14.3: Diagonalización de matriz

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 86601

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

A partir de nuestra comprensión de los valores propios y vectores propios (Sección 14.2) hemos descubierto varias cosas sobre nuestra matriz de operadores,\(A\). Sabemos que si los vectores propios de\(A\) span\(\mathbb{C}^n\) y sabemos expresar cualquier vector\(\mathbf{x}\) en términos de\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\), entonces tenemos el operador\(A\) todo resuelto. Si tenemos\(A\) actuando sobre\(\mathbf{x}\), entonces esto es igual a\(A\) actuar sobre las combinaciones de vectores propios. ¡Lo que sabemos resulta ser bastante fácil!

Todavía nos quedan dos preguntas que deben abordarse:

¿Cuándo hacen los vectores propios\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) de\(A\) span\(\mathbb{C}^n\) (asumiendo que\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) son linealmente independientes)?
¿Cómo expresamos un vector dado\(\mathbf{x}\) en términos de\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\)?

Respuesta a la Pregunta #1

Pregunta #1

¿Cuándo hacen los vectores propios\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) de\(A\) span\(\mathbf{C}^n\)?

Si\(A\) tiene valores propios\(n\) distintos

\[\lambda_{i} \neq \lambda_{j}, i \neq j \nonumber \]

donde\(i\) y\(j\) son enteros, entonces\(A\) tiene vectores propios\(n\) linealmente independientes\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) que luego abarcan\(\mathbb{C}^{n}\).

A un lado

La prueba de esta afirmación no es muy dura, pero no es realmente lo suficientemente interesante como para incluirla aquí. Si desea investigar más a fondo esta idea, lea Strang, G., “Álgebra lineal y su aplicación” para obtener la prueba.

Además, los valores propios\(n\) distintos significan

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=c_{n} \lambda^{n}+c_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+c_{1} \lambda+c_{0}=0 \nonumber \]

tiene raíces\(n\) distintas.

Respuesta a la Pregunta #2

Pregunta #2

¿Cómo expresamos un vector dado\(\mathbf{x}\) en términos de\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\)?

Queremos encontrar\(\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right\} \in \mathbb{C}\) tal que

\[\mathbf{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.4} \]

Para encontrar este conjunto de variables, comenzaremos recopilando los vectores\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) como columnas en una\(n \times n\) matriz\(V\).

\ [V=\ left (\ begin {array} {cccc}
\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
v_ {1} & v_ {2} &\ dots & v_ {n}\\ vdots &
\ vdots &\ vdots &\ vdots
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

Ahora la ecuación\ ref {14.4} se convierte

\ [\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {ccccc}
\ vdots & &\ vdots\\
v_ {1} & v_ {2} &\ ldots & v_ {n}\\ vdots &
\ vdots &\ vdots &\ vdots
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
\ alfa_ {1}\\
\ vdots\\
\ alpha_ {n}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

\[\mathbf{x}=V \mathbf{\alpha} \nonumber \]

lo que nos da una forma fácil de resolver para nuestras variables en cuestión,\(\mathbf{\alpha}\):

\[\mathbf{\alpha}=V^{-1} \mathbf{x} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(V\) es invertible ya que cuenta con columnas\(n\) linealmente independientes.

A un lado

Recordemos nuestro conocimiento de las funciones y sus bases y examinemos el papel de\(V\).

\[\mathbf{x}=V \mathbf{\alpha} \nonumber \]

\ [\ left (\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
\ vdots\\
x_ {n}
\ end {array}\ right) =V\ left (\ begin {array} {c}
\ alpha_ {1}\
\ vdots\\
\ alpha_ {n}
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

donde solo\(\alpha\) se\(x\) expresa en una base diferente:

\ [x=x_ {1}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
0\
\ vdots\\
0
\ end {array}\ right) +x_ {2}\ left (\ begin {array} {c}
0\\
1\
\ vdots\\
0
\ end {array}\ derecha) +\ cdots+x_ {n}\ left (\ begin {array} {c}
0\\
0\\
\ vdots\\
1
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

\ [x=\ alpha_ {1}\ left (\ begin {array} {c}
\ vdots\\
v_ {1}\\
\ vdots
\ end {array}\ derecha) +\ alpha_ {2}\ left (\ begin {array} {c}
\ vdots\\
v_ {2}\
\ vdots
\ end {array}\ derecha) +\ cdots+\ alpha_ {n}\ left (\ begin { array} {c}
\ vdots\\
v_ {n}\\
\ vdots
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

\(V\)se transforma\(x\) de la base estándar a la base\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\)

Diagonalización y salida de matriz

También podemos usar los vectores\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) para representar la salida,\(\mathbf{b}\), de un sistema:

\[\mathbf{b}=A \mathbf{x}=A\left(\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n}\right) \nonumber \]

\[A \mathbf{x}=\alpha_{1} \lambda_{1} v_{1}+\alpha_{2} \lambda_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} \lambda_{n} v_{n}=\mathbf{b} \nonumber \]

\ [A x=\ left (\ begin {array} {cccc}
\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
v_ {1} & v_ {2} &\ dots & v_ {n}\\ vdots &
\ vdots &\ vdots &\ vdots
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
\ lambda_ {1}\ alpha_ {1}\\
\ vdots\\
\ lambda_ {1}\ alfa_ {n}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

\[A \mathbf{x}=V \Lambda \mathbf{\alpha} \nonumber \]

\[A \mathbf{x}=V \Lambda V^{-1} \mathbf{x} \nonumber \]

donde\(\Lambda\) está la matriz con los valores propios abajo de la diagonal:

\ [\ lambda=\ left (\ begin {array} {cccc}
\ lambda_ {1} & 0 &\ dots & 0\\
0 &\ lambda_ {2} &\ dots & 0\
\ dots &\ vdots &\ ddots &\ vdots &\ vdots\\
0 &\ dots &\ lambda_ {n}
\ end {array}\ right)\ nonumber \]

Finalmente, podemos cancelar el\(\mathbf{x}\) y se quedan con una ecuación final para\(A\):

\[A=V \Lambda V^{-1} \nonumber \]

Interpretación

Para nuestra interpretación, recuerde nuestras fórmulas clave:

\[\mathbf{\alpha}=V^{-1} \mathbf{x} \nonumber \]

\[b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber \]

Podemos interpretar operando\(\mathbf{x}\) con\(A\) como:

\ [\ izquierda (\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
\ vdots\\
x_ {n}
\ end {array}\ derecha)\ derechafila\ izquierda (\ begin {array} {c}
\ alpha_ {1}\\ vdots
\\
\ alpha_ {n}
\ end {array}\ right)\ right)\ right tarrow\ left (\ begin {array} c {}
\ lambda_ {1}\ alpha_ {1}\\
\ vdots\
\ lambda_ {1}\ alpha_ {n}
\ end {array}\ derecha)\ derecha)\ fila derecha\ izquierda (\ begin {array} {c}
b_ {1}\
\ vdots\\
b_ {n}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

donde los tres pasos (flechas) de la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:

Transformar\(\mathbf{x}\) usando\(V^{-1}\), que rinde\(\alpha\)
Multiplicación por\(\Lambda\)
Transformación inversa usando\(V\), lo que nos da\(\mathbf{b}\)

¡Este es el paradigma que usaremos para los sistemas LTI!