19.2: B.2- Trabajo Mecánico, Energía y Potencia

Si una fuerza acelera en la traslación un cuerpo con masa\(m\)\(f_{x}=m a_{x}=m \dot{v}_{x}\), entonces el trabajo realizado por\(f_{x}\) se conserva como energía cinética del cuerpo, de la Ecuación 19.1.3:

\[W \equiv E_{K}=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} f_{x} v_{x} d t=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} m \dot{v}_{x} v_{x} d t=\frac{1}{2} m \int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} \frac{d}{d t}\left(v_{x}^{2}\right) d t=\frac{1}{2} m\left[v_{x}^{2}\left(t_{2}\right)-v_{x}^{2}\left(t_{1}\right)\right]\label{eqn:B.7} \]

Si una fuerza estira o comprime un resorte de traslación lineal ideal estándar (que aquí se supone que tiene una masa insignificante)\(f_{x}(x)=k x\), entonces el trabajo realizado\(f_{x}\) se almacena como energía de deformación (una forma de energía potencial) dentro del resorte, de la Ecuación 19.1.2:

\[W \equiv E_{S}=\int_{x=x_{1}}^{x=x_{2}} f_{x}(x) d x=\int_{x=x_{1}}^{x=x_{2}} k x d x=\frac{1}{2} k\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)\label{eqn:B.8} \]

En cualquier instante, por lo tanto, la energía mecánica total presente en un sistema de masa-resorte ideal, en relación con un estado inicialmente estacionario y sin esfuerzo, es

\[E_{M e}=E_{K}+E_{S}=\frac{1}{2} m v_{x}^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}\label{eqn:B.9} \]

En un sistema de masa-resorte conservador ideal, sin ningún agente de aumento de energía o disipación de energía,\(E_{M e}\) permanece constante en el tiempo, oscilando entre la energía cinética de la masa y la energía de deformación dentro del resorte.

Un amortiguador viscoso traslacional ideal disipa la energía mecánica al ejercer una fuerza en oposición a la velocidad:\(f_{x}=-c v_{x}=-c \dot{x}\). Así, a partir de la Ecuación 19.1.4, la tasa de disipación de energía por el amortiguador es

\[P_{c}=f_{x} v_{x}=-c v_{x}^{2}\label{eqn:B.10} \]

Supongamos que un sistema de amortiguador-resorte de masa es inicialmente estacionario y no tenso, y que una fuerza independiente aplicada externamente\(f_{x}(t)\) se impone sobre la masa. Esta fuerza es una fuente de poder,\(P_{f}=f_{x}(t) v_{x}\). El amortiguador, por otro lado, es un sumidero de energía mecánica. Por lo tanto, la energía mecánica total\(E_{M e}\) varía en el tiempo:

\[\frac{d}{d t} E_{M e}=\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m v_{x}^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}\right)=P_{c}+P_{f} \quad \Rightarrow \quad m v_{x} \dot{v}_{x}+k x \dot{x}=-c v_{x}^{2}+f_{x}(t) v_{x}\label{eqn:B.11} \]

La cancelación\(v_{x}=\dot{x}\) de la ecuación\(\ref{eqn:B.11}\) y la reorganización de los términos conduce a la ODE general de movimiento para un sistema de amortiguador-resorte de masa ¹:

\[m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t)m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t)\label{eqn:B.12} \]

Las siguientes relaciones para el movimiento rotacional se pueden derivar de las definiciones básicas de la manera utilizada anteriormente para el movimiento de traslación. Si un momento\(M\) acelera un cuerpo con inercia rotacional\(J\) alrededor del eje de rotación, entonces el trabajo realizado por\(M\) se conserva como energía cinética del cuerpo:

\[W \equiv E_{K}=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} M \dot{\theta} d t=\frac{1}{2} J\left[\dot{\theta}^{2}\left(t_{2}\right)-\dot{\theta}^{2}\left(t_{1}\right)\right]\label{eqn:B.13} \]

Si un momento\(M\) tuerce un resorte de torsión lineal ideal (rotacional) (que aquí se supone que tiene una inercia rotacional insignificante) con constante de resorte\(k_{\theta}\), entonces el trabajo realizado\(M\) se almacena como energía de deformación dentro del resorte:

\[W \equiv E_{S}=\int_{\theta=\theta_{1}}^{\theta=\theta_{2}} M d \theta=\frac{1}{2} k_{\theta}\left(\theta_{2}^{2}-\theta_{1}^{2}\right)\label{eqn:B.14} \]

Un amortiguador viscoso rotacional con constante\(c_{\theta}\) disipa la energía mecánica al ejercer un momento en oposición a la velocidad:\(M=-c_{\theta} \dot{\theta}\). Por lo tanto, la tasa de disipación de energía por el amortiguador es

\[P_{c}=M \dot{\theta}=-c_{\theta} \dot{\theta}^{2}\label{eqn:B.15} \]

Para nuestro último ejemplo de energía mecánica, considere la traslación en la\(y\) dirección de una masa\(m\) que se encuentra dentro de un campo de intensidad de campo gravitacional constante\(g\) (con unidades SI newton/kilogramo). La fuerza requerida para sostener la masa sin aceleración (ya sea estacionaria o a velocidad constante) contra la gravedad es

\[f_{y}=m g\label{eqn:B.16} \]

Por lo tanto, el trabajo requerido para elevar la masa sin aceleración contra la gravedad se almacena conservadoramente como energía potencial gravitacional:

\[W \equiv E_{G}=\int_{y=y_{1}}^{y=y_{2}} f_{y} d y=m g\left(y_{2}-y_{1}\right)\label{eqn:B.17} \]

Para referencia en la siguiente sección, definimos también la diferencia de potencial gravitacional,\(g\left(y_{2}-y_{1}\right)\). A continuación se presenta una aplicación de la Ecuación\(\ref{eqn:B.17}\). Supongamos que disparamos un proyectil de masa\(m\) directamente contra la gravedad de la Tierra desde la elevación de la superficie\(y_{1}\), con una velocidad inicial\(v_{1}\) suficientemente baja que\(g\) permanece esencialmente constante a lo largo de toda la trayectoria. Supongamos que el arrastre atmosférico es viscoso con la constante de amortiguación c. ² La fuerza de arrastre\(-c v_{y}\) disipa la energía, por lo que la energía mecánica total\(E_{M e}\) varía en el tiempo:

\[\frac{d}{d t} E_{M e}=\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{2} m\left(v_{y}^{2}-v_{1}^{2}\right)+m g\left(y-y_{1}\right)\right)=P_{c} \Rightarrow m v_{y} \dot{v}_{y}+m g \dot{y}=-c v_{y}^{2}\label{eqn:B.18} \]

La cancelación\(v_{y}=\dot{y}\) de la ecuación\(\ref{eqn:B.18}\) y la reorganización de los términos conduce a la ODE de ^primer orden que describe la velocidad del proyectil:

\[m \dot{v}_{y}+c v_{y}=-m g\label{eqn:B.19} \]

1El método de balance de potencia directo que da Ecuación\(\ref{eqn:B.11}\) y que conduce a la Ecuación de ODE de movimiento también\(\ref{eqn:B.12}\) se usa en este apéndice para derivar ODEs gobernantes (B-19) y (B-34). Cada una de estas aplicaciones es para un sistema de un grado de libertad (1-DOF), es decir, un sistema que solo tiene una variable dependiente del tiempo. (Consulte los Capítulos 11 y 12 para obtener definiciones más detalladas de grados de libertad y ejemplos de sistemas de DOF múltiples.) Desafortunadamente, este enfoque directo falla para sistemas con más de un DOF, como se observa e ilustra en Cannon, 1967, p. 166. Para derivar las ODE gobernantes de los sistemas de múltiples DOF, Joseph Louis Lagrange (matemático y mecanicista franco-italiano, 1736-1813) desarrolló un método energético más general. Las ecuaciones de Lagrange se derivan e ilustran en detalle por la mayoría de los libros de texto sobre mecánica clásica y dinámica estructural, por ejemplo, Bisplinghoff, et al. , 1955; Cannon, 1967; Craig, 1981; Greenwood, 1965; y Meirovitch, 1967 y 2001.