15.3: Suma de dos procesos aleatorios

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Sea X e Y las variables aleatorias asociadas con los números mostrados en dos dados (ver arriba), y Z = X + Y. Siendo P (X = x), P (Y = y) y P (Z = z) las probabilidades asociadas con las variables aleatorias que toman valores específicos x, y o z. Dado z = x + y, el evento Z = z es la unión de los eventos independientes X = k e Y = z − k. Por lo tanto, podemos escribir

\[P(Z=z)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }P(X=k)P(Y=z-k)\]

que es la definición exacta de una convolución, también escrita como

\[P(Z)=P(X)\star P(Y)\]

El cálculo numéricamente de la convolución siempre funciona, y se puede hacer analíticamente para algunas distribuciones de probabilidad. Convenientemente, la convolución de dos distribuciones gaussianas es nuevamente una distribución gaussiana con una varianza que corresponde a la suma de las varianzas de los gaussianos individuales.