3.7: Gráficas de Funciones

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Utilice la prueba de línea vertical
Identificar gráficas de funciones básicas
Leer información de una gráfica de una función

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Evaluar: ⓐ$2^3$ ⓑ$3^2$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
Evaluar: ⓐ$|7|$ ⓑ$|−3|$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
Evaluar: ⓐ$\sqrt{4}$ ⓑ$\sqrt{16}$.
Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Utilice la prueba de línea vertical

En la última sección aprendimos a determinar si una relación es una función. Las relaciones que observamos se expresaron como un conjunto de pares ordenados, un mapeo o una ecuación. Ahora veremos cómo saber si una gráfica es la de una función.

Un par ordenado$(x,y)$ es una solución de una ecuación lineal, si la ecuación es una declaración verdadera cuando los valores x - e y del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

El gráfico de una ecuación lineal es una línea recta donde cada punto de la línea es una solución de la ecuación y cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.

En la Figura, podemos ver que, en la gráfica de la ecuación$y=2x−3$, por cada valor x solo hay un valor y, como se muestra en la tabla que acompaña.

avión. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (0, negativo 3), (1, negativo 1) y (2, 1). La línea está etiquetada y iguales2 x menos 3. Hay varias flechas verticales que relacionan valores en el eje x con puntos en la línea. La primera flecha relaciona x igualesnegativo 2 en el eje x con el punto (negativo 2, negativo 7) en la línea. La segunda flecha relaciona x igualesnegativo 1 en el eje x con el punto (negativo 1, negativo 5) en la línea. La siguiente flecha relaciona x iguales0 en el eje x con el punto (0, negativo 3) en la línea. La siguiente flecha relaciona x iguales3 en el eje x con el punto (3, 3) en la línea. La última flecha relaciona x iguales4 en el eje x con el punto (4, 5) en la línea. La tabla tiene 7 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la etiqueta y iguala 2 x menos 3. La segunda fila es una fila de encabezado con los encabezados x, y y (x, y). La tercera fila tiene las coordenadas negativo 2, negativo 7 y (negativo 2, negativo 7). La cuarta fila tiene las coordenadas negativo 1, negativo 5 y (negativo 1, negativo 5). La quinta fila tiene las coordenadas 0, negativo 3 y (0, negativo 3). La sexta fila tiene las coordenadas 3, 3 y (3, 3). La séptima fila tiene las coordenadas 4, 5 y (4, 5). — Figura$\PageIndex{1}$

Una relación es una función si cada elemento del dominio tiene exactamente un valor en el rango. Entonces la relación definida por la ecuación$y=2x−3$ es una función.

Si miramos la gráfica, cada línea discontinua vertical sólo intersecta la línea en un punto. Esto tiene sentido ya que en una función, por cada valor x solo hay un valor y.

Si la línea vertical golpea la gráfica dos veces, el valor x se mapearía a dos valores y, por lo tanto, el gráfico no representaría una función.

Esto nos lleva a la prueba de línea vertical. Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica como máximo en un punto. Si alguna línea vertical intersecta la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.

PRUEBA VERTICAL

Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica como máximo en un punto.

Si alguna línea vertical intersecta la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determinar si cada gráfica es la gráfica de una función.

$La figura tiene dos gráficas. En la gráfica a hay una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (0, 2), (3, 0) y (6, negativo 2). En la gráfica b hay una abertura de parábola a la derecha graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de 6 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 1, 0), (0, 1), (0, negativo 1), (3, 2) y (3, negativo 2).$

Responder

ⓐ Dado que cualquier línea vertical intersecta la gráfica en como máximo un punto, la gráfica es la gráfica de una función.

$La figura tiene una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (0, 2), (3, 0) y (6, negativo 2). Se dibujan tres líneas rectas verticales discontinuas en x igualesnegativo 5, x igualesnegativo 3 y x iguales3. Cada línea cruza la línea inclinada exactamente en un punto.$

ⓑ Una de las líneas verticales que se muestran en la gráfica, la cruza en dos puntos. Esta gráfica no representa una función.

$La figura tiene una abertura de parábola a la derecha graficada en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de 6 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 1, 0), (0, 1), (0, negativo 1), (3, 2) y (3, negativo 2). Se dibujan tres líneas rectas verticales discontinuas en x igualesnegativo 2, x igualesnegativo 1 y x iguales2. La línea vertical x — negativo 2 no interseca la parábola. La línea vertical x igualesnegativo 1 cruza la parábola exactamente en un punto. La línea vertical x iguales3 cruza la parábola en dos puntos separados.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Determinar si cada gráfica es la gráfica de una función.

$La figura tiene dos gráficas. En la gráfica a hay una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. La parábola pasa por los puntos (0, negativo 1), (negativo 1, 0), (1, 0), (negativo 2, 3), y (2, 3). En la gráfica b hay un círculo graficado en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. El círculo pasa por los puntos (negativo 2, 0), (2, 0), (0, negativo 2) y (0, 2).$

Responder: ⓐ si ⓑ no

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Determinar si cada gráfica es la gráfica de una función.

$La figura tiene dos gráficas. En la gráfica a hay una elipse graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La elipse pasa por los puntos (0, negativo 3), (negativo 2, 0), (2, 0) y (0, 3). En la gráfica b hay una línea recta graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 12 a 12. El eje y va de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (0, negativo 2), (2, 0) y (4, 2).$

Responder: ⓐ no ⓑ si

Identificar gráficas de funciones básicas

Se utilizó la ecuación$y=2x−3$ y su gráfica a medida que desarrollamos la prueba de línea vertical. Dijimos que la relación definida por la ecuación$y=2x−3$ es una función.

Podemos escribir esto como en notación de funciones como$f(x)=2x−3$. Sigue significando lo mismo. La gráfica de la función es la gráfica de todos los pares ordenados$(x,y)$ donde$y=f(x)$. Así podemos escribir los pares ordenados como$(x,f(x))$. Se ve diferente pero la gráfica será la misma.

Comparar la gráfica de$y=2x−3$ previamente mostrada en la Figura con la gráfica de la$f(x)=2x−3$ mostrada en la Figura. Nada ha cambiado más que la notación.

Esta figura tiene una gráfica junto a una tabla. La gráfica tiene una línea recta en el plano de la coordenada x y. Los ejes x e y van de negativo 10 a 10. La línea pasa por los puntos (0, negativo 3), (1, negativo 1) y (2, 1). La línea está etiquetada con f de x iguales2 x menos 3. Hay varias flechas verticales que relacionan valores en el eje x con puntos en la línea. La primera flecha relaciona x igualesnegativo 2 en el eje x con el punto (negativo 2, negativo 7) en la línea. La segunda flecha relaciona x igualesnegativo 1 en el eje x con el punto (negativo 1, negativo 5) en la línea. La siguiente flecha relaciona x iguales0 en el eje x con el punto (0, negativo 3) en la línea. La siguiente flecha relaciona x iguales3 en el eje x con el punto (3, 3) en la línea. La última flecha relaciona x iguales4 en el eje x con el punto (4, 5) en la línea. La tabla tiene 7 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de título con la etiqueta f de x iguales2 x menos 3. La segunda fila es una fila de encabezado con las cabeceras x, f de x y (x, f de x). La tercera fila tiene las coordenadas negativo 2, negativo 7 y (negativo 2, negativo 7). La cuarta fila tiene las coordenadas negativo 1, negativo 5 y (negativo 1, negativo 5). La quinta fila tiene las coordenadas 0, negativo 3 y (0, negativo 3). La sexta fila tiene las coordenadas 3, 3 y (3, 3). La séptima fila tiene las coordenadas 4, 5 y (4, 5). — Figura$\PageIndex{2}$

GRAPADO DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y=f (x) .y=f (x).

\[\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}\]

A medida que avanzamos en nuestro estudio, es útil conocer las gráficas de varias funciones básicas y poder identificarlas.

A través de nuestro trabajo anterior, estamos familiarizados con las gráficas de ecuaciones lineales. El proceso que usamos para decidir si$y=2x−3$ es una función se aplicaría a todas las ecuaciones lineales. Todas las ecuaciones lineales no verticales son funciones. Las líneas verticales no son funciones ya que el valor x tiene infinitamente muchos valores y.

Escribimos ecuaciones lineales en varias formas, pero será de gran ayuda para nosotros aquí usar la forma pendiente-intercepción de la ecuación lineal. La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal es$y=mx+b$. En la notación de funciones, esta función lineal se convierte en$f(x)=mx+b$ donde m es la pendiente de la línea y b es la intersección y.

El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el rango es también el conjunto de todos los números reales.

FUNCIÓN LINEAL

$Esta figura tiene una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por el punto (0, b). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualsmo x más b”, “m, b: todos los números reales”, “m: pendiente de la línea”, “b: y-intercept”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: (infinito negativo, infinito)”.$

Utilizaremos las técnicas de graficación que usamos anteriormente, para graficar las funciones básicas.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Gráfica:$f(x)=−2x−4$.

Responder

	$f(x)=−2x−4$
Reconocemos esto como una función lineal.
Encuentra la pendiente y -intercepción.	$m=−2$ $b=−4$
Gráfica usando la intercepción de pendiente.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Gráfica:$f(x)=−3x−1$

Responder: $La figura tiene la gráfica de una función lineal en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (1, negativo 4), (0, negativo 1) y (negativo 1, 2).$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Gráfica:$f(x)=−4x−5$

Responder: $La figura tiene la gráfica de una función lineal en el plano de coordenadas x y. Los ejes x e y van de 6 a 6 negativos. La línea pasa por los puntos (negativo 2, 3), (0, negativo 5) y (negativo 1, negativo 1).$

La siguiente función cuya gráfica veremos se llama la función constante y su ecuación es de la forma$f(x)=b$, donde b es cualquier número real. Si reemplazamos el$f(x)$ con y, obtenemos$y=b$. Reconocemos esto como la línea horizontal cuya intersección y es b. El gráfico de la función$f(x)=b$, es también la línea horizontal cuya intersección y es b.

Observe que para cualquier número real que pongamos en la función, el valor de la función será b. Esto nos dice que el rango tiene solo un valor, b.

FUNCIÓN CONSTAN

$Esta figura tiene una gráfica de una línea horizontal recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por el punto (0, b). Al lado de la gráfica están los siguientes: “f de x igualesb”, “b: cualquier número real”, “b: y-intercept”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: b”.$

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Gráfica:$f(x)=4$.

Responder

	$f(x)=4$
Reconocemos esto como una función constante.
La gráfica será una línea horizontal a través$(0,4)$.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Gráfica:$f(x)=−2$.

Responder: $La figura tiene la gráfica de una función constante en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 12 a 12. El eje y va de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (0, negativo 2), (1, negativo 2) y (2, negativo 2).$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Gráfica:$f(x)=3$.

Responder: $La figura tiene la gráfica de una función constante en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 12 a 12. El eje y va de negativo 12 a 12. La línea pasa por los puntos (0, 3), (1, 3) y (2, 3).$

La función de identidad,$f(x)=x$ es un caso especial de la función lineal. Si lo escribimos en forma de función lineal$f(x)=1x+0$,, vemos que la pendiente es 1 y la intersección y es 0.

FUNCIÓN IDENTIDAD

$Esta figura tiene una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 2). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesx”, “m: 1”, “b: 0”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: (infinito negativo, infinito)”.$

La siguiente función que veremos no es una función lineal. Por lo que la gráfica no será una línea. El único método que tenemos para graficar esta función es el trazado de puntos. Debido a que esta es una función desconocida, nos aseguramos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores x.

Gráfica:$f(x)=x^2$.

Responder

Elegimos x -valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico como se muestra.

$Esta figura tiene una gráfica junto a una tabla. En la gráfica hay una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de 2 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). La tabla tiene 8 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de cabecera con los encabezados x, f de x igualesx al cuadrado, y (x, f de x). La segunda fila tiene las coordenadas negativas 3, 9 y (negativo 3, 9). La tercera fila tiene las coordenadas negativas 2, 4 y (negativo 2, 4). La cuarta fila tiene las coordenadas negativas 1, 1 y (negativo 1, 1). La quinta fila tiene las coordenadas 0, 0 y (0, 0). La sexta fila tiene las coordenadas 1, 1 y (1, 1). La séptima fila tiene las coordenadas 2, 4 y (2, 4). La séptima fila tiene las coordenadas 3, 9 y (3, 9).$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Gráfica:$f(x)=x^2$.

Responder: $Esta figura tiene una gráfica junto a una tabla. En la gráfica hay una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de negativo 4 a 8. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4).$

Ejemplo$\PageIndex{12}$

$f(x)=−x^2$

Responder: $Esta figura tiene una gráfica junto a una tabla. En la gráfica hay una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de negativo 4 a 8. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, negativo 4), (negativo 1, negativo 1), (0, 0), (1, negativo 1), y (2, negativo 4).$

Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función cuadrada. A esta gráfica le llamamos parábola. Al considerar el dominio, observe que cualquier número real puede ser utilizado como un valor x. El dominio es todo números reales.

El rango no es todo números reales. Observe que la gráfica consiste en valores de y nunca van por debajo de cero. Esto tiene sentido ya que el cuadrado de cualquier número no puede ser negativo. Entonces, el rango de la función cuadrada es todos los números reales no negativos.

FUNCIÓN CUADRADA

$Esta figura tiene una gráfica de una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de 2 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesx al cuadrado”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: [0, infinito)”.$

La siguiente función que veremos tampoco es una función lineal por lo que la gráfica no será una línea. Nuevamente usaremos el trazado de puntos, y nos aseguraremos de elegir varios valores positivos y negativos así como 0 para nuestros valores x.

Gráfica:$f(x)=x^3$.

Responder

Elegimos x -valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

$Esta figura tiene una línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de negativo 4 a 4. La línea curva pasa por los puntos (negativo 2, negativo 8), (negativo 1, negativo 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 8). Al lado de la gráfica hay una tabla. La tabla tiene 6 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x, f de x igualesx en cubos y (x, f de x). La segunda fila tiene las coordenadas negativas 2, negativa 8 y (negativa 2, negativa 8). La tercera fila tiene las coordenadas negativo 1, negativo 1 y (negativo 1, negativo 1). La cuarta fila tiene las coordenadas 0, 0 y (0, 0). La quinta fila tiene las coordenadas 1, 1 y (1, 1). La sexta fila tiene las coordenadas 2, 8 y (2, 8).$

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Gráfica:$f(x)=x^3$.

Responder: $Esta figura tiene una línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva pasa por los puntos (negativo 2, negativo 8), (negativo 1, negativo 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 8).$

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Gráfica:$f(x)=−x^3$.

Responder: $Esta figura tiene una línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. La línea curva pasa por los puntos (negativo 2, 8), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, negativo 1) y (2, negativo 8).$

Mirando el resultado en Ejemplo, podemos resumir las características de la función cube. Al considerar el dominio, observe que cualquier número real puede ser utilizado como un valor x. El dominio es todo números reales.

El rango es todo números reales. Esto tiene sentido ya que el cubo de cualquier número distinto de cero puede ser positivo o negativo. Entonces, el rango de la función cube es todo números reales.

FUNCIÓN CUBO

La siguiente función que veremos no cuadra ni cube los valores de entrada, sino que toma la raíz cuadrada de esos valores.

Vamos a graficar la función$f(x)=\sqrt{x}$ y luego resumir las características de la función. Recuerda, solo podemos tomar la raíz cuadrada de los números reales no negativos, por lo que nuestro dominio serán los números reales no negativos.

Ejemplo$\PageIndex{16}$

$f(x)=\sqrt{x}$

Responder

Elegimos x -valores. Ya que vamos a estar tomando la raíz cuadrada, elegimos números que son cuadrados perfectos, para facilitar nuestro trabajo. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

$Esta figura tiene una media línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 0 a 8. El eje y va de 0 a 8. La media línea curva comienza en el punto (0, 0) y luego sube y hacia la derecha. La media línea curva pasa por los puntos (1, 1) y (4, 2). Al lado de la gráfica hay una tabla. La tabla tiene 5 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x, f de x igualesraíz cuadrada de x, y (x, f de x). La segunda fila tiene las coordenadas 0, 0 y (0, 0). La tercera fila tiene las coordenadas 1, 1 y (1, 1). La cuarta fila tiene las coordenadas 4, 2 y (4, 2). La quinta fila tiene las coordenadas 9, 3 y (9, 3).$

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Gráfica:$f(x)=x$.

Responder: $Esta figura tiene una media línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 0 a 10. El eje y va de 0 a 10. La media línea curva comienza en el punto (0, 0) y luego sube y hacia la derecha. La media línea curva pasa por los puntos (1, 1), (4, 2) y (9, 3).$

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Gráfica:$f(x)=−\sqrt{x}$.

Responder: $Esta figura tiene una media línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 0 a 10. El eje y va de negativo 10 a 0. La media línea curva comienza en el punto (0, 0) y luego baja y hacia la derecha. La media línea curva pasa por los puntos (1, negativo 1), (4, negativo 2) y (9, negativo 3).$

FUNCIÓN Raíz Cuadrada

Nuestra última función básica es la función de valor absoluto,$f(x)=|x|$. Ten en cuenta que el valor absoluto de un número es su distancia de cero. Como nunca medimos la distancia como un número negativo, nunca obtendremos un número negativo en el rango.

Gráfica:$f(x)=|x|$.

Responder

Elegimos x -valores. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

$Esta figura tiene una línea en forma de V graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de negativo 1 a 6. La línea en forma de V pasa por los puntos (negativo 3, 3), (negativo 2, 2), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) y (3, 3). Al lado de la gráfica hay una tabla. La tabla tiene 8 filas y 3 columnas. La primera fila es una fila de encabezado con los encabezados x, f de x igual valor de soluto de x, y (x, f de x). La segunda fila tiene las coordenadas negativas 3, 3 y (negativo 3, 3). La tercera fila tiene las coordenadas negativas 2, 2 y (negativo 2, 2). La cuarta fila tiene las coordenadas negativas 1, 1 y (negativo 1, 1). La quinta fila tiene las coordenadas 0, 0 y (0, 0). La sexta fila tiene las coordenadas 1, 1 y (1, 1). La séptima fila tiene las coordenadas 2, 2 y (2, 2). La octava fila tiene las coordenadas 3, 3 y (3, 3).$

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Gráfica:$f(x)=|x|$.

Responder: $Esta figura tiene una línea en forma de V graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 2 a 10 negativos. La línea en forma de V pasa por los puntos (negativo 3, 3), (negativo 2, 2), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) y (3, 3).$

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Gráfica:$f(x)=−|x|$.

Responder: $Esta figura tiene una línea en forma de V graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de negativo 8 a 4. La línea en forma de V pasa por los puntos (negativo 3, negativo 3), (negativo 2, negativo 2), (negativo 1, negativo 1), (0, 0), (1, negativo 1), (2, negativo 2) y (3, negativo 3).$

Función de valor absoluto

Leer información de una gráfica de una función

En las ciencias y los negocios, a menudo se recopilan datos y luego se grafican. Se analiza la gráfica, se obtiene información de la gráfica y luego a menudo se hacen predicciones a partir de los datos.

Comenzaremos leyendo el dominio y rango de una función a partir de su gráfica.

Recuerde que el dominio es el conjunto de todos los x -valores en los pares ordenados en la función. Para encontrar el dominio miramos la gráfica y encontramos todos los valores de x que tienen un valor correspondiente en la gráfica. Siga el valor x hacia arriba o hacia abajo verticalmente. Si golpeas la gráfica de la función entonces x está en el dominio.

Recuerde que el rango es el conjunto de todos los valores y en los pares ordenados en la función. Para encontrar el rango miramos la gráfica y encontramos todos los valores de y que tienen un valor correspondiente en la gráfica. Siga el valor y a la izquierda o a la derecha horizontalmente. Si golpeas la gráfica de la función entonces y está en el rango.

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalos.

$Esta figura tiene un segmento de línea curva graficado en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de negativo 4 a 4. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 3, negativo 1), (1.5, 3) y (3, 1). El intervalo [negativo 3, 3] está marcado en el eje horizontal. El intervalo [negativo 1, 3] está marcado en el eje vertical.$

Responder

Para encontrar el dominio miramos la gráfica y encontramos todos los valores de x que corresponden a un punto en la gráfica. El dominio se resalta en rojo en la gráfica. El dominio es$[−3,3]$.

Para encontrar el rango miramos la gráfica y encontramos todos los valores de y que corresponden a un punto en la gráfica. El rango se resalta en azul en la gráfica. El rango es$[−1,3]$.

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalos.

$Esta figura tiene un segmento de línea curva graficado en el plano de coordenadas x y. El eje x va de 6 negativo a 6. El eje y va de 6 a 6 negativos. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 5, negativo 4), (0, negativo 3) y (1, 2). El intervalo [negativo 5, 1] está marcado en el eje horizontal. El intervalo [negativo 4, 2] está marcado en el eje vertical.$

Responder: El dominio es$[−5,1]$. El rango es$[−4,2]$.

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Usa la gráfica de la función para encontrar su dominio y rango. Escribe el dominio y el rango en notación de intervalos.

$Esta figura tiene un segmento de línea curva graficado en el plano de coordenadas x y. El eje x va de negativo 4 a 5. El eje y va de 6 a 4 negativos. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 2, 1), (0, 3) y (4, negativo 5). El intervalo [negativo 2, 4] está marcado en el eje horizontal. El intervalo [negativo 5, 3] está marcado en el eje vertical.$

Responder: El dominio es$[−2,4]$. El rango es$[−5,3]$.

Ahora vamos a leer información de la gráfica que podrás ver en futuras clases de matemáticas.

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

$Esta figura tiene una línea curva ondulada graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 2 veces pi a 2 veces pi. El eje y va de negativo 4 a 4. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 2 veces pi, 0), (negativo 3 dividido por 2 veces pi, 1), (negativo pi, 0), (negativo 1 dividido por 2 veces pi, negativo 1), (0, 0), (1 dividido por 2 veces pi, 1), (pi, 0), (3 dividido por 2 veces pi, negativo 1), y (2 veces pi, 0). Los puntos (negativo 3 dividido por 2 veces pi, 1) y (1 dividido por 2 veces pi, 1) son los puntos más altos de la gráfica. Los puntos (negativo 1 dividido por 2 veces pi, negativo 1) y (3 dividido por 2 veces pi, negativo 1) son los puntos más bajos de la gráfica. El patrón se extiende infinitamente hacia la izquierda y hacia la derecha.$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra:$f(32\pi)$.
ⓒ Encuentra:$f(−12\pi)$.
ⓓ Encuentra los valores para x cuando$f(x)=0$.
ⓔ Encuentra las intercepciones x.
ⓕ Encuentra las intercepciones y.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

Responder: ⓐ Cuando$x=0$, la función cruza el eje y en 0. Entonces,$f(0)=0$.
ⓑ Cuando$x=32\pi$, el valor y de la función es$−1$. Entonces,$f(32\pi)=−1$.
ⓒ Cuando$x=−12\pi$, el valor y de la función es$−1$. Entonces,$f(−12\pi)=−1$.
ⓓ La función es 0 en los puntos,$(−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$. Los valores x cuando$f(x)=0$ son$−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$.
ⓔ Las x -intercepciones ocurren cuando$y=0$. Entonces las x -intercepciones ocurren cuando$f(x)=0$. Las intercepciones x son$(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$.
ⓕ Las y -intercepciones ocurren cuando x=0.x=0. Entonces las y -intercepciones ocurren en$f(0)$. La y -intercepción es$(0,0)$.
ⓖ Esta función tiene un valor cuando x es de$−2\pi$ a$2\pi$. Por lo tanto, el dominio en notación de intervalos es$[−2\pi,2\pi]$.
ⓗ Los valores de esta función, o y -valores van de$−1$ a 1. Por lo tanto, el rango, en notación de intervalos, es$[−1,1]$.

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

$Esta figura tiene una línea curva ondulada graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 2 veces pi a 2 veces pi. El eje y va de 6 a 6 negativos. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 2 veces pi, 0), (negativo 3 dividido por 2 veces pi, 2), (negativo pi, 0), (negativo 1 dividido por 2 veces pi, negativo 2), (0, 0), (1 dividido por 2 veces pi, 2), (pi, 0), (3 dividido por 2 veces pi, negativo 2), y (2 veces pi, 0). Los puntos (negativo 3 dividido por 2 veces pi, 2) y (1 dividido por 2 veces pi, 2) son los puntos más altos de la gráfica. Los puntos (negativo 1 dividido por 2 veces pi, negativo 2) y (3 dividido por 2 veces pi, negativo 2) son los puntos más bajos de la gráfica. La línea se extiende infinitamente hacia la izquierda y hacia la derecha.$

ⓐ Encuentra: f (0) .f (0).
ⓑ Encuentra: f (12\ pi) .f (12\ pi).
ⓒ Encuentra: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
ⓓ Encuentra los valores para x cuando f (x) =0.f (x) =0.
ⓔ Encuentra las intercepciones x.
ⓕ Encuentra las intercepciones y.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

Responder: ⓐ$f(0)=0$ ⓑ$f=(\pi2)=2$ ⓒ$f=(−3\pi2)=2$ ⓓ$f(x)=0$ para$x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$ ⓔ$(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ$[−2\pi,2\pi]$ ⓗ$[−2,2]$

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Usa la gráfica de la función para encontrar los valores indicados.

$Esta figura tiene una línea curva ondulada graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 2 veces pi a 2 veces pi. El eje y va de 6 a 6 negativos. El segmento de línea curva pasa por los puntos (negativo 2 veces pi, 1), (negativo 3 dividido por 2 veces pi, 0), (negativo pi, negativo 1), (negativo 1 dividido por 2 veces pi, 0), (0, 1), (1 dividido por 2 veces pi, 0), (pi, negativo 1), (3 dividido por 2 veces pi, 0), y (2 veces pi, 1). Los puntos (negativo 2 veces pi, 1), (0, 1) y (2 veces pi, 1) son los puntos más altos de la gráfica. Los puntos (pi negativo, negativo 1) y (pi, negativo 1) son los puntos más bajos de la gráfica. El patrón se extiende infinitamente hacia la izquierda y hacia la derecha.$

ⓐ Encuentra:$f(0)$.
ⓑ Encuentra:$f(\pi)$.
ⓒ Encuentra:$f(−\pi)$.
ⓓ Encuentra los valores para x cuando$f(x)=0$.
ⓔ Encuentra las intercepciones x.
ⓕ Encuentra las intercepciones y.
ⓖ Encuentra el dominio. Escríbelo en notación de intervalos.
ⓗ Encuentra la gama. Escríbelo en notación de intervalos.

Responder: ⓐ$f(0)=1$ ⓑ$f(\pi)=−1$ ⓒ$f(−\pi)=−1$ ⓓ$f(x)=0$ para$x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2$ ⓔ$(−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)$ ⓕ$(0,1)$ ⓖ$[−2pi,2pi]$ ⓗ$[−1,1]$

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con gráficas de funciones.

Buscar dominio y rango

Conceptos clave

Prueba de línea vertical
- Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares es la gráfica de una función si cada línea vertical interseca la gráfica como máximo en un punto.
- Si alguna línea vertical intersecta la gráfica en más de un punto, la gráfica no representa una función.
Gráfica de una función
- La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y=f (x) .y=f (x).
  fxf (x) nombre de la coordenada funciónx-coordenada de la coordenada parfnombre de funciónxx-coordenada de la coordenada parf (x) coordenada y del par ordenado
Función Lineal
$Esta figura tiene una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por el punto (0, b). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualsmo x más b”, “m, b: todos los números reales”, “m: pendiente de la línea”, “b: y-intercept”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: (infinito negativo, infinito)”.$
Función Constante
$Esta figura tiene una gráfica de una línea horizontal recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por el punto (0, b). Al lado de la gráfica están los siguientes: “f de x igualesb”, “b: cualquier número real”, “b: y-intercept”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: b”.$
Función Identidad
$Esta figura tiene una gráfica de una línea recta en el plano de la coordenada x y. La línea pasa por los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 2). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesx”, “m: 1”, “b: 0”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: (infinito negativo, infinito)”.$
Función Cuadrada
$Esta figura tiene una gráfica de una parábola que se abre graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de 2 a 6 negativos. La parábola pasa por los puntos (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesx al cuadrado”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: [0, infinito)”.$
Función Cube
$Esta figura tiene una línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de negativo 4 a 4. La línea curva pasa por los puntos (negativo 2, negativo 8), (negativo 1, negativo 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 8).). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesx en cubos”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: (infinito negativo, infinito)”.$
Función Raíz Cuadrada
$Esta figura tiene una media línea curva graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de 0 a 8. El eje y va de 0 a 8. La media línea curva comienza en el punto (0, 0) y luego sube y hacia la derecha. La media línea curva pasa por los puntos (1, 1) y (4, 2). Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualesraíz cuadrada de x”, “Dominio: [0, infinito)”, y “Rango: [0, infinito)”.$
Función de valor absoluto
$Esta figura tiene una línea en forma de V graficada en el plano de la coordenada x y. El eje x va de negativo 4 a 4. El eje y va de negativo 1 a 6. La línea en forma de V pasa por los puntos (negativo 3, 3), (negativo 2, 2), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) y (3, 3). El punto (0, 0) donde la línea cambia de pendiente se denomina vértice. Al lado de la gráfica se encuentran los siguientes: “f de x igualsabsoluto valor de x”, “Dominio: (infinito negativo, infinito)”, y “Rango: [0, infinito)”.$

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PRUEBA VERTICAL

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

GRAPADO DE UNA FUNCIÓN

FUNCIÓN LINEAL

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

FUNCIÓN CONSTAN

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

FUNCIÓN IDENTIDAD

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

FUNCIÓN CUADRADA

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

FUNCIÓN CUBO

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

FUNCIÓN Raíz Cuadrada

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

Función de valor absoluto

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

	\(f(x)=−2x−4\)
Reconocemos esto como una función lineal.
Encuentra la pendiente y -intercepción.	\(m=−2\) \(b=−4\)
Gráfica usando la intercepción de pendiente.	$.$

	\(f(x)=4\)
Reconocemos esto como una función constante.
La gráfica será una línea horizontal a través\((0,4)\).	$.$