15.2: Probabilidades Condicionales y Regla Bayes

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Sea A y B eventos aleatorios con probabilidades P (A) y P (B). Ahora podemos decir que la probabilidad P (A B) de que sucedan los eventos A y B viene dada por

\[P(A\cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)\]

Aquí, P (B|A) es la probabilidad condicional de que B suceda, sabiendo que sucede el evento A. De igual manera, P (A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que sucede B.

La Regla de Bayes relaciona una probabilidad condicional con su inversa. Es decir, si conocemos la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B está sucediendo, podemos calcular la probabilidad de que ocurra B dado que A está sucediendo. La regla de Bayes puede derivarse de la simple observación de que la probabilidad de que A y B sucedan juntos (P (AB)) viene dada por P (A) P (B|A) o la probabilidad de que A suceda y la probabilidad de que B suceda dado que A sucede (Ecuación C.4). De esto, derivar la regla de Bayes es sencillo:

\[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}\]

En palabras, si conocemos la probabilidad de que B suceda dado que A sucede, podemos calcular que A sucede dado que B sucede.