10.5: Modelo de Circuito Equivalente para Transmisión; Eficiencia de Radiación
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Un transmisor de radio consiste en una fuente que genera la señal eléctrica destinada a la transmisión, y una antena que convierte esta señal en una onda electromagnética de propagación. Dado que el transmisor es un sistema eléctrico, es útil para poder modelar la antena como un circuito equivalente. Desde el punto de vista del análisis de circuitos, debería ser posible describir la antena como un circuito pasivo de un puerto que presenta una impedancia a la fuente. Así, tenemos la siguiente pregunta: ¿Cuál es el circuito equivalente para una antena que está transmitiendo?
Comenzamos enfatizando que la antena es pasiva. Es decir, la antena no agrega energía. Invocando el principio de conservación de la energía, solo hay tres cosas posibles que pueden suceder con la energía que es entregada a la antena por el transmisor: 1
- La energía se puede convertir en una onda electromagnética de propagación. (El resultado deseado.)
- La energía se puede disipar dentro de la antena.
- La energía puede ser almacenada por la antena, análoga al almacenamiento de energía en un condensador o inductor.
También observamos que estos resultados pueden ocurrir en cualquier combinación. Teniendo esto en cuenta, modelizamos la antena utilizando el circuito equivalente que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
Dado que la antena es pasiva, es razonable describirla como una impedancia\(Z_A\) que es (por definición) la relación de voltaje\(\widetilde{V}_A\) a corriente\(\widetilde{I}_A\) en los terminales; es decir,
\[Z_A \triangleq \frac{\widetilde{V}_A}{\widetilde{I}_A} \nonumber \]
En el dominio fasor,\(Z_A\) es una cantidad de valor complejo y por lo tanto tiene, en general, un componente de valor real y un componente imaginario. Podemos identificar esos componentes usando el argumento de conservación de energía hecho anteriormente: Dado que el componente de valor real debe representar la transferencia de potencia y el componente imaginario debe representar el almacenamiento de energía, inferimos:
\[Z_A \triangleq R_A +jX_A \nonumber \]
donde\(R_A\) representa la potencia transferida a la antena, y\(X_A\) representa la energía almacenada por la antena. Tenga en cuenta que la energía almacenada por la antena se está abordando precisamente de la misma manera que abordamos el almacenamiento de energía en un condensador o un inductor; en todos los casos, como reactancia. Además, observamos que\(R_A\) consta de componentes\(R_{rad}\) y de la\(R_{loss}\) siguiente manera:
\[Z_A = R_{rad} + R_{loss} +jX_A \nonumber \]
donde\(R_{rad}\) representa la potencia transferida a la antena y posteriormente radiada, y\(R_{loss}\) representa la potencia transferida a la antena y posteriormente disipada.
Para confirmar que este modelo funciona como se esperaba, considere lo que sucede cuando se aplica una tensión a través de los terminales de la antena. Los\(\widetilde{I}_A\) flujos de corriente y la potencia promedio de tiempo\(P_A\) transferida a la antena es
\[P_A = \frac{1}{2}\mbox{Re}\left\{ \widetilde{V}_A \widetilde{I}^*_A \right\} \nonumber \]
donde hemos asumido unidades pico (a diferencia de la raíz media cuadrada) para voltaje y corriente. Desde entonces\(\widetilde{V}_A = Z_A \widetilde{I}_A\), tenemos:
\[P_A = \frac{1}{2}\mbox{Re}\left\{ \left( R_{rad} + R_{loss} +jX_A \right) \widetilde{I}_A \widetilde{I}^*_A \right\} \nonumber \]
lo que reduce a:
\[P_A = \frac{1}{2}\left|\widetilde{I}_A\right|^2 R_{rad} + \frac{1}{2}\left|\widetilde{I}_A\right|^2 R_{loss} \label{m0202_ePA} \]
Como era de esperar, la potencia transferida a la antena es la suma de
\[P_{rad} \triangleq \frac{1}{2}\left|\widetilde{I}_A\right|^2 R_{rad} \label{m0202_ePrad} \]
representar la potencia transferida al campo electromagnético radiante, y
\[P_{loss} \triangleq \frac{1}{2}\left|\widetilde{I}_A\right|^2 R_{loss} \label{m0202_ePloss} \]
representando la potencia disipada dentro de la antena.
La reactancia\(X_A\) jugará un papel en la determinación\(\widetilde{I}_A\) dada\(\widetilde{V}_A\) (y viceversa), pero no da cuenta por sí misma de la disposición del poder. Nuevamente, esto es exactamente análogo al papel que desempeñan los inductores y capacitores en un circuito.
La utilidad de este formalismo de circuito equivalente es que nos permite tratar la antena de la misma manera que cualquier otro componente, y con ello facilita el análisis utilizando la teoría de circuitos eléctricos convencionales y la teoría de líneas de transmisión. Por ejemplo: Dado\(Z_A\), sabemos especificar la impedancia\(Z_S\) de salida del transmisor para minimizar la reflexión de la antena: Nosotros elegiríamos\(Z_S=Z_A\), ya que en este caso el coeficiente de reflexión de voltaje sería
\[\Gamma = \frac{Z_A-Z_S}{Z_A+Z_S} = 0 \nonumber \]
Alternativamente, podríamos especificar\(Z_S\) para maximizar la transferencia de potencia a la antena: Nosotros elegiríamos\(Z_S=Z_A^*\); es decir, coincidencia conjugada.
Para aprovechar al máximo este formalismo, requerimos valores para\(R_{rad}\),\(R_{loss}\), y\(X_A\). Estas cantidades se consideran a continuación.
Resistencia a la radiación
(R_ {rad}\) se conoce como resistencia a la radiación. La ecuación\ ref {M0202_Eprad} nos dice que
\[R_{rad} = 2P_{rad}\left|\widetilde{I}_A\right|^{-2} \label{m0202_ePrad2} \]
Esta ecuación sugiere el siguiente procedimiento: Aplicamos corriente\(\widetilde{I}_A\) a los terminales de la antena, para luego determinar la potencia total\(P_{rad}\) radiada desde la antena en respuesta. Para un ejemplo de este procedimiento, consulte la Sección 10.2 (“Potencia Total Radiada por un Dipolo Eléctrico Corto”). Dado\(\widetilde{I}_A\) y\(P_{rad}\), entonces se puede usar la Ecuación\ ref {M0202_EPrad2} para determinar\(R_{rad}\).
Resistencia a la pérdida
La resistencia a la pérdida representa la disipación de potencia dentro de la antena, lo que generalmente es atribuible a la pérdida intrínseca a los materiales que comprenden o rodean la antena. En muchos casos, las antenas están hechas de buenos conductores —metales, en particular— por lo que\(R_{loss}\) es muy bajo en comparación con\(R_{rad}\). Para tales antenas, la pérdida suele ser tan baja en comparación con\(R_{rad}\) eso\(R_{loss}\) puede ser descuidado. En el caso del dipolo eléctricamente corto,\(R_{loss}\) suele ser muy pequeño pero\(R_{rad}\) también muy pequeño, por lo que ambos deben ser considerados. En muchos otros casos, las antenas contienen materiales con una pérdida sustancialmente mayor que el metal. Por ejemplo, una antena de parche de microcinta implementada en una placa de circuito impreso tiene típicamente no despreciable\(R_{loss}\) debido a que el material dieléctrico que comprende la antena presenta una pérdida significativa.
Reactancia de antena
El término de reactancia\(jX_A\) representa la energía almacenada por la antena. Esto puede deberse a reflexiones internas a la antena, o debido a la energía asociada con campos eléctricos y magnéticos no propagantes que rodean la antena. La presencia de reactancia significativa (es decir,\(\left|X_A\right|\) comparable o mayor que\(\left|R_A \right|\)) complica los esfuerzos para establecer la coincidencia de impedancia deseada con la fuente. Para un ejemplo, consulte la Sección 10.4 (“Reactancia del dipolo eléctrico corto”).
Eficiencia de la radiación
Cuando no\(R_{loss}\) es despreciable, es útil caracterizar las antenas en términos de su eficiencia de radiación\(e_{rad}\), definida como la fracción de potencia que se irradia en comparación con la potencia total entregada a la antena; es decir,
\[e_{rad} \triangleq \frac{P_{rad}}{P_A} \nonumber \]
Usando Ecuaciones\ ref {M0202_EPA} -\ ref {M0202_EPloss}, vemos que esta eficiencia se puede expresar de la siguiente manera:
\[e_{rad} = \frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{loss}} \label{m0202_eRE} \]
Una vez más, el formalismo de circuito equivalente resulta útil.
La potencia total irradiada por una antena es de 60 mW cuando se aplica 20 mA (rms) a los terminales de la antena. Se sabe que la eficiencia de radiación de la antena es del 70%. Se observa que el voltaje y la corriente están en fase en los terminales de la antena. Determinar (a) la resistencia a la radiación, (b) la resistencia a la pérdida y (c) la impedancia de la antena.
Solución
De la declaración del problema,\(P_{rad}=60\) mW,\(\left|\widetilde{I}_A\right|=20\) mA (rms), y\(e_{rad}=0.7\). También, el hecho de que la tensión y la corriente estén en fase en los terminales de la antena indica que\(X_A=0\). De la Ecuación\ ref {M0202_EPrad2}, la resistencia a la radiación es
\[R_{rad} \approx \frac{2\cdot\left(60~\mbox{mW}\right)}{\left|\sqrt{2}\cdot 20~\mbox{mA}\right|^2} = \underline{150~\Omega} \nonumber \]
Resolviendo la ecuación\ ref {M0202_ere} para la resistencia a la pérdida, encontramos:
\[R_{loss} = \frac{1-e_{rad}}{e_{rad}}R_{rad} \cong \underline{64.3~\Omega} \nonumber \]
Ya que\(Z_A=R_{rad}+R_{loss}+jX_A\), nos encontramos\(Z_A\cong \underline{214.3+j0 \: \Omega}\). Esta será la relación entre voltaje y corriente en los terminales de la antena independientemente de la corriente de fuente.
- Tenga en cuenta que la potencia “entregada” significa la potencia aceptada por la antena. Todavía no estamos considerando la potencia reflejada desde la antena debido a la falta de coincidencia de impedancia. ↩