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LibreTexts Español

14.4: Cosas propias en pocas palabras

  • Page ID
    86605
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Una matriz y su propio vector

    La razón por la que estamos enfatizando los vectores propios (Sección 14.2) y su importancia es porque la acción de una matriz\(A\) sobre uno de sus vectores propios\(\boldsymbol{v}\) es

    1. extremadamente fácil (y rápido) de calcular

      \[A \boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v} \label{14.5} \]

      simplemente multiplicar\(\boldsymbol{v}\) por\(\lambda\).

    2. fácil de interpretar:\(A\) solo escalas\(\boldsymbol{v}\), manteniendo su dirección constante y solo alterando la longitud del vector.

    Si tan solo cada vector fuera un vector propio de\(A\)...

    Uso del Span de Eigenvectors

    Por supuesto, no todos los vectores pueden ser... PERO... Para ciertas matrices (incluyendo aquellas con valores propios distintos,\(\lambda\)'s), sus vectores propios abarcan\(\mathbb{C}^n\), lo que significa que para cualquiera\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n\), podemos encontrar\(\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{n}\right\} \in \mathbb{C}\) tales que:

    \[\boldsymbol{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.6} \]

    Dada la Ecuación\ ref {14.6}, podemos reescribir\(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\). Esta ecuación se modela en nuestro sistema LTI que se muestra a continuación:

    Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema LTI.

    \[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \nonumber \]

    \[b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber \]

    El sistema LTI anterior representa nuestra Ecuación\ ref {14.5}. A continuación se muestra una ilustración de los pasos dados para pasar de\(\boldsymbol{x}\) a\(\boldsymbol{b}\).

    \[\boldsymbol{x} \rightarrow\left(\boldsymbol{\alpha}=V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(\Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(V \Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\right)\nonumber \]

    donde los tres pasos (flechas) de la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:

    1. Transformar\(\boldsymbol{x}\) usando\(V^{-1}\) - rendimientos\(\alpha\)
    2. Acción de\(A\) en nueva base - una multiplicación por\(\Lambda\)
    3. Traducir de nuevo a base antigua - transformación inversa usando una multiplicación por\(V\), lo que nos da\(\boldsymbol{b}\)

    This page titled 14.4: Cosas propias en pocas palabras is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..