13: Trigonometría

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 84898

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

La trigonometría relaciona ángulos y longitudes de triángulos. La Figura A.1 muestra un triángulo en ángulo recto y convenciones para etiquetar sus esquinas, lados y ángulos. A continuación, suponemos que todos los triángulos tienen al menos un ángulo recto (90 grados o π/2) ya que todos los triángulos planos pueden ser diseccionados en dos triángulos rectos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Izquierda: Un triángulo en ángulo recto con notación común. Derecha: Relaciones trigonométricas en el círculo unitario y ángulos correspondientes a los cuatro cuadrantes.

La suma de todos los ángulos en cualquier triángulo es 180 grados o 2π, o

\[\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ}\]

Si el triángulo está en ángulo recto, la relación entre los bordes a, b y c, donde c es el borde opuesto al ángulo recto es

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]

La relación entre ángulos y longitudes de borde es capturada por las funciones trigonométricas:

\[\sin\alpha =\frac{opposite}{hypothenuse}=\frac{a}{c}\]

\[\cos\alpha =\frac{adjacent}{hypothenuse}=\frac{b}{c}\]

\[\tan\alpha =\frac{opposite}{adjacent}=\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha }=\frac{a}{b}\]

Aquí, la hipotenusa es el lado del triángulo que es opuesto al ángulo recto. Los adyacentes y opuestos son relativos a un ángulo específico. Por ejemplo, en la Figura 13.1, el adyacente del ángulo α es el lado b y lo opuesto de α es el borde a.

Las relaciones entre un solo ángulo y las longitudes de borde son capturadas por la ley de los cosenos:

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha \]