6.9: Guía de ondas rectangular - Modos TE
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Una guía de ondas rectangular es un cilindro conductor de sección transversal rectangular utilizado para guiar la propagación de las ondas. La guía de onda rectangular se usa comúnmente para el transporte de señales de radiofrecuencia a frecuencias en la banda SHF (3—30 GHz) y superiores. Los campos en una guía de ondas rectangular consisten en una serie de modos de propagación que dependen de las dimensiones eléctricas de la guía de ondas. Estos modos se clasifican ampliamente como magnéticos transversales (TM) o eléctricos transversales (TE). En esta sección, consideramos los modos TE.
La figura\PageIndex{1} muestra la geometría de interés. Aquí las paredes se encuentran enx=0,,x=ay=0, yy=b; así, las dimensiones de la sección transversal de la guía de ondas sona yb. Se presume que el interior de la guía de ondas consiste en un material sin pérdidas que exhibe permeabilidad de valor real\mu y permitividad de valor real\epsilon, y se supone que las paredes son perfectamente conductoras.

Limitemos nuestra atención a una región dentro de la guía de ondas que está libre de fuentes. Expresado en forma de fasor, la intensidad del campo magnético dentro de la guía de ondas se rige por la ecuación de onda:
\nabla^2 \widetilde{\bf H} + \beta^2 \widetilde{\bf H} = 0 \label{m0225_eWE}
donde
\beta = \omega \sqrt{\mu \epsilon} \nonumber
La ecuación\ ref {M0225_EWE} es una ecuación diferencial parcial. Esta ecuación, combinada con las condiciones límite impuestas por las placas perfectamente conductoras, es suficiente para determinar una solución única. Esta solución se determina más fácilmente en coordenadas cartesianas, como ahora demostraremos. Primero expresamos\widetilde{\bf H} en coordenadas cartesianas:
\widetilde{\bf H} = \hat{\bf x}\widetilde{H}_x + \hat{\bf y}\widetilde{H}_y + \hat{\bf z}\widetilde{H}_z \label{m0225_eE}
Esto facilita la descomposición de la Ecuación\ ref {M0225_EWE} en ecuaciones separadas que gobiernan los\hat{\bf x}\hat{\bf y},, y\hat{\bf z} componentes de\widetilde{\bf H}:
\ begin {align}\ nabla^2\ Widetilde {H} _x +\ beta^2\ Widetilde {H} _x &= 0\\\ nabla^2\ Widetilde {H} _y +\ beta^2\ Widetilde {H} _y &= 0\\\ nabla^2\ Widetilde {H} _z +\ beta^2\ Widetilde {H} _z &= 0\ end {align}
A continuación observamos que el operador\nabla^2 puede expresarse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \nonumber
por lo que las ecuaciones que rigen los componentes cartesianos de\widetilde{\bf H} pueden escribirse de la siguiente manera:
\ begin {align}\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2}\ Widetilde {H} _x +\ frac {\ parcial^2} {\ parcial y^2}\ Widetilde {H} _x +\ frac {\ parcial^2} {\ parcial z^2}\ Widetilde {H} _x +\ bettila^2\ ancho de {H} _x &= 0\ label {M0225_EEFx}\\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2}\ tilde ancho {H} _y +\ frac {\ parcial^2} {\ parcial y^2}\ tilde ancha {H} _y + \ frac {\ parcial^2} {\ parcial z^2}\ Widetilde {H} _y +\ beta^2\ Widetilde {H} _y &= 0\ label {M0225_eefy}\\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2}\ Widetilde {H} _z +\ frac {\ al^2} {\ parcial y^2}\ Widetilde {H} _z +\ frac {\ parcial^2} {\ parcial z^2}\ Widetilde {H} _z +\ beta^2\ Widetilde {H} _z &= 0\ label {M0225_eefz}\ end {align}
En general, esperamos que el campo total en la guía de ondas consista en ondas unidireccionales que se propagan en las-\hat{\bf z} direcciones+\hat{\bf z} y. Podemos analizar cualquiera de estas ondas; entonces la otra onda se deriva fácilmente a través de la simetría, y el campo total es simplemente una combinación lineal (superposición) de estas ondas. Con esto en mente, limitamos nuestro enfoque a la onda que se propaga en la+\hat{\bf z} dirección.
En la Sección 6.7, se muestra que todos los componentes de los campos eléctrico y magnético pueden calcularse fácilmente una vez\widetilde{E}_z y\widetilde{H}_z son conocidos. El problema se simplifica aún más al descomponer la onda unidireccional en componentes TM y TE. En esta descomposición, el componente TE se define por la propiedad que\widetilde{E}_z=0; es decir, es transversal (perpendicular) a la dirección de propagación. Así, el componente TE está completamente determinado por\widetilde{H}_z. Las ecuaciones 6.7.21 - 6.7.24 simplifican para convertirse en:
\ begin {align}\ Widetilde {E} _x &= -j\ frac {\ omega\ mu} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial y}\ etiqueta {M0225_EexU}\\\ tilde ancha {E} _y &= +j\ frac {\ omega\ mu} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial x}\ etiqueta {M0225_EEYu}\\\ tilde ancho {H} _x &= -j\ frac {k_z} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial x}\ etiqueta {M0225_eHXU}\\\ Widetilde {H} _y &= -j\ frac {k_z} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial y}\ etiqueta {M0225_eHyu} final {alinear}
donde
k_{\rho}^2 \triangleq \beta^2 - k_z^2 \label{m0225_ekrho}
yk_z es la constante de propagación de fase; es decir, se supone que la onda se propaga de acuerdo cone^{-jk_z z}.
Ahora abordemos el problema del hallazgo\widetilde{H}_z, que luego determinará completamente el campo TE. Al igual que en la Sección 6.7, reconocemos que se\widetilde{H}_z puede representar como el factore^{-jk_z z} de propagación multiplicado por un factor que describe la variación con respecto a las dimensiones espaciales restantesx yy:
\widetilde{H}_z = \widetilde{h}_z(x,y) e^{-jk_z z} \nonumber
Sustitución de esta expresión en Ecuación\ ref {M0225_EEFz} y dividiendo el factor común dee^{-jk_z z} rendimientos:
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\widetilde{h}_z + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\widetilde{h}_z - k_z^2 \widetilde{h}_z + \beta^2 \widetilde{h}_z = 0 \nonumber
Los dos últimos términos se pueden combinar usando la ecuación\ ref {m0225_ekrho}, dando:
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\widetilde{h}_z + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\widetilde{h}_z + k_{\rho}^2 \widetilde{h}_z = 0 \label{m0225_eDE1}
Esta es una ecuación diferencial parcial para\widetilde{h}_z en las variablesx yy. Esta ecuación puede resolverse utilizando la técnica de separación de variables. En esta técnica, reconocemos que se\widetilde{h}_z(x,y) puede escribir como el producto de una función de laX(x) que depende solamentex, y una función de laY(y) que depende únicamentey. Es decir,
\widetilde{h}_z(x,y) = X(x) Y(y) \nonumber
Sustituyendo esta expresión en la Ecuación\ ref {M0225_Ede1}, obtenemos:
Y\frac{\partial^2}{\partial x^2}X + X\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y + k_{\rho}^2 XY = 0 \label{m0225_eDE2}
A continuación dividiendo porXY, obtenemos:
\frac{1}{X}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X + \frac{1}{Y}\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y + k_{\rho}^2 = 0 \label{m0225_eDE3}
Obsérvese que el primer término depende sólo dex, el segundo término depende únicamente dey, y el término restante es una constante. Por lo tanto, la suma de los términos primero y segundo es una constante; a saber-k_{\rho}^2. Dado que estos términos dependen de unox oy, y no de ambos, el primer término debe ser igual a alguna constante, el segundo término debe ser igual a alguna constante, y estas constantes deben sumar a-k_{\rho}^2. Por lo tanto, estamos justificados al separar la ecuación en dos ecuaciones de la siguiente manera:
\ begin {align}\ frac {1} {X}\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2} X + k_x^2 &= 0\ label {M0225_Ede4x}\\ frac {1} {Y}\ frac {\ parcial^2} {\ parcial y^2} Y + k_y^2 &= 0\ etiqueta {M0225_Ede4y}\ end {align}
donde las nuevas constantesk_x^2 yk_y^2 deben satisfacer
k_x^2+k_y^2 = k_{\rho}^2 \nonumber
Ahora multiplicando las Ecuaciones\ ref {M0225_Ede4X} y\ ref {XM0225_Ede4y} por yY, respectivamente, encontramos:
\ begin {align}\ frac {\ parcial^2} {\ parcial x^2} X + k_x^2 X &= 0\ label {M0225_ede5x}\\ frac {\ parcial^2} {\ parcial y^2} Y + k_y^2 Y &= 0\ etiqueta {M0225_Ede5y}\ end {align}
Se trata de ecuaciones diferenciales unidimensionales familiares. Las soluciones son: 1
\ begin {align} X &= A\ cos\ izquierda (k_x x\ derecha) + B\ sin\ izquierda (k_x x\ derecha)\ label {M0225_ex}\\ Y &= C\ cos\ izquierda (k_y y\ derecha) + D\ sin\ izquierda (k_y y\ derecha)\ etiqueta {M0225_ey}\ end {align}
dondeA,B,C, yD — comok_x yk_y — son constantes por determinar. En este punto, observamos que la ola que buscamos se puede expresar de la siguiente manera:
\ begin {align}\ Widetilde {H} _z &=\ Widetilde {h} _z (x, y) e^ {-jk_z z}\ nonumber\\ &= X (x) ~Y (y) ~e^ {-jk_z z}\ label {M0225_eezxyz}\ end {align}
La solución es esencialmente completa a excepción de los valores de las constantesAB,C,D,k_x, yk_y. Los valores de estas constantes se determinan aplicando la condición de límite electromagnético relevante. En este caso, se requiere que cualquier componente de\widetilde{\bf E} que sea tangente a una pared perfectamente conductora debe ser cero. Por lo tanto:
\ begin {align}\ Widetilde {E} _y\ izquierda (x=0\ derecha) &= 0\\\ Widetilde {E} _y\ izquierda (x=a\ derecha) &= 0\\ Widetilde {E} _x\ izquierda (y=0\ derecha) &= 0\\\ Widetilde {E} _x\ izquierda (y=b\ derecha) &= 0\ end {align}
Haciendo referencia a la Ecuación\ ref {M0225_EezXYZ} y empleando Ecuaciones\ ref {M0225_EEXU} -\ ref {M0225_ehyu}, obtenemos:
\ begin {align}\ frac {\ parcial} {\ parcial x} X\ izquierda (x=0\ derecha) &= 0\\ frac {\ parcial} {\ parcial} X\ izquierda (x=a\ derecha) &= 0\\ frac {\ parcial} {\ parcial} Y\ izquierda (y=0\ derecha) &= 0\\ frac {\ parcial}\ parcial y} Y\ izquierda (y=b\ derecha) &= 0\ end {align}
Evaluando las derivadas parciales y dividiendo los factores comunes dek_x yk_y, encontramos:
\ begin {align} -A\ sin (k_x\ cdot 0) + B\ cos (k_x\ cdot 0) &= 0\\ -A\ sin (k_x\ cdot a) + B\ cos (k_x\ cdot a) &= 0\\ -C\ sin (k_y\ cdot 0) + D\ cos (k_y\ cdot 0) &= 0\\ -C\ sin (k_y\ cdot b) + D\ cos (k_y\ cdot b) &= 0\ end {align}
Evaluando:
\ begin {align} -A\ cdot 0 + B\ cdot 1 &= 0\ label {m0225_exbc1}\\ -A\ sin\ izquierda (k_x a\ derecha) + B\ cos\ izquierda (k_x a\ derecha) &= 0\ etiqueta {m0225_exbc2}\\ -C\ cdot 0 + D\ cdot 1 &= 0\ etiqueta {m020225_EYBC1}\\ -C\ sin\ izquierda (k_y b\ derecha) + D\ cos\ izquierda (k_y b\ derecha) &= 0\ etiqueta {M0225_EYBC2}\ end {align}
Las ecuaciones\ ref {M0225_ExBC1} y\ ref {M0225_EYBC1} se pueden satisfacer sólo siB=0 yD=0, respectivamente. Posteriormente, las Ecuaciones\ ref {M0225_ExBC2} y\ ref {M0225_EYBC2} reducen a:
\ begin {align}\ sin\ left (k_x a\ right) &= 0\ label {M0225_Exbc2a}\\\ sin\ izquierda (k_y b\ derecha) &= 0\ label {M0225_EYBC2a}\ end {align}
Esto a su vez requiere:
\ begin {align} k_x &=\ frac {m\ pi} {a} ~, ~~~ m=0, 1, 2... \ label {m0225_ekxm}\\ k_y &=\ frac {n\ pi} {b} ~, ~~~ n=0, 1, 2... \ label {m0225_ekyn}\ end {align}
Cada valor entero positivo dem yn conduce a una expresión válida para\widetilde{H}_z conocido como modo. Resumiendo:
\widetilde{H}_z = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \widetilde{H}_z^{(m,n)} \label{m0225_eEzTEall}
donde
\widetilde{H}_z^{(m,n)} \triangleq H_0^{(m,n)} \cos\left(k_x x\right) \cos\left(k_y y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \widetilde{H}_z^{(m,n)} \triangleq H_0^{(m,n)} \cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{b} y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \label{m0225_eEzTE}
dondeH_0^{(m,n)} es una constante arbitraria (consolidando las constantesA yC), y, desdek_x^2 + k_y^2 = k_{\rho}^2 \triangleq \beta^2-k_z^2:
k_z^{(m,n)} = \sqrt{ \omega^2\mu\epsilon - \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 - \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 } \label{m0225_ekzm}
Resumiendo:
El componente TE (\widetilde{E}_z=0) de la onda unidireccional (+\hat{\bf z}-viajera) en una guía de ondas rectangular está completamente determinado por la Ecuación\ ref {M0225_EEZTEALL}, y consiste en los modos definidos por las Ecuaciones\ ref {M0225_EEZTE},\ ref {m0225_ekzm},\ ref {m0225_ekxm}, y\ ref {m0225_ekyn}. Los componentes restantes de campo distintos de cero se pueden determinar usando Ecuaciones\ ref {M0225_EEXU} -\ ref {M0225_Ehyu}.
Es habitual y conveniente referirse a los modos TE en una guía de ondas rectangular usando la notación “TE”_{mn}. Por ejemplo, el modo TE_{12} viene dado por la Ecuación\ ref {M0225_EEZTE} conm=1 yn=2.
Aunque la Ecuación\ ref {M0225_EezteAll} implica la existencia de un_{00} modo TE, cabe señalar que esta onda no tiene componentes de campo eléctrico distintos de cero. Esto se puede determinar matemáticamente siguiendo el procedimiento descrito anteriormente. Sin embargo, esto también se confirma fácilmente de la siguiente manera:\widetilde{E}_x es constante para el_{00} modo TE porquek_{\rho}=0 para este modo, sin embargo,\widetilde{E}_x debe ser cero para cumplir con las condiciones de contorno en los muros eny=0 yy=b. Del mismo modo,\widetilde{E}_y es constante para el_{00} modo TE, sin embargo,\widetilde{E}_y debe ser cero para cumplir con las condiciones de contorno en los muros enx=0 yx=b.
Finalmente, tenga en cuenta que los valores dek_z^{(m,n)} obtenidos de la Ecuación\ ref {m0225_ekzm} no son necesariamente de valor real. Es evidente que para cualquier valor dado dem,k_z^{(m,n)} será imaginario-valorado para todos los valores den mayor que algún valor. De igual manera, es evidente que para cualquier valor dado den,k_z^{(m,n)} será imaginario-valorado para todos los valores dem mayor que algún valor. Este fenómeno es común a los componentes de TE y TM, por lo que se aborda en una sección separada (Sección 6.10).
Lectura adicional:
- “Guía de ondas (radiofrecuencia)” en Wikipedia.
- “Separación de variables” en Wikipedia.
- Se anima a los estudiantes a confirmar que estos son correctos al confirmar que son soluciones a las Ecuaciones\ ref {M0225_Ede5x} y\ ref {M0225_Ede5x}, respectivamente. ↩