10.4: Reactancia del dipolo eléctrico corto
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Para cualquier voltaje variable en el tiempo dado que aparezca a través de los terminales de una antena eléctricamente corta, habrá una corriente variable en el tiempo que fluye en respuesta. La relación entre voltaje y corriente es impedancia. Así como una resistencia, un condensador o un inductor pueden caracterizarse en términos de impedancia, cualquier antena puede caracterizarse en términos de esta impedancia. El componente de valor real de esta impedancia representa la potencia que se irradia lejos de la antena (Sección 10.2) y se disipa dentro de la antena (Sección 10.3). El componente imaginario de esta impedancia —es decir, la reactancia— típicamente representa el almacenamiento de energía dentro de la antena, de la misma manera que la reactancia de un condensador o inductor representa el almacenamiento de energía eléctrica o magnética, respectivamente. En esta sección, determinamos la reactancia del dipolo eléctrico corto (ESD).
Reactancia de un dipolo de longitud cero
Comenzamos con lo que inicialmente podría parecer una noción absurda: Una antena dipolo que tiene longitud cero. Sin embargo, dicho dipolo es ciertamente eléctricamente corto, y de hecho sirve como una condición extrema de la que podemos deducir alguna información útil. Considere la Figura\(\PageIndex{1}\), que muestra un dipolo de longitud cero siendo impulsado por una fuente a través de una línea de transmisión.
Es inmediatamente evidente que dicho dipolo es equivalente a un circuito abierto. Entonces, la impedancia de un dipolo de longitud cero es igual a la de un circuito abierto.
¿Cuál es la impedancia de un circuito abierto? Uno podría sentirse tentado a decir “infinito”, ya que la corriente es cero independientemente del voltaje. Sin embargo, ahora debemos tener cuidado de reconocer adecuadamente los componentes reales e imaginarios de este número infinito, y los signos de estos componentes. De hecho, la impedancia de un circuito abierto es\(0-j\infty\). Una forma de confirmar esto es a través de la teoría básica de líneas de transmisión; es decir, la impedancia de entrada de los stubs de línea de transmisión Una justificación más directa es la siguiente: La parte real de la impedancia es cero porque no hay transferencia de potencia a la terminación. La magnitud de la parte imaginaria de la impedancia debe ser infinita porque la corriente es cero. El signo del componente imaginario es negativo porque la corriente reflejada experimenta un cambio de signo (requerido para hacer cero la corriente total), mientras que la tensión reflejada no experimenta un cambio de signo (y así no se cancela en los terminales). Así, la impedancia de un circuito abierto, y el dipolo de longitud cero, es\(0-j\infty\).
Reactancia de un dipolo de longitud casi cero
Consideremos ahora qué sucede a medida que la longitud del dipolo aumenta de cero. Dado que dicho dipolo es corto en comparación con una longitud de onda, la variación con la longitud debe ser muy simple. La reactancia sigue siendo grande y negativa, pero solo puede aumentar (volverse menos negativa) monótonamente al aumentar la longitud eléctrica. Esta tendencia continúa hasta que el dipolo ya no es eléctricamente corto. Así, concluimos que la reactancia de una ESD es siempre grande y negativa.
La reactancia de un ESD es muy grande y negativa, acercándose a la reactancia de una terminación de circuito abierto a medida que la longitud disminuye a cero.
Tenga en cuenta que este comportamiento es similar al de un condensador, cuya impedancia también es negativa y aumenta hacia cero al aumentar la frecuencia. Por lo tanto, la reactancia de un ESD a veces se representa en diagramas de circuito como un condensador. Sin embargo, la dependencia específica de la reactancia en la frecuencia es diferente de la de un condensador (como veremos en un momento), por lo que este modelo es generalmente válido solo para análisis a una frecuencia a la vez.
Una expresión aproximada para la reactancia de una ESD
En ocasiones es útil poder estimar la reactancia\(X_A\) de una ESD. Si bien una derivación está fuera del alcance de este texto, una expresión adecuada es (véase, por ejemplo, Johnson (1993) en “Referencias adicionales” al final de esta sección):
\[X_A \approx -\frac{120~\Omega}{\pi L/\lambda} \left[ \ln{\left(\frac{L}{2a}\right)}-1 \right] \label{m0210_eXA} \]
donde\(L\) es la longitud y\(a\ll L\) es el radio del cable que comprende el ESD. Obsérvese que esta expresión produce el comportamiento esperado; es decir,\(X_A\rightarrow-\infty\) as\(L \rightarrow 0\), y aumenta monótonamente a medida que\(L\) aumenta desde cero.
Un dipolo mide 10 cm de longitud, 1 mm de radio y está rodeado de espacio libre. ¿Cuál es la reactancia de esta antena a 30 MHz?
Solución
La longitud de onda\(\lambda=c/f \cong 10\) m, entonces\(L = 10~\mbox{cm} \cong 0.01\lambda\). Esto ciertamente califica como eléctricamente corto, por lo que podemos usar la ecuación\ ref {M0210_exa}. Dado\(a=1\) mm, encontramos la reactancia\(X_A \approx \underline{-11.1~\mbox{k}\Omega}\). Por lo que vale, esta antena exhibe aproximadamente la misma reactancia que un condensador de 0.47 pF a la misma frecuencia.
La reactancia de la ESD es típicamente órdenes de magnitud mayor que la parte real de la impedancia de la ESD. La reactancia de la ESD también suele ser muy grande en comparación con la impedancia característica de las líneas de transmisión típicas (generalmente de 10s a 100s de ohmios). Esto hace que los ESD sean bastante difíciles de usar en aplicaciones prácticas de transmisión.
Lectura adicional:
- R.C. Johnson (Ed.), Manual de sistemas de antena (capítulo 4), McGraw-Hill, 1993.