2.5: Raíces de la Unidad y Temas Relacionados
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\[(e^{j2πn/N})^N=e^{j2πn}=1 \nonumber \]
Decimos que\(e^{j2πn/N}\) es una de las raíces\(N\) th de la unidad, es decir, que\(e^{j2πn/N}\) es uno de los valores\(z\) para los cuales
\[z^N−1=0 \nonumber \]
Hay\(N\) tales raíces, a saber,
\[e^{j2πn/N},n=0,1,...,N−1 \nonumber \]
Como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\), las 12 raíces de unidad se distribuyen uniformemente alrededor del círculo unitario en ángulos\(2πn/12\). La suma de todas las\(N\) raíces de la unidad es cero:
\[S_N=\sum_{n=0}^{N−1}e^{j2πn/N}=0 \nonumber \]
Esta propiedad, que es obvia a partir de la Figura, se ilustra en la Figura, donde\(S_k=\sum_{n=0}^{k−1} e^{j2πn/N}\) se trazan las sumas parciales para\(k=1,2,...,N\).
Estas sumas parciales serán importantes para nosotros en nuestro estudio de los fasores y la difracción de luz en “Fasores” y en nuestra discusión de filtros en “Filtrado”.
Fórmula de suma geométrica
Es natural preguntarse si existe una expresión analítica para las sumas parciales de raíces de la unidad:
\[S_k=\sum_{n=0}^{k−1}e^{j2πn/N} \nonumber \]
Podemos empaparnos esta pregunta en la pregunta más general, ¿existe una solución analítica para la “suma geométrica”
\[S_k=\sum_{n=0}^{k−1}z^n? \nonumber \]
La respuesta es sí, y así es como la encontramos. Si\(z=1\), la respuesta es\(S_k=k\). Si\(z≠1\), podemos premultiplicar\(S_k\) por\(z\) y proceder de la siguiente manera:
\[\begin{align*} zS_k &=\sum^{k−1}_{n=0}z^{n+1}=\sum^k_{m=1}z^m \\[4pt] &=\sum^{k−1}_{m=0}z^m+z^k−1 \\[4pt] &=S_k+z^k−1 \end{align*} \nonumber \]
A partir de esta fórmula resolvemos para la suma geométrica:
\[S_k=\begin{matrix}\frac {1−z^k} {1−z} & z≠1\\k & z=1\end{matrix} \nonumber \]
Esta fórmula básica para la suma geométrica\(S_k\) se utiliza a lo largo de la teoría electromagnética y la teoría de sistemas para resolver problemas en el diseño de antenas y análisis de espectro. Nunca lo olvides.
Encuentra fórmulas para\(S_k=\sum_{n=0}^{k−1}e^{jnθ}\) y para\(S_k=\sum_{n=0}^{k−1}e^{j2π/Nn}\).
Demostrar\(\sum_{n=0}^{N−1}e^{j2πn/N}=0\).
Encuentra fórmulas para la magnitud y fase de la suma parcial\(S_k=\sum_{n=0}^{k−1}e^{j2πn/N}\).
(MATLAB) Escribe un programa MATLAB para calcular y trazar la suma parcial\(S_k=\sum_{n=0}^{k−1}e^{j2πn/N}\) para\(k=1,2,...,N\). Se debe observar la última Figura.
Encuentra todas las raíces de la ecuación\(z^3+z^2+3z−15=0\).
Encontrar\(c\) así que esa\((1+j)\) es una raíz de la ecuación\(z^{17}+2z^{15}−c=0\).