1.2: Tamaño de la señal y normas
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Introducción
El “tamaño” de una señal implicaría alguna noción de su fuerza. Utilizamos el concepto matemático de la norma para cuantificar este concepto tanto para señales de tiempo continuo como de tiempo discreto. Como existen varios tipos de normas que se pueden definir para las señales, existen varias concepciones diferentes del tamaño de la señal.
Energía de señal
Longitud infinita, señales de tiempo continuas
La noción más comúnmente encontrada de la energía de una señal definida en\(\mathbb{R}\) es la\(L_2\) norma definida por la raíz cuadrada de la integral del cuadrado de la señal, para lo cual la notación
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2} \label{1.4}. \]
Sin embargo, esta idea puede generalizarse a través de la definición de la\(L_p\) norma, la cual viene dada por
\[\|f\|_{p}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \label{1.5} \]
para todos\(1 \leq p<\infty\). Por el comportamiento de esta expresión como\(p\) enfoques\(\infty\), definimos además
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}}[f(t) |, \label{1.6} \]
que es el límite inferior superior de\(|f(t)|\). \(f\)Se dice que una señal pertenece al espacio vectorial\(L_{p}(\mathbb{R}) \text { if }\|f\|_{p}<\infty\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Por ejemplo, considere la función definida por
\ [f (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
1/t & 1\ leq t\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ label {1.7}\]
La\(L_1\) norma es
\[\|f\|_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)| d t=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t} d t=\infty . \nonumber \]
La\(L_2\) norma es
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t^{2}} d t\right)^{1 / 2}=1.\nonumber \]
La\(L_{\infty}\) norma es
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}}|f(t)|=\sup _{t \in \mathbb{R}[1, \infty)} \frac{1}{t}=1 . \nonumber \]
Longitud finita, señales de tiempo continuas
La noción más comúnmente encontrada de la energía de una señal definida en\(\mathbb{R}[a, b]\) es la\(L_2\) norma definida por la raíz cuadrada de la integral del cuadrado de la señal, para lo cual la notación
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2} \label{1.11}. \]
Sin embargo, esta idea puede generalizarse a través de la definición de la\(L_p\) norma, la cual viene dada por
\[\|f\|_{p}=\left(\int_{a}^{b}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \label{1.12} \]
para todos\(1 \leq p<\infty\). Por el comportamiento de esta expresión como\(p\) enfoques\(\infty\), definimos además
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}[a, b]}|f(t)| \label{1.13} \]
que es el límite inferior superior de\(|f(t)|\). \(f\)Se dice que una señal pertenece al espacio vectorial\(L_{p}(\mathbb{R}[a, b])\) if\(\|f\|_{p}<\infty\). La extensión periódica de tal señal tendría energía infinita pero poder finito.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Por ejemplo, considere la función definida\(\mathbb{R}[-5,3]\) por
\ [f (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
t & -5<t<3\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ label {1.14} . \]
La\(L_1\) norma es
\[\|f\|_{1}=\int_{-5}^{3}|f(t)| d t=\int_{-5}^{3}|t| d t=17. \nonumber \]
La\(L_2\) norma es
\[\|f\|_{2}=\left(\int_{-5}^{3} |f(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}=\left(\int_{-5}^{3}|t|^{2} d t\right)^{1 / 2} \approx 7.12 \nonumber \]
La\(L_{\infty}\) norma es
\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in \mathbb{R}[-5,3]}|t|=5. \nonumber \]
Longitud infinita, señales de tiempo discretas
La noción más comúnmente encontrada de la energía de una señal definida en\(\mathbb{Z}\) es la\(l_2\) norma definida por la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la señal, para lo cual la notación
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2} \label{1.18}. \]
Sin embargo, esta idea puede generalizarse a través de la definición de la\(l_p\) norma, la cual viene dada por
\[\|x[n]\|_{p}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{p}\right)^{1 / p} \label{1.19} \]
para todos\(1 \leq p<\infty\). Por el comportamiento de esta expresión como\(p\) enfoques\(\infty\), definimos además
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}}|x[n]| \label{1.20}, \]
que es el límite inferior superior de\(|x[n]|\). \(x\)Se dice que una señal pertenece al espacio vectorial\(l_{p}(\mathbb{Z})\) if\(\|x[n]\|_{p}<\infty\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Por ejemplo, considere la función definida por
\ [x [n] =\ left\ {\ begin {array} {cc}
1/n & 1\ leq n\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ label {1.21} . \]
La\(l_1\) norma es
\[\|x[n]\|_{1}=\sum n=-\infty^{\infty}|x[n]|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\infty \label{1.22}. \]
La\(l_2\) norma es
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\right)^{1 / 2}=\frac{\pi \sqrt{6}}{6} \label{1.23} \]
La\(l_{\infty}\) norma es
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}}|x[n]|=\sup _{n \in \mathbb{Z}[1, \infty)} \frac{1}{n}=1 \label{1.24}. \]
Longitud finita, señales de tiempo discretas
La noción más comúnmente encontrada de la energía de una señal definida en\(\mathbb{Z}[a, b]\) es la\(l_2\) norma definida por la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la señal, para lo cual la notación
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{n=a}^{b}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2} \label{1.25}. \]
Sin embargo, esta idea puede generalizarse a través de la definición de la\(l_p\) norma, la cual viene dada por
\[\|x[n]\|_{p}=\left(\sum_{n=a}^{b}|x[n]|^{p}\right)^{1 / p} \label{1.26} \]
para todos\(1 \leq p<\infty\). Por el comportamiento de esta expresión como\(p\) enfoques\(\infty\), definimos además
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}[a, b]}|x[n]| \label{1.27}, \]
que es el límite inferior superior de\(|x[n]|\). En este caso, este límite mínimo superior es simplemente el valor máximo de\(|x[n]|\). \(x[n]\)Se dice que una señal pertenece al espacio vectorial\(l_{p}(\mathbb{Z}[a, b])\) if\(\|x[n]\|_{p}<\infty\). La extensión periódica de tal señal tendría energía infinita pero poder finito.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Por ejemplo, considere la función definida\(\mathbb{Z}[-5,3]\) por
\ [x [n] =\ left\ {\ begin {array} {cc}
n & -5<n<3\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ label {1.28}\]
La\(l_1\) norma es
\[\|x[n]\|_{1}=\sum_{n=-5}^{3}|x[n]|=\sum-5^{3}|n|=21 \label{1.29}. \]
La\(l_2\) norma es
\[\|x[n]\|_{2}=\left(\sum_{-5}^{3}|x[n]|^{2}\right)^{1 / 2}=\left(\sum_{-5}^{3}|n|^{2} d t\right)^{1 / 2} \approx 8.31 \label{1.30} \]
La\(l_{\infty}\) norma es
\[\|x[n]\|_{\infty}=\sup _{n \in \mathbb{Z}[-5,3]}|x[n]|=5 \label{1.31}. \]
Resumen de Normas de Señal
La noción de tamaño de señal o energía se aborda formalmente a través del concepto matemático de normas. Existen muchos tipos de normas que se pueden definir para las señales, algunas de las más importantes de las cuales se han discutido aquí. Para cada norma de tipo y cada tipo de dominio de señal (continuo o discreto, y finito o infinito) hay espacios vectoriales definidos para señales de norma finita. Finalmente, mientras que las señales periódicas distintas de cero tienen energía infinita, tienen potencia finita si sus unidades de período único tienen energía finita.