10.12: Modelo de circuito equivalente para recepción, Redux
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La Sección 10.9 proporciona una derivación informal de un modelo de circuito equivalente para una antena receptora. Este modelo se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
La derivación de este modelo fue informal e incompleta debido a que el potencial de circuito abierto\({\bf E}^i\cdot{\bf l}_e\) y la impedancia de fuente no\(Z_A\) se derivaron rigurosamente en esa sección. Si bien el potencial de circuito abierto se derivó en la Sección 10.11 (“Potencial inducido en un dipolo”), la impedancia de la fuente aún no se ha abordado. En esta sección se deriva la impedancia fuente, la cual completa la derivación formal del modelo. Antes de leer esta sección, se recomienda una revisión de la Sección 10.10 (“Reciprocidad”).
El punto de partida para una derivación formal es el modelo de dos puertos mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\).
Si el puerto de dos es pasivo, lineal e invariable en el tiempo, entonces el potencial\(v_2\) es una función lineal de potenciales y corrientes presentes en los puertos 1 y 2. Además,\(v_1\) debe ser proporcional a\(i_1\), y de manera similar\(v_2\) debe ser proporcional a\(i_2\), por lo que cualquier par de “entradas” consistentes en potenciales o corrientes determina completamente los dos potenciales o corrientes restantes. Así, podemos escribir:
\[v_2 = Z_{21} i_1 + Z_{22} i_2 \label{m0216_ev2} \]
donde\(Z_{11}\) y\(Z_{12}\) son, por el momento, simplemente constantes de proporcionalidad. Sin embargo, tenga en cuenta que\(Z_{11}\) y\(Z_{12}\) tenemos unidades base SI de\(\Omega\), y así nos referimos a estas cantidades como impedancias. Del mismo modo podemos escribir:
\[v_1 = Z_{11} i_1 + Z_{12} i_2 \label{m0216_ev1} \]
Podemos desarrollar expresiones para\(Z_{12}\) y de la\(Z_{21}\) siguiente manera. Primero, tenga en cuenta que\(v_{1}=Z_{12}i_2\) cuando\(i_1=0\). Por lo tanto, podemos definir de\(Z_{12}\) la siguiente manera:
\[Z_{12} \triangleq \left.\frac{v_1}{i_2}\right|_{i_1=0} \nonumber \]
La forma más sencilla de hacer\(i_1=0\) (dejando\(i_2\) como única “entrada”) es dejar el puerto 1 en circuito abierto. En secciones anteriores, invocamos notación especial para estas circunstancias. En particular, definimos\(\widetilde{I}_2^t\) como\(i_2\) en representación fasorial, con el superíndice “\(t\)” (“transmisor”) indicando que esta es la única “entrada”; y\(\widetilde{V}_1^r\) como\(v_1\) en la representación fasorial, con el superíndice “\(r\)” (“receptor”) señalando que el puerto 1 es ambos abierto- en circuito y la “salida”. Aplicando esta notación, observamos:
\[Z_{12} = \frac{\widetilde{V}_1^r}{\widetilde{I}_2^t} \label{m0216_eZ12} \]
Del mismo modo:
\[Z_{21} = \frac{\widetilde{V}_2^r}{\widetilde{I}_1^t} \label{m0216_eZ21} \]
En la Sección 10.10 (“Reciprocidad”), establecimos que un par de antenas podrían representarse como un puerto lineal pasivo invariable en el tiempo, con\(v_1\) y\(i_1\) representando el potencial y la corriente en los terminales de una antena (“antena 1”),\(v_2\) y\(i_2\) representando el potencial y corriente en los terminales de otra antena (“antena 2”). Por lo tanto, para cualquier par de antenas\(Z_{11}\), cantidades\(Z_{12}\)\(Z_{22}\),, y se\(Z_{21}\) pueden identificar que determinan completamente la relación entre los potenciales de puerto y las corrientes.
También establecimos en la Sección 10.10 que:
\[\widetilde{I}_1^t \widetilde{V}_1^r = \widetilde{I}_2^t \widetilde{V}_2^r \label{m0216_eRIV} \]
Por lo tanto,
\[\frac{\widetilde{V}_1^r}{\widetilde{I}_2^t} = \frac{\widetilde{V}_2^r}{\widetilde{I}_1^t} \label{m0216_eR1} \]
Refiriéndose a las Ecuaciones\ ref {M0216_EZ12} y\ ref {M0216_EZ21}, vemos que la Ecuación\ ref {M0216_ER1} requiere que:
\[Z_{12} = Z_{21} \nonumber \]
Este es un punto clave. A pesar de que derivamos esta igualdad abriendo puertos uno a la vez, la igualdad debe mantenerse generalmente ya que las Ecuaciones\ ref {m0216_ev2} y\ ref {m0216_ev1} deben aplicarse —con los mismos valores de\(Z_{12}\) y\(Z_{21}\) — independientemente de los valores particulares de los potenciales y corrientes del puerto.
Ahora estamos listos para determinar el circuito equivalente a Thévenin para una antena receptora. Deje que el puerto 1 corresponda a la antena transmisora; es decir,\(i_1\) es\(\widetilde{I}_1^t\). Deje que el puerto 2 corresponda a una antena receptora de circuito abierto; así,\(i_2=0\) y\(v_2\) es\(\widetilde{V}_2^r\). Ahora aplicando la ecuación\ ref {m0216_ev2}:
\[\begin{aligned} v_2 &= Z_{21} i_1 + Z_{22} i_2 \nonumber \\ &= \left(\widetilde{V}_2^r/\widetilde{I}_1^t\right) \widetilde{I}_1^t + Z_{22} \cdot 0 \nonumber \\ &= \widetilde{V}_2^r\end{aligned} \nonumber \]
Previamente determinamos a\(\widetilde{V}_2^r\) partir de consideraciones electromagnéticas (Sección 10.11):
\[\widetilde{V}_2^r = \widetilde{\bf E}^i\cdot{\bf l}_e \nonumber \]
donde\(\widetilde{\bf E}^i\) es el incidente de campo en la antena receptora, y\({\bf l}_e\) es la longitud efectiva del vector como se define en la Sección 10.11. Así, la fuente de voltaje en el circuito equivalente de Thévenin para la antena receptora es simplemente\(\widetilde{\bf E}^i\cdot{\bf l}_e\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
El otro componente en el circuito equivalente de Thévenin es la impedancia en serie. A partir de la teoría básica de circuitos, esta impedancia es la relación de\(v_2\) cuando el puerto 2 está en circuito abierto (es decir,\(\widetilde{V}_2^r\)) a\(i_2\) cuando el puerto 2 está cortocircuitado. Este valor de se\(i_2\) puede obtener usando la Ecuación\ ref {m0216_ev2} con\(v_2=0\):
\[0 = Z_{21} \widetilde{I}_1^t + Z_{22} i_2 \nonumber \]
Por lo tanto:
\[i_2 = - \frac{Z_{21}}{Z_{22}} \widetilde{I}_1^t \nonumber \]
Ahora usando la Ecuación\ ref {M0216_EZ21} para eliminar\(\widetilde{I}_1^t\), obtenemos:
\[i_2 = - \frac{\widetilde{V}_2^r}{Z_{22}} \nonumber \]
Tenga en cuenta que la dirección de referencia para\(i_2\) como se define en la Figura\(\PageIndex{2}\) es opuesta a la dirección de referencia para la corriente de cortocircuito. Es decir, dada la polaridad\(v_2\) mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\), la dirección de referencia del flujo de corriente a través de una carga pasiva unida a este puerto es de “\(+\)” a “\(-\)” a través de la carga. Por lo tanto, la impedancia de la fuente, calculada como la relación entre el potencial de circuito abierto y la corriente de cortocircuito, es:
\[\frac{\widetilde{V}_2^r}{+\widetilde{V}_2^r/Z_{22}} = Z_{22} \nonumber \]
Hemos encontrado que la impedancia\(Z_A\) en serie en el circuito equivalente de Thévenin es igual a\(Z_{22}\) en el modelo de dos puertos.
Para determinar\(Z_{22}\), apliquemos una corriente\(i_2=\widetilde{I}_2^t\) al puerto 2 (es decir, la antena 2). La ecuación\ ref {m0216_ev2} indica que deberíamos ver:
\[v_2 = Z_{21} i_1 + Z_{22} \widetilde{I}_2^t \nonumber \]
Resolviendo para\(Z_{22}\):
\[Z_{22} = \frac{v_2}{\widetilde{I}_2^t} - Z_{21} \frac{i_1}{\widetilde{I}_2^t} \label{m0216_eZ22exact} \]
Tenga en cuenta que el primer término a la derecha es precisamente la impedancia de la antena 2 en transmisión. El segundo término en la Ecuación\ ref {M0216_EZ22exact} describe una contribución a\(Z_{22}\) desde la antena 1. Sin embargo, nuestro interés inmediato está en el circuito equivalente para la recepción de un campo eléctrico\(\widetilde{\bf E}^i\) en ausencia de cualquier otra antena. Podemos tenerlo en ambos sentidos imaginando que\(\widetilde{\bf E}^i\) es generado por la antena 1, pero también que la antena 1 está lo suficientemente lejos como para hacer\(Z_{21}\) —el factor que determina el efecto de la antena 1 en la antena 2— insignificante. Entonces vemos de la Ecuación\ ref {M0216_EZ22exact} que\(Z_{22}\) es la impedancia de la antena 2 al transmitir.
Resumiendo:
El circuito equivalente Thévenin para una antena en presencia de un campo eléctrico incidente\(\widetilde{\bf E}^i\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). La impedancia\(Z_A\) en serie en este modelo es igual a la impedancia de la antena en transmisión.
Acoplamiento mutuo
Esto concluye la derivación, pero plantea una pregunta de seguimiento: ¿Qué pasa si la antena 2 está presente y no lo suficientemente lejos que se\(Z_{21}\) puede suponer que es despreciable? En este caso, nos referimos a la antena 1 y la antena 2 como “acopladas”, y nos referimos al efecto de la presencia de la antena 1 en la antena 2 como acoplamiento. A menudo, este tema se conoce como acoplamiento mutuo, ya que el acoplamiento afecta a ambas antenas de manera recíproca. Es raro que el acoplamiento sea significativo entre antenas en extremos opuestos de un enlace de radio. Esto es evidente a partir de la experiencia común. Por ejemplo, normalmente no se ve que los cambios en una antena receptora afecten el incidente del campo eléctrico en otras ubicaciones. Sin embargo, el acoplamiento se vuelve importante cuando el sistema de antenas es una matriz densa; es decir, múltiples antenas separadas por distancias menores que unas pocas longitudes de onda. Es común que el acoplamiento entre las antenas en una matriz densa sea significativo. Dichos arreglos se pueden analizar utilizando una versión generalizada de la teoría presentada en esta sección.