2.3: Funciones de tiempo sinusoidales

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James Kirtley
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Una función sinusoidal del tiempo podría escribirse de al menos dos maneras:

\[\ f(t)=A \cos (\omega t+\phi)\label{17} \]

\[\ f(t)=B \cos (\omega t)+C \sin (\omega t)\label{18} \]

Una tercera forma de escribir esta función de tiempo es como la suma de dos exponenciales complejos:

\[\ f(t)=\underline{X} e^{j \omega t}+\underline{X}^{*} e^{-j \omega t}\label{19} \]

Obsérvese que la forma de la ecuación 19, en la que se suman conjugados complejos, garantiza que la función resultante es real.

Ahora bien, para relacionar la ecuación 19 con las otras formas de la función sinusoidal, las ecuaciones 17 y 18, ver que se\(\ \underline{X}\) puede expresar como:

\[\ \underline{X}=|\underline{X}| e^{j \psi}\label{20} \]

Entonces la ecuación 19 se convierte en:

\[\ f(t)=|\underline{X}| e^{j \psi} e^{j \omega t}+|\underline{X}|^{*} e^{-j \psi} e^{-j \omega t}\label{21} \]

\[\ =|\underline{X}| e^{j(\psi+\omega t)}+|\underline{X}|^{*} e^{-j(\psi+\omega t)}\label{22} \]

\[\ =2|\underline{X}| \cos (\omega t+\psi)\label{23} \]

Entonces, los coeficientes en la ecuación 17 se relacionan con los de la ecuación 19 por:

\[\ |\underline{X}|=\frac{A}{2}\label{24} \]

\[\ \psi=\phi\label{25} \]

Alternativamente, podríamos escribir

\[\ \underline{X}=x+j y\label{26} \]

en el que las partes reales e imaginarias de\(\ \underline{X}\) son:

\[\ x=|\underline{X}| \cos (\psi)\label{27} \]

\[\ y=|\underline{X}| \sin (\psi)\label{28} \]

Entonces se escribe la función de tiempo:

\[\ f(t)=x\left(e^{j \omega t}+e^{-j \omega t}\right)+j y\left(e^{j \omega t}-e^{-j \omega t}\right)\label{29} \]

\[\ =2 x \cos (\omega t)-2 y \sin (\omega t)\label{30} \]

Así:

\[\ A=2 x\label{31} \]

\[\ B=-2 y\label{32} \]

\[\ X=\frac{A}{2}-j \frac{B}{2}\label{33} \]

También es posible escribir la ecuación 19 en la forma:

\[\ f(t)=R e\left(2 \underline{X} e^{j \omega t}\right)\label{34} \]

Si bien ambas expresiones (19 y 34) son equivalentes, resulta ventajoso utilizar una u otra de ellas, según las circunstancias. La primera notación (ecuación 19) es la representación completa de esa señal sinusoidal y puede ser utilizada bajo cualquier circunstancia. Es, sin embargo, engorroso, por lo que se suele utilizar la versión algo más compacta (ecuación 34). Sobre todo cuando se trata de productos no lineales como el poder, es necesario ser algo cautelosos en su uso, sin embargo, como veremos más adelante.