8.2: Ángulo de aceptación
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En esta sección, consideramos el problema de inyectar luz en un cable de fibra óptica. El problema se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
En esta figura, vemos la luz incidente de un medio que tiene índice de refracción\(n_0\), con ángulo de incidencia\(\theta^i\). La luz se transmite con ángulo de transmisión\(\theta_2\) a la fibra, y posteriormente incide sobre la superficie del revestimiento con ángulo de incidencia\(\theta_3\). Para que la luz se propague sin pérdida dentro del cable, se requiere que
\[\sin\theta_3 \ge \frac{n_c}{n_f} \label{m0192_eCAnm} \]
ya que este criterio debe cumplirse para que se produzca una reflexión interna total.
Ahora considere la restricción que la Ecuación\ ref {M0192_ECANM} impone\(\theta^i\). En primer lugar, observamos que\(\theta_3\) se relaciona con\(\theta_2\) lo siguiente:
\[\theta_3 = \frac{\pi}{2} - \theta_2 \nonumber \]
por lo tanto
\ begin {align}\ sin\ theta_3 &=\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} -\ theta_2\ derecha)\\ &=\ cos\ theta_2\ end {align}
por lo
\[\cos\theta_2 \ge \frac{n_c}{n_f} \nonumber \]
Al cuadrar ambos lados, encontramos:
\[\cos^2\theta_2 \ge \frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber \]
Ahora invocando una identidad trigonométrica:
\[1-\sin^2\theta_2 \ge \frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber \]
por lo que:
\[\sin^2\theta_2 \le 1-\frac{n_c^2}{n_f^2} \label{m0192_e1} \]
Ahora nos relacionamos con\(\theta_2\) el\(\theta^i\) uso de la ley de Snell:
\[\sin\theta_2 = \frac{n_0}{n_f}\sin\theta^i \nonumber \]
así que la Ecuación\ ref {m0192_e1} puede escribirse:
\[\frac{n_0^2}{n_f^2}\sin^2\theta^i \le 1-\frac{n_c^2}{n_f^2} \nonumber \]
Ahora resolviendo para\(\sin\theta^i\), obtenemos:
\[\sin\theta^i \le \frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 } \nonumber \]
Este resultado indica el rango de ángulos de incidencia que resultan en una reflexión interna total dentro de la fibra. El valor máximo del\(\theta^i\) cual satisface esta condición se conoce como el ángulo de aceptación\(\theta_a\), por lo que:
\[\theta_a \triangleq \arcsin\left(\frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 }\right) \nonumber \]
Esto lleva a la siguiente visión:
Para lanzar efectivamente luz en la fibra, es necesario que la luz llegue desde dentro de un cono que tenga medio ángulo\(\theta_a\) con respecto al eje de la fibra.
El cono de aceptación asociado se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\).
También es común definir la cantidad de apertura numérica NA de la siguiente manera:
\[\mbox{NA} \triangleq \frac{1}{n_0}\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 } \label{m0192_eNA} \]
Tenga en cuenta que\(n_0\) suele estar muy cerca de\(1\) (correspondiente a la incidencia desde el aire), por lo que es común ver NA definida como simple\(\sqrt{ n_f^2 - n_c^2 }\). Este parámetro se usa comúnmente en lugar del ángulo de aceptación en hojas de datos para cable de fibra óptica.
Los valores típicos de\(n_f\) y\(n_c\) para una fibra óptica son 1.52 y 1.49, respectivamente. ¿Cuáles son la apertura numérica y el ángulo de aceptación?
Solución
Usando la ecuación\ ref {M0192_ena} y presumiendo\(n_0=1\), encontramos NA\(\cong \underline{0.30}\). Desde\(\sin\theta_a =\) NA, nos encontramos\(\theta_a=\underline{17.5^{\circ}}\). La luz debe llegar desde dentro\(17.5^{\circ}\) desde el eje de la fibra para asegurar una reflexión interna total dentro de la fibra.