8.2: Ángulo de aceptación

En esta sección, consideramos el problema de inyectar luz en un cable de fibra óptica. El problema se ilustra en la Figura$\PageIndex{1}$.

Figura$\PageIndex{1}$: Inyección de luz en un cable de fibra óptica. (CC BY-SA 4.0; S. Lally)

En esta figura, vemos la luz incidente de un medio que tiene índice de refracción$n_0$, con ángulo de incidencia$\theta^i$. La luz se transmite con ángulo de transmisión$\theta_2$ a la fibra, y posteriormente incide sobre la superficie del revestimiento con ángulo de incidencia$\theta_3$. Para que la luz se propague sin pérdida dentro del cable, se requiere que

$$\sin\theta_3 \ge \frac{n_c}{n_f} \label{m0192_eCAnm}$$

ya que este criterio debe cumplirse para que se produzca una reflexión interna total.

Ahora considere la restricción que la Ecuación\ ref {M0192_ECANM} impone$\theta^i$. En primer lugar, observamos que$\theta_3$ se relaciona con$\theta_2$ lo siguiente:

$$\theta_3 = \frac{\pi}{2} - \theta_2 \nonumber$$

por lo tanto

\ begin {align}\ sin\ theta_3 &=\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} -\ theta_2\ derecha)\\ &=\ cos\ theta_2\ end {align}

por lo

$$\cos\theta_2 \ge \frac{n_c}{n_f} \nonumber$$

Al cuadrar ambos lados, encontramos:

$$\cos^2\theta_2 \ge \frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber$$

Ahora invocando una identidad trigonométrica:

$$1-\sin^2\theta_2 \ge \frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber$$

por lo que:

$$\sin^2\theta_2 \le 1-\frac{n_c^2}{n_f^2} \label{m0192_e1}$$

Ahora nos relacionamos con$\theta_2$ el$\theta^i$ uso de la ley de Snell:

$$\sin\theta_2 = \frac{n_0}{n_f}\sin\theta^i \nonumber$$

así que la Ecuación\ ref {m0192_e1} puede escribirse:

$$\frac{n_0^2}{n_f^2}\sin^2\theta^i \le 1-\frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber$$

Ahora resolviendo para$\sin\theta^i$, obtenemos:

$$\sin\theta^i \le \frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 } \nonumber$$

Este resultado indica el rango de ángulos de incidencia que resultan en una reflexión interna total dentro de la fibra. El valor máximo del$\theta^i$ cual satisface esta condición se conoce como el ángulo de aceptación$\theta_a$, por lo que:

$$\theta_a \triangleq \arcsin\left(\frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 }\right) \nonumber$$

Esto lleva a la siguiente visión:

Para lanzar efectivamente luz en la fibra, es necesario que la luz llegue desde dentro de un cono que tenga medio ángulo$\theta_a$ con respecto al eje de la fibra.

El cono de aceptación asociado se ilustra en la Figura$\PageIndex{2}$.

Figura$\PageIndex{2}$: Cono de aceptación. (CC BY-SA 4.0)

También es común definir la cantidad de apertura numérica NA de la siguiente manera:

$$\mbox{NA} \triangleq \frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 } \label{m0192_eNA}$$

Tenga en cuenta que$n_0$ suele estar muy cerca de$1$ (correspondiente a la incidencia desde el aire), por lo que es común ver NA definida como simple$\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 }$. Este parámetro se usa comúnmente en lugar del ángulo de aceptación en hojas de datos para cable de fibra óptica.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Acceptance angle

Los valores típicos de$n_f$ y$n_c$ para una fibra óptica son 1.52 y 1.49, respectivamente. ¿Cuáles son la apertura numérica y el ángulo de aceptación?

Solución

Usando la ecuación\ ref {M0192_ena} y presumiendo$n_0=1$, encontramos NA$\cong \underline{0.30}$. Desde$\sin\theta_a =$ NA, nos encontramos$\theta_a=\underline{17.5^{\circ}}$. La luz debe llegar desde dentro$17.5^{\circ}$ desde el eje de la fibra para asegurar una reflexión interna total dentro de la fibra.