4.3: Producto Interno y Norma Euclidiana
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El producto interno\((x,y)\) entre vectores\(x\) y\(y\) es un escalar que consiste en la siguiente suma de productos:
\[(x,y) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+⋯+x_ny_n \nonumber \]
Esta definición parece tan arbitraria que nos preguntamos qué usos podría tener. Mostraremos que el producto interno tiene tres usos principales:
- longitud de cálculo o “norma”,
- encontrar ángulos entre vectores y verificar la “ortogonalidad”, y
- computar el “componente de un vector a lo largo de otro” (proyección).
Dado que el producto interno es tan útil, necesitamos saber qué operaciones algebraicas están permitidas cuando estamos trabajando con productos internos. Las siguientes son algunas propiedades del producto interno. Dado\(x,y,z\;∈\;\mathbb{R}^n\) y\(a\;∈\;\mathbb{R}\),
- \((x,y)=(y,x)\);
- \((ax,y)=a(x,y)=(x,ay)\); y
- \((x,y+z)=(x,y)+(x,z)\).
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Demostrar las tres propiedades anteriores utilizando la definición de producto interno. ¿La ecuación es\(x(y,z)=(x,y)z\) también una verdadera propiedad? Probar o dar un contraejemplo.
Norma Euclidiana
A veces queremos medir la longitud de un vector, es decir, la distancia desde el origen hasta el punto especificado por las coordenadas del vector. La longitud de un vector se llama la norma del vector. Recordemos de la geometría euclidiana que la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las distancias en cada dimensión. Como estamos midiendo desde el origen, esto implica que la norma del vector x es
\[||x||=\sqrt{x^2_1+x^2_2+...+x^2_n} \nonumber \]
Observe el uso de las barras verticales dobles para indicar la norma. Se puede dar una definición equivalente de la norma, y de la norma al cuadrado, en términos del producto interno:
\[||x||=\sqrt{(x,x)} \nonumber \]
o
\[||x||^2=(x,x) \nonumber \]
La norma euclidiana del vector
\(x=\begin{bmatrix} 1\\3\\5\\−2 \end{bmatrix}\)
es\(||x||=\sqrt{1^2+3^2+5^2+(−2)^2}=\sqrt{39}\)
Una propiedad importante de la norma y el producto escalar es que, para cualquier\(x\;∈\;\mathbb{R}^n\) y\(a\;∈\;\mathbb{R}\),
\[||ax||=|a|||x|| \nonumber \]
Entonces podemos tomar un multiplicador escalar fuera de la norma si tomamos su valor absoluto.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Demostrar\(||ax||=|a|||x||\)
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Las desigualdades pueden ser útiles herramientas de ingeniería. A menudo se pueden utilizar para encontrar el mejor rendimiento posible de un sistema, con lo que te dicen cuándo dejar de intentar hacer mejoras (o demostrarle a tu jefe que no se puede hacer mejor). La desigualdad más fundamental en álgebra lineal es la desigualdad Cauchy-Schwarz. Esta desigualdad dice que el producto interno entre dos vectores\(x\) y\(y\) es menor o igual (en valor absoluto) a la norma de\(x\) tiempos la norma de\(y\), con igualdad si y solo si\(y=αx\):
\[|(x,y)|≤||x||\;||y|| \nonumber \]
Para probar este teorema, construimos un tercer vector\(z=λx−y\) y medimos su norma al cuadrado:
\[||λx−y||^2=(λx−y,λx−y)=λ^2||x||^2−2λ(x,y)+||y||^2≥0 \nonumber \]
Entonces tenemos un polinomio en\(λ\) que siempre es mayor o igual a 0 (porque cada norma al cuadrado es mayor o igual a 0). Supongamos que\(x\) ya\(y\) se dan y minimizamos esta norma al cuadrado con respecto a\(λ\). Para ello, tomamos la derivada con respecto\(λ\) y la equiparamos a 0:
\[2λ||x||^2−2(x,y)=0\;⇒\;λ=\frac{(x,y)} {||x||^2} \nonumber \]
Cuando esta solución se sustituye en la fórmula para la norma al cuadrado en la Ecuación\(\PageIndex{7}\), obtenemos
\[\begin{bmatrix} \frac {(x,y)} {||x||^2}\end{bmatrix}^2\;||x||^2−\frac {2(x,y)} {||x||^2} (x,y)+||y||^2≥0 \nonumber \]
lo que simplifica
\[-\frac {(x,y)^2} {||x||^2} + ||y||^2 ≥ 0 ⇒ (x,y)^2 ≤ ||x||^2||y||^2 \nonumber \]
La prueba de la desigualdad Cauchy-Schwarz se completa tomando la raíz cuadrada positiva en ambos lados de la Ecuación anterior. Cuando\(y=αx\), entonces
\[(x,y)^2=(x,αx)^2=[|α|(x,x)]^2=(|α|||x||^2)^2 \nonumber \]
\[=(|α|^2||x||^2)||x||^2 \nonumber \]
\[=(αx,αx)||x||^2 \nonumber \]
\[=(y,y)||x||^2 \nonumber \]
\[=||y||^2||x|^|2 \nonumber \]
que muestra que la igualdad se mantiene en la Ecuación\(\PageIndex{6}\) cuando y es un múltiplo escalar de x.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Usa la desigualdad Cauchy-Schwarz para probar la desigualdad triangular, que establece
\(||x+y||≤||x||+||y||\)
Explique por qué a esto se le llama la desigualdad triangular.