2.5: Funciones del sistema y respuesta de frecuencia

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James Kirtley
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Si nos interesa el comportamiento de un sistema lineal como los circuitos que hemos estado discutiendo, a menudo hablamos de la función del sistema. Esta es la relación (generalmente compleja) entre la salida y la entrada del sistema. Las funciones del sistema pueden expresar el comportamiento del punto de conducción (impedancia o su recíproco, admitancia) o comportamiento de transferencia. Hablamos de relaciones de transferencia de voltaje o corriente y de impedancia de transferencia (voltaje de salida relacionado con la corriente de entrada) y de admitancia de transferencia (corriente de salida relacionada con voltaje de entrada).

La función del sistema puede expresarse de varias maneras, a menudo como una Transformada de Laplace. Tal está más allá del alcance de este tema. Sin embargo, es importante entender una forma de expresar el comportamiento lineal del sistema, en forma de respuesta de frecuencia. La respuesta de frecuencia de un sistema es el número complejo que relaciona la salida del sistema con la entrada en función de la frecuencia. Por lo general se expresa como un par de números, magnitud y ángulo de fase. Así

\[\ H(j \omega)=|H(j \omega)| e^{j \phi(j \omega)} \nonumber \]

Los sujetos en Señales y Sistemas o Teoría de Redes suelen dedicar algún tiempo a obtener y trazar la respuesta de frecuencia de una red de maneras útiles y fáciles. Para nuestros propósitos, un enfoque directo, quizás incluso de “fuerza bruta” servirá. Consideremos, por ejemplo, el circuito que se muestra en la Figura 6.

Screen Shot 2021-07-19 en 2.49.18 PM.png — Figura 6: Ejemplo de circuito para respuesta de frecuencia

Esto es solo un divisor de voltaje entre una inductancia y una resistencia. Buscamos encontrar, y luego trazar, el ratio\(\ V_{\text {out }} / V_{\text {in }}\) de transferencia de esta red. Un análisis muy pequeño produce una expresión para la función de transferencia, que es:

\[\ \dfrac{V_{\text {out }}(j \omega)}{V_{\text {in }}(j \omega)}=\dfrac{R}{R+j \omega L}=\dfrac{1}{1+j \omega \dfrac{L}{R}} \nonumber \]

La magnitud y el ángulo de esta función se pueden extraer de varias maneras. Para los efectos de estas notas, hemos hecho las matemáticas usando MATLAB. Las instrucciones específicas para producir la gráfica de respuesta de frecuencia se muestran en la Figura 7. Funamentalmente lo que se hace es calcular la función del sistema para un número de frecuencias (tenga en cuenta que utilizamos una forma de calcular frecuencias específicas que produce un espaciado uniforme en una escala logarítmica, y luego graficar la magnitud (también en una escala logarítmica) y el ángulo de esa función del sistema contra frecuencia.