4.6: Otras normas

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En ocasiones nos resulta útil usar una definición diferente de distancia, correspondiente a una norma alternativa para vectores. Por ejemplo, considere la norma l definida como

\[||x||_1=(|x_1|+|x_2|+⋯+|x_n|) \nonumber \]

donde\(|x_i|\) es la magnitud del componente\(x_i\). También está la sup-norma, el “supremum” o máximo de los componentes\(x_1,...,x_n\):

\[||x||_{\mathrm{sup}}=\mathrm{max}(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|) \nonumber \]

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se ven la norma euclidiana, la norma l y la norma sup-norma para vectores típicos

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera el vector\(x=\begin{bmatrix} −3\\1\\2 \end{bmatrix}\). Entonces

\(||x||=[(−3)^2+(1)^2+(2)^2]^{1/2}=(14)^{1/2}\)
\(||x||_1=(|−3|+|1|+|2|)=6\)
\(||x||_{\mathrm{sup}}=\mathrm{max}(|−3|,|1|,|2|)=3\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

La figura\(\PageIndex{1}\) muestra el locus de vectores de dos componentes\(x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\) con la propiedad que\(||x||=1\),\(||x||_1=1\), o\(||x||_{\mathrm{sup}}=1\).

La figura uno es un diagrama con un eje vertical etiquetado x_2 y un eje horizontal etiquetado x_1. Se dibuja un gran cuadrado centrado en el origen con sus diagonales en los ejes, y alrededor de éste hay un círculo centrado en el origen y del mismo diámetro que las diagonales del cuadrado. Además, un cuadrado centrado en el origen con el mismo ancho que la diagonal del primer cuadrado es la forma más externa del diagrama. El lado del cuadrado más pequeño que se encuentra en el cuarto cuadrante se etiqueta locus de x tal que ||x||_1 = 1. La sección del círculo que se encuentra en el primer cuadrante se etiqueta locus de x de tal manera que ||x||_2 = 1. La sección del cuadrado mayor que se encuentra en el segundo cuadrante se etiqueta locus de x de tal manera que ||x||_sup = 1. — Figura\(\PageIndex{1}\): Locus de vectores bidimensionales cuyas diversas normas son 1 (Copyright; autor vía fuente)

El siguiente ejemplo muestra cómo la norma l es una parte importante de la vida de la ciudad.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

La ciudad de Metroville fue trazada por matemáticos como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Una persona en la intersección de la avenida 0 y la calle −2 (punto A) se encuentra claramente a dos cuadras del centro de la ciudad (punto C). Esto es consistente tanto con la norma euclidiana

\[||A||=\sqrt{0^2+(−2)^2}=\sqrt{4}=2 \nonumber \]

y la norma l

\[||A||_1=(|0|+|−2|)=2 \nonumber \]

Pero, ¿a qué distancia del centro de la ciudad se encuentra el punto B en la intersección de la Avenue-2 y la Calle 1? Según la norma euclidiana, la distancia es

\[||B||=\sqrt{(−2)^2+(1)^2}=\sqrt{5} \nonumber \]

La figura dos es un diagrama de metroville. Norte apunta hacia arriba. Hay cinco calles que viajan de norte a sur, etiquetadas de izquierda a derecha, calle -2, calle -1, calle 0, calle 1, y calle 2. También hay cinco calles que discurren de este-oeste etiquetadas de arriba a abajo, avenida 2, avenida 1, avenida 0, avenida -1, avenida -2. En la intersección de la avenida 0 y la calle -2 se encuentra el punto A. En el cruce de la calle 0 y la avenida 0 es el punto C. En la intersección de la avenida -2 y la calle 1 se encuentra el punto B. — Figura\(\PageIndex{2}\): Metroville, U.S.A. (Copyright; autor vía fuente)

Si bien es cierto que el punto B está a\(\sqrt{5}\) cuadras de C, también está claro que el viaje sería de tres cuadras por cualquiera de las tres rutas más cortas en las carreteras. La norma apropiada es la norma l:

\[∣1^B||_1=(|−2|+|1|)=3 \nonumber \]

De manera aún más general, podemos definir una norma para cada valor de p desde 1 hasta el infinito. La llamada norma p es

\[|Ix||_p=(|x_1∣∣^p+|x_2∣∣^p+⋯+|x_n|^p)^{1/p} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que la norma euclidiana es la misma que la norma p con p=2 y que la norma 1 es la norma p con p=1. (También se puede demostrar que la sup-norma es como una norma p con p=∞.)

DEMO 4.1 (MATLAB)

Desde el nivel de comando de MATLAB, escriba las siguientes líneas:

>> x = [1;3;-2;4]
>> y = [0;1;2;-0.5]
>> x - y

Verifique si la respuesta concuerda con la definición de resta vectorial. Ahora escriba

>> a = -1.5
>> a * x

Consulta la respuesta para ver si concuerda con la definición de multiplicación escalar. Ahora escriba

>> x' * y

Así es como MATLAB hace el producto interno. Consulta el resultado. Tipo

>> norm(y)
>> sqrt(y' * y)

>> norm(y,1)
>> norm(y' * y)

Ahora escribe tu propia expresión MATLAB para encontrar el coseno del ángulo entre los vectores x e y. Pon el resultado en la variable t. Luego encuentra el ángulo θ escribiendo

>> theta = acos(t)

El ángulo θ está en radianes. Puedes convertirlo a grados si lo deseas multiplicándolo por\(180/π\):

>> theta = theta * (180/pi)