2.8: Una Ley de Conservación

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James Kirtley
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Es posible demostrar que el poder complejo se conserva de la misma manera que esperamos que se conserve el poder promedio de tiempo. Considera una red con una colección de terminales y con una colección de sucursales internas. El flujo instantáneo de energía en la red es:

\(\ p_{i n}=\sum_{\text {terminals }} v i\)

Tenga en cuenta que esta expresión se mantiene para el voltaje y la corriente expresados sobre cualquier conjunto completo de terminales. Es decir, si es posible delinear los terminales de la red en un conjunto de pares, los voltajes podrían corresponder a voltajes a través del par, mientras que las corrientes fluirían entre los terminales de cada par. Alternativamente, los voltajes podrían corresponder a voltaje de nodo único a dato, mientras que las corrientes serían entonces corrientes de nodo de entrada único. Dado que el poder solo puede entrar en elementos de red, se deduce que la suma de las potencias de rama interna debe ser igual a la suma de las potencias terminales:

\[\ \sum_{\text {terminals }} v i=\sum_{\text {branches }} v i\label{67} \]

Si esto es cierto para el poder instantáneo, también lo es para el poder complejo:

\[\ \sum_{\text {terminals }} \underline{V I}=\sum_{\text {branches }} \underline{V I}\label{68} \]

Ahora bien, si la red está conformada por resistencias, capacitancias e inductancias,

\[\ \sum_{\text {terminals }} \underline{V I}=\sum_{\text {resistances }} \underline{V I}+\sum_{\text {inductances }} \underline{V I}+\sum_{\text {capacitances }} \underline{V I}\label{69} \]

Para estos elementos individuales:

Resistencias:\(\ \underline{V I}^{*}=R|\underline{I}|^{2}\)
Inductancias:\(\ \underline{V I}^{*}=j \omega L|\underline{I}|^{2}\)
Capacitancias:\(\ \underline{V I}^{*}=-j \omega C|\underline{V}|^{2}\)

Entonces la ecuación 69 se convierte en:

\[\ \sum_{\text {terminals }} \underline{V I}=\sum_{\text {resistances }} R|\underline{I}|^{2}+j \sum_{\text {inductances }} \omega L|\underline{I}|^{2}-j \sum_{\text {capacitances }} \omega C|\underline{V}|^{2}\label{70} \]

Luego, identificando términos individuales:

\(\ \sum_{\text {terminals }} \underline{V I}=2(P+j Q) \quad \text { Total Complex Power into Network }\)

\(\ \sum_{\text {resistances }} R|\underline{I}|^{2}=2 \sum<p_{r}>\quad \text { Power Dissipated in Resistors }\)

\(\ j \sum_{\text {inductances }} \omega L|\underline{I}|^{2}=4 \omega \sum<w_{L}>\text { Energy Stored in Inductances }\)

\(\ j \sum_{\text {capacitances }} \omega C|\underline{V}|^{2}=4 \omega \sum<w_{C}>\text { Energy Stored in Capacitances }\)

Entonces, para cualquier red RLC:

\[\ P+j Q=\sum_{\text {resistors }}<p_{r}>+2 j \omega\left[\sum_{\text {inductors }}<w_{L}>-\sum_{\text {capacitors }}<w_{C}>\right]\label{71} \]