17.3: Los efectos prácticos de un polo de función de transferencia de bucle abierto en s = 0 + j0
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El desarrollo anterior demuestra una característica importante de un sistema de bucle abierto con un polo de función de transferencia en el origen\(s\) -plano: la respuesta de frecuencia de dicho sistema aumenta en magnitud progresivamente a medida que disminuye la frecuencia de excitación, volviéndose, en teoría, infinitamente grande para la frecuencia cero. ¿Cuál es la significación de este tipo de respuesta en relación con las pruebas experimentales? La pregunta es apropiada ya que, como se afirma en la introducción de este capítulo, la frecuencia-respuesta de la porción de bucle abierto de un sistema práctico (hardware real) puede indicar la estabilidad o inestabilidad del sistema de bucle cerrado correspondiente. La Figura 17.2.2 y la Ecuación 17.2.3 muestran claramente que la magnitud de frecuencia-respuesta para frecuencias muy bajas de excitación podría ser de hecho poco prácticamente grande. Esto podría llevarnos a suponer que, para evitar magnitudes de salida excesivas, solo necesitaríamos excitar el sistema de bucle abierto a frecuencias por encima de algún límite inferior práctico. La discusión en esta sección mostrará que esto sería una suposición potencialmente dañina.
¿Cuál es la naturaleza de la respuesta asociada con el polo de función de transferencia de un sistema en el origen del\(s\) plano? Sabemos que un polo en el\(\operatorname{Re}(s)\) eje en el\(s\) semiplano derecho significa que la respuesta temporal del sistema (a un impulso, por ejemplo) es esencialmente exponencial monótonamente creciente, una inestabilidad. (Véase la discusión de la Sección 16.4.) Por el contrario, un polo en el\(\operatorname{Re}(s)\) eje en el\(s\) plano de la mitad izquierda significa que la respuesta es esencialmente exponencial en descomposición monótona, una respuesta estable. ¿Podemos inferir, entonces, que un polo en el\(\operatorname{Re}(s)\) eje en el origen, entre los planos de la mitad derecha e izquierda, significa que la respuesta de tiempo no es inestable ni estable, sino de alguna manera neutral?
Tratemos de responder a esa pregunta, al menos para el sistema de bucle abierto de interés actual que motivó esta discusión, derivando la respuesta unidad-impulso,\(h(t)\). De la Ecuación 8.9.5, la función de transferencia de un sistema es también la transformada de Laplace de su respuesta unidad-impulso; en consecuencia, la Ecuación 17.1.2 da\(L[h(t)]=\Lambda \omega_{b} /\left[s\left(s+c_{\theta} / J\right)\left(s+\omega_{b}\right)\right]\). Podríamos encontrar la ecuación completa para\(h(t)\), pero es más fácil e igualmente relevante para esta discusión aplicar el teorema del valor final [Ecuación 15.3.1] para encontrar la respuesta de estado estacionario [que podemos mostrar sigue la caída a cero de términos estables cuyas funciones de tiempo son\(e^{-\left(c_{\theta} / J\right) t}\) y\(e^{-\omega_{b} t}\)]: \(\lim _{t \rightarrow \infty} h(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s \times L[h(t)]=\Lambda J / c_{\theta}\). Esta respuesta constante en el tiempo a una excitación de impulso es inusual, ya que la respuesta de impulso de un sistema estable normalmente decae a cero.
Analicemos más y encontremos la respuesta a una entrada escalonada, que es un mejor indicador de estabilidad que la respuesta al impulso. La ecuación 8.9.10 muestra que la respuesta unidad-impulso de cualquier sistema LTI-SISO es la derivada de tiempo de la respuesta unidad-etapa,\(h(t)=d x_{H} / d t\). Por lo tanto, la respuesta unidad-paso a partir\(t \rightarrow \infty\) del sistema de bucle abierto de interés actual debe ser\(\lim _{t \rightarrow \infty} x_{H}(t)=C+\left(\Lambda J / c_{\theta}\right) t\),\(C\) siendo una constante. Esta respuesta lineal de función de tiempo a una entrada constante puede aumentar monótonamente, sin límite. No se trata de una inestabilidad monótona exponencial o inestabilidad oscilatoria exponencial del tipo que hemos observado anteriormente; sin embargo, para todos los fines prácticos, es una forma genuina de inestabilidad.
Podemos ser aún más específicos en relación con la respuesta de frecuencia. Con referencia al diagrama funcional que representa la prueba del sistema de bucle abierto, Figura 17.1.2, supongamos que la señal de entrada, además de la excitación sinusoidal, tiene un ligero desplazamiento de voltaje constante,\(E_{o f f}\). (Incluso con el filtrado de paso alto, a menudo es casi imposible eliminar todas esas compensaciones de los circuitos reales utilizados en pruebas experimentales). Por lo tanto, al\(H(t)\) denotar la función de paso de unidad Heaviside, la señal de entrada completa es:
\[e_{i n}(t)=E_{i n} \sin \omega t+E_{o f f} H(t)\label{eqn:17.14} \]
Con el uso\(OLTF(s)\) de la Ecuación 17.1.2 y la transformación inversa de Laplace, podemos encontrar una ecuación algebraica para la respuesta en tiempo a la ecuación de entrada\(\ref{eqn:17.14}\), asumiendo cero condiciones iniciales. La ecuación completa es bastante larga. Incluye términos de respuesta transitoria cuyas funciones de tiempo son\(e^{-\left(c_{\theta} / J\right) t}\) y\(e^{-\omega_{b} t}\), los cuales decaen rápidamente a la insignificancia. Si omitimos esos términos de respuesta transitoria, entonces podemos expresar la respuesta de “estado estacionario” en la forma (tarea Problema 17.?) :
La relación frecuencia-magnitud respuesta en bucle abierto\(\operatorname{MR}(\omega)\) y el ángulo de fase\(\phi(\omega)\) son las cantidades definidas generalmente por las Ecuaciones 17.1.3 y 17.1.4, respectivamente, y representadas para este sistema específico, a partir de la Ecuación 17.1.7, por las ecuaciones:
\[M R(\omega)=\left|\Lambda \frac{\omega_{b}}{j \omega\left(j \omega+c_{\theta} / J\right)\left(j \omega+\omega_{b}\right)}\right| \quad \text { and } \quad \phi(\omega)=\angle\left(\frac{\omega_{b}}{j \omega\left(j \omega+c_{\theta} / J\right)\left(j \omega+\omega_{b}\right)}\right) \nonumber \]
Idealmente en pruebas sinusoidales experimentales, solo habría respuesta sinusoidal en estado estacionario. Mucho menos idealmente, sin embargo, hay en la Ecuación\(\ref{eqn:17.15}\) tres tipos de respuesta de tiempo: el término sinusoidal, dos términos de constante en el tiempo y un término que aumenta linealmente con el tiempo. Los términos constantes en el tiempo serían una molestia, pero podrían ser tolerables, siempre que no fueran tan grandes como para superar los límites mecánicos o eléctricos. Sin embargo, la inestable “deriva” lineal,\(E_{o f f}\left(\Lambda J / c_{\theta}\right) t\), presentaría un grave problema en el proceso de prueba. Consideremos, por ejemplo, la solución numérica de Ecuación\(\ref{eqn:17.15}\) para el sistema de bucle abierto con la respuesta de frecuencia ideal de las Figuras 17.1.3 y 17.2.2, y para la excitación a la frecuencia de estabilidad neutra,\(\omega=\omega_{n s}\). Para este caso, las Figuras 17.1.3 y 17.2.2 muestran que\(M R\left(\omega_{n s}\right)=1\) y\(\phi\left(\omega_{n s}\right)=-180^{\circ}\). Completar los cálculos en Ecuación\(\ref{eqn:17.15}\) con los valores numéricos restantes da:
\(\ref{eqn:17.16}\)La ecuación muestra, por ejemplo, que si el voltaje de compensación es incluso un mero 1% de la magnitud sinusoidal de entrada\(E_{o f f} / E_{i n}=0.01\), entonces, después de solo un segundo de respuesta del sistema, la deriva lineal aumenta a cuatro veces la magnitud de la respuesta sinusoidal; y la deriva lineal simplemente continúa subiendo inexorablemente a partir de entonces. Las pruebas prácticas sinusoidales de este sistema solo serían posibles si el voltaje de compensación se eliminara casi por completo, con el fin de evitar, o al menos minimizar, esta deriva inestable.
El tipo de respuesta representada en Ecuación\(\ref{eqn:17.15}\) e ilustrada numéricamente en Ecuación\(\ref{eqn:17.16}\) plantearía un reto formidable para cualquier tipo de prueba experimental estándar en cualquier sistema cuyo modelo matemático tenga un polo en el origen del\(s\) plano. Este modelo matemático representa una deficiencia física general de dicho sistema: la ausencia de un mecanismo pasivo que tiende a restaurar el sistema hacia un estado de equilibrio estático después de que el sistema ha sido perturbado dinámicamente. Por ejemplo, la planta de rotor amortiguado de nuestro sistema de interés actual, Figuras 16.3.2 y 17.1.2, es el principal contribuyente a la deriva inestable; esta planta carece de un resorte rotacional restaurador, por lo que su función de transferencia, Ecuación 16.3.7\(P T F(s)=1 /\left[s\left(J_{S}+c_{\theta}\right]\right.\),, tiene un polo en el origen.