partes, es decir,\(w(x) = C\text{,}\) una constante
a) Una estantería de libros con varios pesos.
(b) Cada libro representado como un peso individual
(c) Todos los libros representados como una carga distribuida.
Figura 7.8.1.
Podemos usar las herramientas computacionales discutidas en los capítulos anteriores para manejar cargas distribuidas si primero las convertimos en fuerzas puntuales equivalentes. Esta sustitución equivalente debe ser la resultante de la carga distribuida, como se discute en la Sección 4.7. Recordemos que esta fuerza resultante tiene el mismo efecto sobre el objeto que tuvo el sistema original de fuerzas.
Para ser equivalente, la fuerza puntual debe tener un:
- Magnitud igual al área o volumen bajo la función de carga distribuida.
- Línea de acción que pasa por el centroide de la distribución de carga distribuida.
En las dos secciones siguientes se explorará cómo encontrar la magnitud y ubicación de la fuerza puntual equivalente para una carga distribuida.
Magnitud Equivalente
La magnitud de la carga distribuida de los libros es el peso total de los libros dividido por la longitud de la estantería
\[ w(x) = \frac{\Sigma W_i}{\ell}\text{.} \nonumber \]
Representa el peso promedio del libro por unidad de longitud. De igual manera, el peso total de los libros es igual al valor de la carga distribuida multiplicada por la longitud de la repisa o
\ begin {align*} W\ amp = w (x)\ ell\\ text {peso total}\ amp =\ frac {\ texto {peso}} {\ text {length}}\ times\\ text {longitud de estante}\ end {align*}
Esta carga total es simplemente el área bajo la curva\(w(x)\text{,}\) y tiene unidades de fuerza. Si la función de carga no es uniforme, puede ser necesaria la integración para encontrar el área.
Ejemplo 7.8.2. Estantería.
Un libro en rústica común es aproximadamente\(\cm{3}\) grueso y pesa aproximadamente\(\N{3}\text{.}\)
¿Cuál es la función de carga\(w(x)\) para una estantería llena de libros de bolsillo y cuál es el peso total de los libros de bolsillo en una\(\m{6}\) repisa?
- Responder
-
\ begin {align*} w (x)\ amp =\ Nperm {100}\\ W\ amp =\ N {600}\ end {align*}
- Solución
-
El peso de un libro en rústica sobre su grosor es la intensidad de carga\(w(x)\text{,}\) por lo
\[ w(x) = \frac{\N{3}}{\cm{3}}= \Nperm{100}\text{.} \nonumber \]
El peso total es el área bajo el diagrama de intensidad de carga, que en este caso es un rectángulo. Entonces, una\(\m{6}\) estantería cubierta con libros de bolsillo tendría que apoyar
\[ W = w(x) \ell = (\Nperm{100})(\m{6}) = \N{600}\text{.} \nonumber \]
La línea de acción de esta carga equivalente pasa por el centroide de la carga rectangular, por lo que actúa en\(x = \m{3}\text{.}\)
Ubicación Equivalente
Para utilizar una carga distribuida en un problema de equilibrio, se debe conocer la magnitud equivalente para sumar las fuerzas, y también conocer la posición o línea de acción para sumar los momentos.
La línea de acción de la fuerza equivalente actúa a través del centroide del área bajo la curva de intensidad de carga. Para una carga rectangular, el centroide está en el centro. Conocemos las coordenadas verticales y horizontales de este centroide, pero como la línea de acción de la fuerza puntual equivalente es vertical y podemos deslizar una fuerza a lo largo de su línea de acción, la coordenada vertical del centroide no es importante en este contexto.
De manera similar, para una carga distribuida triangular —también llamada carga uniformemente variable — la magnitud de la fuerza equivalente es el área del triángulo,\(bh/2\) y la línea de acción pasa a través del centroide del triángulo. La distancia horizontal desde el extremo más grande del triángulo hasta el centroide es\(\bar{x} = b/3\text{.}\)
Esencialmente, estamos encontrando el punto de equilibrio para que el momento de la fuerza a la izquierda del centroide sea el mismo que el momento de la fuerza a la derecha.
Los ejemplos a continuación ilustrarán cómo se puede combinar el cálculo tanto de la magnitud como de la ubicación de la fuerza puntual equivalente para una serie de cargas distribuidas.
Ejemplo 7.8.3. Carga que varía uniformemente.
Encuentre la fuerza puntual equivalente y su punto de aplicación para la carga distribuida mostrada.
- Responder
-
La carga equivalente es la fuerza\(\lb{30}\) hacia abajo que actúa\(\ft{4}\) desde el extremo izquierdo.
- Solución 1
-
La carga equivalente es el 'área' bajo la curva de intensidad de carga triangular y actúa recto hacia abajo en el centroide del triángulo. Esta carga triangular tiene una\(\ft{6}\) base y una\(\lbperft{10}\) altura por lo que
\[ W = \frac{1}{2} b h =\frac{1}{2}(\ft{6})(\lbperft{10}) =\lb{30}. \nonumber \]
y el centroide se localiza\(2/3\) del camino desde el extremo izquierdo así,
\[ \bar{x} = \ft{4}\text{.} \nonumber \]
- Solución 2
Las cargas distribuidas pueden ser de cualquier forma geométrica o estar definidas por una función matemática. Si la carga es una combinación de formas comunes, utilice las propiedades de las formas para encontrar la magnitud y ubicación de la fuerza puntual equivalente utilizando los métodos de la Sección 7.5. Si la carga distribuida es definida por una función matemática, integre para encontrar su área utilizando los métodos de la Sección 7.7.
Algunas cosas a tener en cuenta:
- Puedes incluir la carga distribuida o la fuerza puntual equivalente en tu diagrama de cuerpo libre, ¡pero no ambas!
- Ya que estás calculando un área, puedes dividir el área en cualquier forma que encuentres conveniente. Entonces, si no recuerda el área de un trapecio de la parte superior de tu cabeza, divídalo en un rectángulo y un triángulo.
Aplicaciones de Carga Distribuida
Una vez que convierta las cargas distribuidas a la fuerza puntual resultante, puede resolver el problema de la misma manera que tiene otros problemas en capítulos anteriores de este libro. Tenga en cuenta que si bien las fuerzas resultantes son externamente equivalentes a las cargas distribuidas, no son internamente equivalentes, como se mostrará en el Capítulo 8.
Ejemplo 7.8.4. Viga en voladizo.
Encuentre las reacciones en la conexión fija en\(A\text{.}\)
- Responder
-
\ begin {alinear*} a_x\ amp = 0\\ a_Y\ amp =\ N (16)\\ M\ amp =\ Nm {64}\ final {alinear*}
- Solución
-
Dibuje un diagrama de cuerpo libre con la carga distribuida reemplazada por una carga concentrada equivalente, luego aplique las ecuaciones de equilibrio.
\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp a_X\ amp = 0\\ Sigma F_y\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp a_Y\ amp =\ N {16}\\ Sigma M_A\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp M_A\ amp = (\ N {16}) (\ m {4})\\\ amp\ amp\ amp\ amp\ amp\ amp =\ Nm {64}\ final {alinear*}
Ejemplo 7.8.5. Reacciones de haz.
Encuentra las reacciones en los soportes para el haz mostrado.
- Responder
-
\[ B_y = F_y = \lb{295}, B_x = 0 \nonumber \]
- Solución 1
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\ begin {align*}\ sum M_B\ amp = 0\\ + (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {5}) - (\ lb {100}) (\ inch {6})\\ - (\ lb {150}) (\ inch {12}) - (\ lb {100}) (\ inch {18})\\ + (f_y) (\ inch {24}) - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) (\ inch {29})\ amp = 0\ fila derecha\ amp f_y\ amp =\ lb {295}\\\ suma f_y\ amp = 0\ - (\ lbperin {12}) (\ inch {10}) + b_y -\ lb {100} -\ lb {150}\ -\ lb {100} +f_y - (\ lbperin {12}) (\ inch {10})\ amp = 0\ fila derecha\ amp b_y\ amp =\ lb {295}\\\ suma f_x\ amp = 0\ fila derecha\ amp b_x\ amp = 0\ end {align*}
- Solución 2
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1. Las dos cargas distribuidas son\((\inch{10}) (\lbperin{12}) = \lb{120}\) cada una.
2. La fuerza descendente total es
\[ W = (2 \times \lb{120}) + (2 \times \lb{100}) + \lb{150} = \lb{590} \nonumber \]
3. Dado que la viga y la carga son soportes simétricos\(B\) y\(F\) comparten la carga por igual, por lo
\ comenzar {reunir*} b_y = f_y =\ frac {\ lb {590}} {2} =\ lb {295}\ final {reunir*}
4. No hay cargas horizontales que actúen sobre la viga, por lo que
\ begin {reunir*} b_x =0\ end {reunir*}