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10.11: Potencial inducido en un dipolo

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Una onda electromagnética incidente en una antena inducirá un potencial en los terminales de la antena. En esta sección, derivaremos este potencial. Para simplificar la derivación, consideraremos el caso especial de un dipolo delgado recto de longitud arbitraria que es iluminado por una onda plana. Sin embargo, ciertos aspectos de la derivación se aplicarán a las antenas en general. En particular, los conceptos de longitud efectiva (también conocida como altura efectiva) y longitud efectiva vectorial emergen naturalmente de esta derivación, por lo que esta sección también sirve como un escalón en el desarrollo de un modelo de circuito equivalente para una antena receptora. La derivación se basa en las propiedades de transmisión de los dipolos así como en el principio de reciprocidad, por lo que se recomienda conocer esos temas antes de leer esta sección.

El escenario de interés se muestra en la Figura10.11.1. Aquí se localiza en el origen un dipolo recto delgadoˆz alineado. La longitud total del dipolo esL. Los brazos del dipolo son perfectamente conductores. Los terminales constan de un pequeño hueco de longitudΔl entre los brazos. La onda plana incidente se describe en términos de su intensidad de campo eléctrico˜Ei. La pregunta es: ¿Cuál es˜VOC, el potencial en los terminales cuando los terminales están en circuito abierto?

m0215_fRxDipole.png
Figura10.11.1: Se induce un potencial en los terminales de un dipolo recto delgado en respuesta a una onda plana incidente. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

Existen múltiples enfoques para resolver este problema. Un ataque directo consiste en invocar el principio de que el potencial es igual a la integral de la intensidad del campo eléctrico sobre una trayectoria. En este caso, el trayecto comienza en el terminal “” y termina en el terminal “+”, cruzando el hueco que define los terminales de antena. Así:

˜VOC=gap˜Egapdl

donde˜Egap está el campo eléctrico en la brecha. El problema con este enfoque es que el valor de no˜Egap está fácilmente disponible. No es simplemente˜Ei, porque la estructura de la antena (en particular, las condiciones de límite electromagnético) modifican el campo eléctrico en las proximidades de la antena. 1

Afortunadamente, podemos sortear este obstáculo utilizando el principio de reciprocidad. En una estrategia basada en la reciprocidad, establecemos una relación entre dos escenarios que ocurren dentro de un mismo sistema electromagnético. El primer escenario se muestra en la Figura10.11.2.

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Figura10.11.2: El dipolo de interés impulsado por la corriente˜It1 irradia campo eléctrico~E1, dando como resultado un potencial de circuito abierto˜Vr2 en los terminales de un dipolo hertziano en el campo lejano. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

En este escenario, tenemos dos dipolos. El primer dipolo es precisamente el dipolo de interés (Figura10.11.1), excepto que˜It1 se aplica una corriente a los terminales de la antena. Esto da lugar a una distribución de corriente˜I(z) (unidades base SI de A) a lo largo del dipolo, y posteriormente el dipolo irradia el campo eléctrico (Sección 9.6):

\ begin {align}\ Widetilde {\ bf E} _1 ({\ bf r}) &\ approx\ hat {\ bf\ theta} j\ frac {\ eta} {2}\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r} ~\ izquierda (\ sin\ theta\ derecha)\ nonumber\ & ~~~\ cdot\ izquierda [\ frac {1} {\ lambda}\ int_ {-L/2} ^ {+L/2}\ Widetilde {I} (z') e^ {+j\ beta z'\ cos {\ theta}} dz'\ derecha]\ etiqueta {M0215_eesde}\ end {align}

La segunda antena es un dipolo hertzianoˆθ -alineado en el campo lejano, que recibe˜E1. (Para un repaso sobre las propiedades de los dipolos hertzianos, ver Sección 9.4. Un punto clave es que los dipolos hertzianos son muy pequeños.) Específicamente, medimos (conceptualmente, al menos) el potencial de circuito abierto˜Vr2 en los terminales del dipolo hertziano. Seleccionamos un dipolo hertziano para este propósito porque, a diferencia de esencialmente todas las demás antenas, es simple determinar el potencial de circuito abierto. Como se explicó anteriormente:

˜Vr2=gap˜Egapdl

Para el dipolo hertziano,˜Egap es simplemente el campo eléctrico incidente, ya que hay una estructura insignificante (en particular, una cantidad insignificante de material) presente para modificar el campo eléctrico. Así, simplemente tenemos:

˜Vr2=gap˜E1dl

Dado que el dipolo hertziano es muy corto y muy alejado del dipolo transmisor,˜E1 es esencialmente constante sobre la brecha. También recordemos que requerimos que el dipolo hertziano estuviera alineado con˜E1. Al elegir integrar en línea recta a través de la brecha, la ecuación\ ref {m0215_EV2R1} se reduce a:

˜Vr2=˜E1(r2)ˆθΔl

dondeΔl es la longitud de la brecha yr2 es la ubicación del dipolo hertziano. Sustituyendo la expresión por˜E1 de Ecuación\ ref {M0215_EESDE}, obtenemos:

\ begin {align}\ Widetilde {V} _2^r\ approx &- j\ frac {\ eta} {2}\ frac {e^ {-j\ beta r_2}} {r_2} ~\ izquierda (\ sin\ theta\ derecha)\ nonumber\\ & ~~~\ cdot\ izquierda [\ frac {1} {\ lambda}\ int_ {-L/2} ^ {+L/2}\ tilde ancho {I} (z') e^ {+j\ beta z'\ cos {\ theta}} dz'\ derecha]\ Delta l\ etiqueta {m0215_EV2r3}\ end {align}

donder2=|r2|.

m0215_fReciprocity2.png
Figura10.11.3: El dipolo hertziano impulsado por la corriente Iet˜It2 irradia campo eléctrico˜E2, dando como resultado un potencial de circuito abierto˜Vr1 en los terminales del dipolo de interés. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

El segundo escenario se muestra en la Figura10.11.3. Este escenario es idéntico al primer escenario, con la excepción de que el dipolo hertziano transmite y el dipolo de interés recibe. El campo irradiado por el dipolo hertziano en respuesta a la corriente aplicada˜It2, evaluada en el origen, es (Sección 9.4):

˜E2(r=0)ˆθjη˜It2βΔl4π (1) ejβr2r2

El factor “sinθ” en la expresión general es igual a 1 en este caso, ya que, como se muestra en la Figura10.11.3, el origen se localiza de lado ancho (es decir, enπ/2 rad) con relación al eje del dipolo hertziano. También tenga en cuenta que debido a que se presume que el dipolo hertziano está en el campo lejano,E2 puede interpretarse como una onda plana en la región del dipolo receptor de interés.

Ahora nos preguntamos: ¿Cuál es el potencial inducido˜Vr1 en el dipolo de interés? Una vez más, la Ecuación\ ref {M0215_EVOC-General} no es de mucha ayuda, porque no se conoce el campo eléctrico en la brecha. No obstante, sí sabemos que˜Vr1 debe ser proporcional a˜E2(r=0), ya que se presume que se trata de un sistema lineal. Con base solo en esta cantidad de información, debe haber algún vectorle=ˆlle para el cual

˜Vr1=˜E2(r=0)le

Esto no define de manera única ni el vector unitarioˆl ni la parte escalarle, ya que un cambio en la definición de la primera puede ser compensado por un cambio en la definición de esta última y viceversa. Por lo que en este punto invocamos la definición estándar dele como la longitud efectiva del vector, introducida en la Sección 10.9. Así,ˆl se define como la dirección en la que se polarizaría un campo eléctrico transmitido desde la antena. En el presente ejemplo,ˆl=ˆθ, donde el signo menos refleja el hecho de que el potencial terminal positivo da como resultado una corriente terminal que fluye en laˆz dirección. Así, la Ecuación\ ref {M0215_evel1} se convierte en:

˜Vr1=˜E2(r=0)ˆθle

Podemos ir un poco más allá y sustituir la expresión˜E2(r=0) de la ecuación\ ref {M0215_EE}:

˜Vr1jη ˜It2βΔl4π ejβr2r2le

Ahora invocamos la reciprocidad. Como sistema lineal de dos puertos invariante en el tiempo, debe ser cierto que:

˜It1˜Vr1=˜It2˜Vr2

Así:

˜Vr1=˜It2˜It1˜Vr2

Sustituyendo la expresión˜Vr2 de la ecuación\ ref {m0215_EV2r3}:

˜Vr1˜It2˜It1jη2ejβr2r2 (sinθ)   [1λ+L/2L/2˜I(z)e+jβzcosθdz]Δl

Así, la reciprocidad ha proporcionado una segunda expresión para˜Vr1. Podemos resolver parale estableciendo esta expresión igual a la expresión de la ecuación\ ref {m0215_EV1r1}, rindiendo

le2πβ˜It1[1λ+L/2L/2˜I(z)e+jβzcosθdz]sinθ

Señalando queβ=2π/λ, esto simplifica para:

le[1˜It1+L/2L/2˜I(z)e+jβzcosθdz]sinθ

Así, se puede calcularle utilizando el siguiente procedimiento:

  1. Aplicar una corriente˜It1 al dipolo de interés.
  2. Determinar la distribución de corriente resultante˜I(z) a lo largo de la longitud del dipolo. (Obsérvese que precisamente esto se hace para el dipolo eléctricamente corto en la Sección 9.5 y para el dipolo de media onda en la Sección 9.7.)
  3. Integrar˜I(z) sobre la longitud del dipolo como se indica en la Ecuación\ ref {m0215_ele}. Luego divide (“normaliza”) por˜It1 (que es simplemente˜I(0)). Obsérvese que el resultado es independiente de la excitación˜It1, como se esperaba ya que se trata de un sistema lineal.
  4. Multiplicar porsinθ.

Ahora hemos determinado que el potencial terminal de circuito abierto˜VOC en respuesta a un campo eléctrico incidente˜Ei es

˜VOC=˜Eile

dondele=ˆlle es la longitud efectiva del vector definida previamente.

Este resultado es notable. En inglés sencillo, hemos encontrado que:

El potencial inducido en un dipolo es el componente copolarizado del campo eléctrico incidente multiplicado por una integral normalizada de la distribución de corriente de transmisión sobre la longitud del dipolo, tiempos seno del ángulo entre el eje del dipolo y la dirección de incidencia.

En otras palabras, la propiedad de reciprocidad de los sistemas lineales permite que esta propiedad de una antena receptora se determine con relativa facilidad si se conocen las características de transmisión de la antena.

Ejemplo10.11.1: Effective length of a thin electrically-short dipole (ESD)

A explicado en la Sección 9.5, la distribución de corriente en una ESD delgada es

˜I(z)I0(12L|z|)

dondeL es la longitud del dipolo yI0 es la corriente terminal. Aplicando la Ecuación\ ref {m0215_ele}, encontramos:

le[1I0+L/2L/2I0(12L|z|)e+jβzcosθdz]sinθ

Recordemosβ=2π/λ, entoncesβz=2π(z/λ). Dado que se trata de un dipolo eléctricamente corto,zλ sobre toda la integral, y posteriormente podemos asumire+jβzcosθ1 sobre toda la integral. Así:

le[+L/2L/2(12L|z|)dz]sinθ

La integral se resuelve fácilmente usando métodos estándar, o simplemente reconocer que el “área bajo la curva” en este caso es simplemente la mitad de “base” (L) por “altura” (1). De cualquier manera, encontramos

leL2sinθ

El Ejemplo 10.9.1 (Sección 10.9) demuestra cómo se usa la Ecuación\ ref {M0215_evocel} con la longitud efectiva del vector determinada en el ejemplo anterior para obtener el potencial inducido.


  1. Además, si esto fuera cierto, entonces la antena en sí no importaría; ¡solo importaría el espaciado relativo y la orientación de los terminales de la antena! ↩

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