3.3: Batiendo entre Tonos
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Quizás hayas escuchado a dos instrumentos musicales ligeramente confundidos tocar tonos puros cuyas frecuencias son cercanas pero no iguales. Si es así, has sentido un fenómeno de latido en el que un tono puro parece depilarse y disminuir. Este tono encerado y menguante es, de hecho, un tono cuya frecuencia es el promedio de las dos frecuencias no coincidentes, amplitud modulada por un tono cuya frecuencia “beat” es la mitad de la diferencia entre las dos frecuencias no coincidentes. El efecto se ilustra en la Figura. Veamos si podemos derivar un modelo matemático para el batido de tonos.
Comenzamos con dos tonos puros cuyas frecuencias son\(ω_0+ν\) y\(ω_0−ν\) (por ejemplo,\(ω_0=2π×10^3\mathrm{rad}/\mathrm{sec}\) y\(ν=2π \mathrm{rad}/\mathrm{sec}\)). La frecuencia promedio es\(ω_0\), y la frecuencia de diferencia es\(2ν\). Lo que oyes es la suma de los dos tonos:
\[x(t)=A_1\cos[(ω_0+ν)t+φ_1]+A_2\cos[(ω_0−ν)t+φ_2] \nonumber \]
El primer tono tiene amplitud\(A_1\) y fase\(φ_1\); el segundo tiene amplitud\(A_2\) y fase\(φ_2\). Supondremos que las dos amplitudes son iguales a\(A\). Además, cualesquiera que sean las fases, podemos escribirlas como
\[φ_1=φ+ψ;\mathrm{and};φ_2=φ−ψ \nonumber \]
\[φ=\frac 1 2 (φ_1+φ_2);\mathrm{and}ψ=\frac 1 2 (φ_1−φ_2) \nonumber \]
Recordemos nuestro truco para representar\(x(t)\) como un fasor complejo:
\[x(t)=A\mathrm{Re}\{e{j[(ω_0+ν)t+φ+ψ]},+,e^{j[(ω_0−ν)t+φ−ψ]}\} \nonumber \]
\[=A\mathrm{Re}\{e^{j(ω_0t+φ)},[e^{j(νt+ψ)}+e^{−j(νt+ψ)]}\} \nonumber \]
\[=2A\mathrm{Re}\{e^{j(ω_0t+φ)},\cos(νt+ψ)\} \nonumber \]
\[=2A\cos(ω_0t+φ)\cos(νt+ψ) \nonumber \]
Esta es una onda modulada en amplitud, en la que una señal de baja frecuencia con frecuencia de latido\(ν\) rad/s modula una señal de alta frecuencia con frecuencia portadora\(ω_0\) rad/s. En cortos periodos de tiempo, el término modulador\(\cos{νt+ψ}\) permanece esencialmente constante mientras que el término portador\(\cos{ω_0t+φ}\) resulta muchos ciclos de su tono. Por ejemplo, si\(t\) se ejecuta de 0 a\(\frac {2π} {10ν}\) (aproximadamente 0.1 segundos en nuestro ejemplo), entonces la onda moduladora resulta solo 1/10 ciclo mientras que la portadora resulta\(10νω_Δ\) ciclos (aproximadamente 100 en nuestro ejemplo). Cada vez que\(νt\) cambia por\(2π\) radianes, entonces el término modulador va de un máximo (una cera) a un mínimo (un decaimiento) y de vuelta a un máximo. Este ciclo lleva
\[νt=2π⇔t=\frac {2π} {ν} \mathrm{seconds} \nonumber \]
que es 1 segundo en nuestro ejemplo. En este 1 segundo el portador resulta 1000 ciclos.
Conoce la frecuencia de A por encima de C media en un piano. Supongamos que dos pianos están confundidos por\(±1\mathrm{Hz}(±2π/mathrm{rad/sec})\). Encuentra su frecuencia de latidos\(ν\) y su frecuencia portadora\(ω_0\).
(MATLAB) Escribir un programa MATLAB para calcular y trazar
\(A\cos[(ω_0+ν)t+φ_1],A\cos[(ω_0−ν)t+φ_2]\), y su suma. Después computar y trazar\(2A\cos(ω_0t+φ)\cos(νt+ψ)\).
Verificar que la suma sea igual a esta última señal.