14.4: Cosas propias en pocas palabras
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La razón por la que estamos enfatizando los vectores propios (Sección 14.2) y su importancia es porque la acción de una matriz\(A\) sobre uno de sus vectores propios\(\boldsymbol{v}\) es
- extremadamente fácil (y rápido) de calcular
\[A \boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v} \label{14.5} \]
simplemente multiplicar\(\boldsymbol{v}\) por\(\lambda\).
- fácil de interpretar:\(A\) solo escalas\(\boldsymbol{v}\), manteniendo su dirección constante y solo alterando la longitud del vector.
Si tan solo cada vector fuera un vector propio de\(A\)...
Uso del Span de Eigenvectors
Por supuesto, no todos los vectores pueden ser... PERO... Para ciertas matrices (incluyendo aquellas con valores propios distintos,\(\lambda\)'s), sus vectores propios abarcan\(\mathbb{C}^n\), lo que significa que para cualquiera\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n\), podemos encontrar\(\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{n}\right\} \in \mathbb{C}\) tales que:
\[\boldsymbol{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.6} \]
Dada la Ecuación\ ref {14.6}, podemos reescribir\(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\). Esta ecuación se modela en nuestro sistema LTI que se muestra a continuación:
\[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \nonumber \]
\[b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber \]
El sistema LTI anterior representa nuestra Ecuación\ ref {14.5}. A continuación se muestra una ilustración de los pasos dados para pasar de\(\boldsymbol{x}\) a\(\boldsymbol{b}\).
\[\boldsymbol{x} \rightarrow\left(\boldsymbol{\alpha}=V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(\Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(V \Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\right)\nonumber \]
donde los tres pasos (flechas) de la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:
- Transformar\(\boldsymbol{x}\) usando\(V^{-1}\) - rendimientos\(\alpha\)
- Acción de\(A\) en nueva base - una multiplicación por\(\Lambda\)
- Traducir de nuevo a base antigua - transformación inversa usando una multiplicación por\(V\), lo que nos da\(\boldsymbol{b}\)