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4.2: Impedancia de un Cable

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

El objetivo de esta sección es determinar la impedancia —la relación entre el potencial y la corriente— de un cable. La respuesta a esta pregunta es relativamente simple en el caso de CC (“corriente constante”): Se encuentra que la impedancia es igual a la resistencia del cable, que viene dada por

R=lσA     (DC)

dondel es la longitud del cable yA es el área de la sección transversal del cable. Además, la impedancia de un cable compuesto por un conductor perfecto a cualquier frecuencia es simplemente cero, ya que no hay ningún mecanismo en el cable que pueda disipar o almacenar energía en este caso.

Sin embargo, todos los cables prácticos están compuestos por conductores buenos, no perfectos, y por supuesto muchas señales prácticas varían en el tiempo, por lo que los dos casos anteriores no abordan una amplia categoría de interés práctico. El caso más general de corrientes no estables en conductores imperfectos se complica por el hecho de que la corriente en un conductor imperfecto no se distribuye uniformemente en el cable, sino que se concentra cerca de la superficie y decae exponencialmente al aumentar la distancia desde la superficie (esto se determina en Sección 4.1).

Ahora estamos listos para considerar la caja de CA para un cable compuesto por un conductor bueno pero imperfecto. ¿Cuál es la impedancia del cable si la fuente de corriente es sinusoidalmente variable? La ecuación\ ref {M0159_ERW} para el caso de CC se determinó obteniendo primero expresiones para el potencial (V) y la corriente neta (I) para unal sección de longitud de cable en términos de la intensidad del campo eléctricoE en el cable. Para seguir ese mismo enfoque aquí, requerimos una expresión paraI en términos deE que da cuenta de la distribución no uniforme de la corriente. Esto es bastante difícil de determinar en el caso de un alambre cilíndrico. Sin embargo, podemos desarrollar una solución aproximada considerando una superficie que no es cilíndrica, sino plana. Aquí vamos:

Considera el experimento descrito en la Figura4.2.1.

m0159_fCFC.png
Figura4.2.1: Experimento utilizado para determinar la densidad de corriente y resistencia en el caso AC. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

Aquí, una región semi-infinita llena de un buen conductor homogéneo se encuentra con una región semi-infinita de espacio libre a lo largo de una interfaz plana enz=0, con el aumentoz correspondiente al aumento de la profundidad en el material. Una onda plana se propaga en la+ˆz dirección, comenzando desde justo dentro de la superficie de la estructura. La justificación para presumir la existencia de esta ola se presentó en la Sección 4.1. La intensidad del campo eléctrico viene dada por

˜E=ˆxE0eαzejβz

dondeE0 es una constante arbitraria de valor complejo. La densidad de corriente está dada por la ley de electromagnetismo de Ohm: 1

˜J=σ˜E=ˆxσE0eαzejβz

Recordemos queα=δ1s dóndeδs está la profundidad de la piel (ver Sección 3.12). También, para un buen director, lo sabemosβα (Sección 3.11). Usando estas relaciones, podemos reescribir la Ecuación\ ref {M0159_eJ} de la siguiente manera:

˜JˆxσE0ez/δsejz/δs=ˆxσE0e(1+j)z/δs

La corriente neta˜I se obtiene integrando˜J sobre cualquier sección transversalS a través de la cual fluye toda la corriente; es decir,

˜I=S˜Jds

Aquí, la solución más simple se obtiene eligiendoS ser una superficie rectangular que sea perpendicular a la dirección de˜J atx=0. Esto se muestra en la Figura4.2.2.

m0159_fCFC2.png
Figura4.2.2: Elección deS para calcular la corriente netaI. (CC BY-SA 4.0; Y. Zhao)

Las dimensiones deS son anchoW en lay dimensión y extendiéndose hasta el infinito en laz dirección. Entonces tenemos

˜IWy=0z=0(ˆxσE0e(1+j)z/δs)(ˆx dy dz)=σE0Wz=0e(1+j)z/δsdz

Para mayor comodidad, definamos la constanteK(1+j)/δs. Dado queK es constante con respecto az, la integral restante es sencilla de evaluar:

0eKzdz=1KeKz|0=+1K

Incorporando este resultado en la Ecuación\ ref {M0159_EI}, obtenemos:

˜IσE0Wδs1+j

Calculamos˜V para una longitudl del cable de la siguiente manera:

˜V=0x=l˜Edl

donde hemos determinado quex=0 corresponde al terminal “+” yx=l corresponde al terminal “”. 2 El camino de integración puede ser cualquier camino que comience y termine en las terminales proscritas. El camino más simple a utilizar es uno a lo largo de la superficie, paralelo alx eje. A lo largo de este camino,z=0 y así˜E=ˆxE0. Para este camino:

˜V=0x=l(ˆxE0)(ˆxdx)=E0l

La impedanciaZ medida a través de los terminales enx=0 y ahorax=l se determina que es:

Z˜V˜I1+jσδslW

La resistencia es simplemente la parte real, así que obtenemos

Rlσ(δsW)    (AC case)

La cantidadR en este caso es referida específicamente como la resistencia óhmica, ya que se debe enteramente a la conductividad limitada del material cuantificada por la ley de Ohm. 3

Observe el parecido con la Ecuación\ ref {M0159_ERW} (la solución para el caso DC): En el caso AC, el productoδsW, que tiene unidades de área, juega el papel de la sección transversal físicaS. Así, vemos una nueva interpretación interesante de la profundidad de la pielδs: Es la profundidad a la que una corriente uniforme (CC) necesitaría fluir para producir una resistencia igual a la resistencia observada (AC).

Se obtuvieron las ecuaciones\ ref {M0159_ECFGC-Z} y\ ref {M0159_EACZ} para un buen conductor llenando un semiespacio infinito, teniendo una superficie plana. ¿Qué tan bien describen estos resultados un alambre cilíndrico? La respuesta depende del radio del cable,a. Paraδsa, las Ecuaciones\ ref {M0159_ECFGC-Z} y\ ref {M0159_EACZ} son aproximaciones excelentes, ya queδsa implica que la mayor parte de la corriente se encuentra en una capa delgada cercana a la superficie del alambre. En este caso, el modelo utilizado para desarrollar las ecuaciones es una buena aproximación para cualquier corte radial dado a través del alambre, y estamos justificados en reemplazarW con la circunferencia2πa. Así, obtenemos las siguientes expresiones:

Z1+jσδsl2πa   (δsa)

y así

Rlσ(δs2πa)   (δsa)

La impedancia de un cable de longitudl y radioaδs viene dada por la Ecuación\ ref {M0159_EZW}. La resistencia de tal alambre viene dada por la Ecuación\ ref {M0159_ERWAC}.

Si, por otro lado,a<δs o simplementeδs, entonces la densidad de corriente es significativa en todo el cable, incluso a lo largo del eje del cable. En este caso, no podemos suponer que la densidad de corriente decae suavemente a cero al aumentar la distancia desde la superficie, por lo que el modelo que conduce a la Ecuación\ ref {M0159_EZW} es una mala aproximación. La frecuencia requerida para la validez de la Ecuación\ ref {M0159_EZW} se puede determinar señalando queδs1/πfμσ para un buen conductor; por lo tanto, requerimos

1πfμσa

para que las expresiones derivadas sean válidas. Resolviendo paraf, encontramos:

f1πμσa2

Para cables comúnmente encontrados compuestos por conductores buenos típicos, esta condición se aplica a frecuencias en el régimen de MHz y superiores.

Estos resultados nos llevan a un hallazgo interesante adicional sobre la resistencia de CA de los cables. Ya queδs1/πfμσ para un buen conductor, la Ecuación\ ref {M0159_ERWAC} puede ser reescrita en la siguiente forma:

R12μfπσla

Hemos encontrado queR es aproximadamente proporcional af. Por ejemplo, aumentar la frecuencia en un factor de 4 aumenta la resistencia en un factor de 2. Esta dependencia de frecuencia es evidente en todo tipo de cables prácticos y líneas de transmisión. Resumiendo:

La resistencia de un cable compuesto por un conductor bueno pero imperfecto es proporcional a la raíz cuadrada de frecuencia.

En este punto, hemos determinado que la resistencia viene dada aproximadamente por la Ecuación\ ref {M0159_EACz2} paraδsa, correspondiente a frecuencias en el régimen de MHz y superiores, y por la Ecuación\ ref {M0159_ERW} paraδsa, típicamente correspondientes a frecuencias en el régimen de kHz y por debajo. También hemos encontrado que la resistencia cambia lentamente con la frecuencia; es decir, en proporción af. Por lo tanto, a menudo es posible estimar aproximadamente la resistencia a frecuencias entre estos dos regímenes de frecuencia comparando la resistencia de CC de la Ecuación\ ref {M0159_ERW} con la resistencia de CA de la Ecuación\ ref {M0159_EACz2}. A continuación se muestra un ejemplo.

Ejemplo4.2.1: Resistance of the inner conductor of RG-59

En otros lugares hemos considerado el cable coaxial RG-59 (ver la sección “Línea Coaxial”, que puede aparecer en otro volumen dependiendo de la versión de este libro). Señalamos que no fue posible determinar la resistencia de CA por unidad de longitudR para RG-59 a partir de consideraciones puramente electrostáticas y magnetostáticas. Ahora podemos considerar la resistencia por unidad de longitud del conductor interno, que es un cable sólido del tipo considerado en esta sección. Vamos a referirnos a esta cantidad comoRic. Tenga en cuenta que

R=Ric+Roc

dondeRoc es la resistencia por unidad de longitud del conductor externo. Rocsigue siendo un poco complicado de abordar aquí. Sin embargo,Ric suele ser mucho mayor queRoc, entoncesRRic. Es decir, tenemos una idea bastante buena deR para RG-59 al considerar solo el conductor interno.

Los parámetros relevantes del conductor interno sonμμ0,σ2.28×107 S/m, ya0.292 mm. Usando la ecuación\ ref {M0159_EACz2}, encontramos:

RicRicl=12μfπσ1a(227 μΩm1Hz1/2)f

Usando Expression\ ref {m0159_efvalid}, encontramos que esto es válido solo paraf130 kHz. Entonces, por ejemplo, podemos estar seguros de queRic0.82 Ω /m a 13 MHz.

En el otro extremo (f130kHz), la Ecuación\ ref {M0159_ERW} (la resistencia DC) es una mejor estimación. En este caso de baja frecuencia, estimamos queRic0.16 Ω /m y es aproximadamente constante con la frecuencia.

Ahora tenemos una imagen completa: A medida que la frecuencia se incrementa de CC a 13 MHz,Ric esperamos que aumente monótonamente de0.16 Ω /m a0.82 Ω /m, y continuará aumentando en proporción af partir de ese valor.

Volviendo a la Ecuación\ ref {M0159_ECFGC-Z}, vemos que la resistencia no es toda la historia aquí. La impedanciaZ=R+jX también tiene un componente reactivoX igual a la resistenciaR; es decir,

XRlσ(δs2πa)

Esto es exclusivo de los buenos conductores a CA; es decir, no vemos tal reactancia en CC. Debido a que esta reactancia es positiva, a menudo se la denomina inductancia. Sin embargo, esto es engañoso ya que la inductancia se refiere a la capacidad de una estructura para almacenar energía en un campo magnético, y el almacenamiento de energía decididamente no es lo que está sucediendo aquí. La similitud con la inductancia es simplemente que esta reactancia es positiva, al igual que la reactancia asociada con la inductancia. Siempre y cuando tengamos esto en cuenta, es razonable modelar la reactancia del cable como una inductancia equivalente:

Leq12πflσ(δs2πa)

Ahora sustituyendo una expresión por la profundidad de la piel:

Leq12πfπfμσl2πa=14π3/2μσfla

para un alambre que tiene una sección transversal circular conδsa. La utilidad de esta descripción es que facilita el modelado de la reactancia de cable como inductancia en un circuito equivalente. Resumiendo:

Un cable práctico puede modelarse usando un circuito equivalente que consiste en una resistencia ideal (Ecuación\ ref {M0159_EACz2}) en serie con un inductor ideal (Ecuación\ ref {M0159_Eleq2}). Mientras que la resistencia aumenta con la raíz cuadrada de la frecuencia, la inductancia disminuye con la raíz cuadrada de la frecuencia.

Si la reactancia positiva de un cable no se debe a la inductancia física, entonces ¿a qué mecanismo físico debemos atribuir este efecto? Un cable tiene reactancia porque hay un desplazamiento de fase entre el potencial y la corriente. Esto es evidente al comparar la Ecuación\ ref {M0159_EI} con la Ecuación\ ref {M0159_eV}. Este es el mismo desplazamiento de fase que se encontró que existe entre los campos eléctrico y magnético que se propagan en un buen conductor, como se explica en la Sección 3.11.

Ejemplo4.2.2: Equivalent inductance of the inner conductor of RG-59

En otra parte del libro se averiguó que la inductancia por unidadL de longitud del cable coaxial RG-59 era de aproximadamente370 NH/m, calculamos esto a partir de consideraciones magnetostáticas, por lo que la reactancia asociada al efecto de la piel no se incluye en esta estimación. Veamos cómoL se ve afectado por el efecto piel para el conductor interno. Usando la Ecuación\ ref {M0159_EleQ2} conμ=μ0,σ2.28×107 S/m, ya0.292 mm, encontramos

Leq(3.61×105 Hm1Hz1/2)lf

Longitud por unidad:

LeqLeql3.61×105 HHz1/2f

Esto equivale a la inductancia magnetostática por unidad de longitud (370NH/m) af9.52 kHz, y disminuye con el aumento de la frecuencia.

Resumiendo: La inductancia equivalente asociada al efecto piel es tan importante como la inductancia magnetostática en el régimen de kHz, y se vuelve poco a poco menos importante con el aumento de la frecuencia.

Recordemos que la velocidad de fase en una línea de transmisión de baja pérdida es aproximadamente1/LC. Esto significa que el efecto de la piel hace que la velocidad de fase en tales líneas disminuya con la frecuencia decreciente. En otras palabras:

El efecto cutáneo en los conductores que comprenden líneas de transmisión comunes conduce a una forma de dispersión en la que las frecuencias más altas viajan más rápido que las frecuencias más bajas.

Este fenómeno se conoce como dispersión cromática, o simplemente “dispersión”, y conduce a una distorsión significativa para señales que tienen grandes anchos de banda.

Lectura adicional:

  • “Efecto piel” en Wikipedia.

  1. Para ser claros, esta es la “forma puntual” de la ley de Ohm, a diferencia de la forma de teoría de circuitos (V=IR). ↩
  2. Si esto no está claro, recordemos que el vector de campo eléctrico debe apuntar lejos de la carga positiva (así, el+ terminal). ↩
  3. Esto contrasta con otras formas en que se pueden relacionar voltaje y corriente; por ejemplo, laI característica no linealV de un diodo, que no se rige por la ley de Ohm. ↩

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