2.14: El DOS 3-d- materiales a granel sin confinamiento
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En 3-d, no hay confinamiento de electrones. La única restricción en\(k_{x}\)\(k_{y}\), o\(k_{z}\) son las condiciones de contorno periódicas. Acabamos de demostrar que si el sistema tiene volumen\(L_{x}\times L_{y}\times L_{z}\) entonces cada valor permitido de k-espacio ocupa un volumen de\(2\pi/ L_{x}\times 2\pi/L_{y}\times2\pi/L_{z} = 8\pi^{3}/V\).
Para determinar el número de estados permitidos, integraremos sobre todo k -espacio. Es conveniente hacer esto en coordenadas esféricas. Si k es la magnitud del vector k, el número de modos dentro de una capa esférica de espesor dk es entonces
\[ n_{s}(k)dk=2\times \frac{1}{8\pi^{3}/V}\times 4\pi k^{2}dk \nonumber \]
donde\(V = L_{x}\times L_{y}\times L_{z}\), y el factor de dos cuentas para espín electrónico. Las funciones de onda no confinadas dentro de nuestra caja 3-d son ondas planas en todas las direcciones, es decir, la función de onda podría describirse mediante
\[ \psi(x,y,z) = \psi_{0}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z} \nonumber \]
Sustituir en la ecuación de Schrödinger da
\[ -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left( \frac{d^{2}}{dx^{2}}\frac{d^{2}}{dy^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}}\right) \psi = E \psi \nonumber \]
Lo que da
\[ \frac{\hbar^{2}}{2m} (k_{x}^{2} + k_{x}^{2}+ k_{x}^{2}) = E \nonumber \]
Reordenando:
\[ E = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} \nonumber \]
El uso de la ecuación (2.14.5) para relacionar E con k da:
\[ g(E)dE = \frac{V}{2\pi^{2}}\left( \frac{2m}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{E}\ dE \nonumber \]
donde g (E) es la densidad de estados por unidad de energía.
En la Figura 2.14.2 se muestra una comparación de la densidad de estados en materiales 1-d, 2-d y 3-d.
