16.2: Adición de Vector

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Lo más común que tendremos que hacer con muchas cantidades vectoriales es sumarlas. La suma de estas cantidades vectoriales es la cantidad neta del vector. Por ejemplo, si tenemos un número de fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la suma de esas fuerzas se conoce como la fuerza neta.

La suma de cualquier número de vectores se puede determinar geométricamente usando la siguiente estrategia. Comenzando con uno de los vectores como base, redibujamos el segundo vector para que la cola del segundo vector comience en la punta del primer vector. Podemos repetir esto con un tercer vector, un 4° vector y así sucesivamente, poniendo la cola de cada vector en la punta del último vector hasta que hayamos agregado tomando en cuenta todos los vectores. Una vez que todos los vectores se dibujan punta a cola, la suma de todos los vectores será el vector que conecta la cola del primer vector a la punta del último vector.

El primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales. Un vector F_1 se extiende hacia la derecha y bruscamente hacia arriba desde el origen. Un segundo vector F_2 se coloca con su cola en la cabeza de F_1, y se extiende más hacia la derecha y se coloca hacia arriba. El vector F_net que es la suma de estos dos vectores se extiende desde el origen hasta la cabeza del vector F_2. — Figura\(\PageIndex{1}\): La adición geométrica de vectores implica poner los vectores punta a cola como se muestra arriba.

En la práctica, la forma más fácil de determinar la magnitud y dirección de la suma de los vectores es sumar los vectores en forma de componente. Esto comienza separando cada vector en\(x\)\(y\), y posiblemente\(z\) componentes. Como podemos ver en el diagrama a continuación, el\(x\) componente de la suma de todos los vectores será la suma de todos los\(x\) componentes de los vectores individuales. De igual manera, los\(z\) componentes\(y\) y de la suma de los vectores serán la suma de todos los\(y\) componentes y la suma de todos los\(z\) componentes respectivamente.

El conjunto de vectores de la Figura 1 anterior se redibuja para incluir los componentes x e y de cada vector. El componente x de F_net es igual a F_1x + F_2x, y el componente y de F_net es igual a F_1y + F_2y. — Figura\(\PageIndex{2}\): Al sumar todos los componentes en una dirección dada, podemos encontrar el componente de la suma de los vectores en esa dirección.

Una vez que encontremos la suma de los componentes en cada dirección, podemos dejar el vector neto en forma de componente, o bien podemos usar el teorema de Pitágoras y las funciones tangentes inversas para convertir el vector de nuevo en una magnitud y dirección como se detalla en la página anterior sobre vectores.

Figura\(PageIndex{1}\): Conferencia vide que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/0tv92MX2_ro.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determine la suma de los vectores de fuerza en el siguiente diagrama. Dejar la suma en forma de componente.

Los vectores tridimensionales irradian desde un solo punto. Un vector, con magnitud 5 kN, apunta directamente a la derecha. Un segundo vector, con magnitud 3 kN, apunta hacia arriba y hacia la derecha a 45° por encima de la horizontal. El tercer vector, con magnitud 6 kN, apunta hacia abajo y hacia la izquierda a 30° en el sentido de las agujas del reloj desde la vertical. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Los vectores tridimensionales irradian desde un solo punto.

Solución:: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/FwC8ntactEQ.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determine la suma de los vectores de fuerza en el siguiente diagrama. Dar la suma en términos de una magnitud y una dirección.

Los vectores tridimensionales irradian desde un solo punto. Un vector, con magnitud 5 kN, apunta directamente hacia la parte inferior de la página. Un segundo vector, con magnitud 6 kN, apunta hacia abajo y hacia la izquierda a 30° en el sentido de las agujas del reloj desde la vertical. El tercer vector, con magnitud 5 kN, es 90° en el sentido de las agujas del reloj desde ese segundo vector. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Los vectores tridimensionales irradian desde un solo punto.

Solución:: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/Jj8mCV7rdas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Determine la suma de los vectores de fuerza en el siguiente diagrama. Dejar la suma en forma de componente.

Dos vectores irradian desde el origen de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, con los ejes x e y dispuestos en el plano de la pantalla y el eje z extendiéndose fuera de la pantalla. El vector F_1, con una magnitud de 600 lbs, apunta 30° fuera del plano XY hacia el espectador y luego apunta hacia arriba y hacia la derecha a 45° por encima del plano xz. El vector F_2, con una magnitud de 300 lbs, se dirige fuera de la pantalla hacia el espectador a 40° por encima del eje z. — Figura\(\PageIndex{5}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Dos vectores irradian desde el origen de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional.

Solución:: Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/PZzx3eQp6iQ.