11.6: Resolver sistemas de ecuaciones no lineales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando gráficos
• Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución
• Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando eliminación
• Utilizar un sistema de ecuaciones no lineales para resolver aplicaciones

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{x-3 y=-3} \\ {x+y=5}\end{array}\right.$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.2.
2. Resuelve el sistema por sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{x-4 y=-4} \\ {-3 x+4 y=0}\end{array}\right.$
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.7.
3. Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.$
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.9.

Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales usando Gráficas

Aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables mediante la gráfica, la sustitución y la eliminación. Estaremos usando estos mismos métodos mientras miramos sistemas no lineales de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.

Por ejemplo, cada uno de los siguientes sistemas es un sistema de ecuaciones no lineales.

$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right.$

Definición$\PageIndex{1}$

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.

Al igual que con los sistemas de ecuaciones lineales, una solución de un sistema no lineal es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. En un sistema no lineal, puede haber más de una solución. Veremos esto a medida que resolvamos un sistema de ecuaciones no lineales mediante la gráfica.

Cuando resolvimos sistemas de ecuaciones lineales, la solución del sistema fue el punto de intersección de las dos líneas. Con sistemas de ecuaciones no lineales, las gráficas pueden ser círculos, parábolas o hipérbolas y puede haber varios puntos de intersección, y así varias soluciones. Una vez que identifique las gráficas, visualice las diferentes formas en que las gráficas podrían cruzarse y, entonces, cuántas soluciones podría haber.

Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales mediante gráficos, utilizamos básicamente los mismos pasos que con los sistemas de ecuaciones lineales modificados ligeramente para ecuaciones no lineales. Los pasos se enumeran a continuación como referencia.

Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales por Gráfica.

1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
2. Grafica la primera ecuación.
3. Grafique la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
4. Determinar si las gráficas se cruzan.
5. Identificar los puntos de intersección.
6. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2} \\ {y=x^{2}}\end{array}\right.$

Solución:

Cuadro 11.5.1

Identificar cada gráfica.	$\left\{\begin{array}{ll}{x-y=-2} & {\text { line }} \\ {y=x^{2}} & {\text { parabola }}\end{array}\right.$
Esboce las posibles opciones de intersección de una parábola y una línea.
Grafica la línea,$x-y=-2$. Forma pendiente-intercepción$y=x+2$. Grafica la parábola,$y=x^{2}$.
Identificar los puntos de intersección.	Los puntos de intersección parecen ser$(2,3)$ y$(-1,1)$.
Verifique para asegurarse de que cada solución haga que ambas ecuaciones sean verdaderas. $(2,4)$ $\begin{array} {r l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {2-4\stackrel{?}{=}-2}\quad\quad {4\stackrel{?}{=}2^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\:{4 = 4} \end{array}$ $(-1,1)$ $\begin{array} {l l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {-1-1\stackrel{?}{=}-2}\:\quad {1\stackrel{?}{=}(-1)^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\quad{1 = 1} \end{array}$
	Las soluciones son$(2,4)$ y$(-1,1)$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right.$.

Responder

Figura 11.5.3

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1} \\ {y=-x^{2}+3}\end{array}\right.$

Responder

Figura 11.5.4

Para identificar la gráfica de cada ecuación, tenga en cuenta las características de los$y^{2}$ términos$x^{2}$ y de cada cónica.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{y=-1} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right.$.

Solución:

Cuadro 11.5.2

Identificar cada gráfica.	$\left\{\begin{array}{ll}{y=-1} & {\text { line }} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} & {\text { circle }}\end{array}\right.$
Esboce las posibles opciones para la intersección de un círculo y una línea.
Grafica el círculo,$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4$ Centro:$(2,-3)$ radio:$2$ Grafica la línea,$y=-1$. Es una línea horizontal.
Identificar los puntos de intersección.	El punto de intersección parece ser$(2,-1)$.
Verifique para asegurarse de que la solución haga que ambas ecuaciones sean verdaderas. $(2,-1)$ $\begin{array} {r r} {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} \quad\quad {y=-1} \\ {(2-2)^{2}+(-1+3)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad{-1=-1} \\ {(0)^{2}+(2)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad\quad\quad\quad\quad \\ {4=4}\quad\quad\quad\quad\quad \end{array}$
	La solución es$(2,-1)$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{x=-6} \\ {(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=9}\end{array}\right.$

Responder

Figura 11.5.7

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Resuelve el sistema graficando:$\left\{\begin{array}{l}{y=4} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right.$

Responder

Figura 11.5.8

Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales Usando Sustitución

El método de graficar funciona bien cuando los puntos de intersección son enteros y tan fácil de leer fuera de la gráfica. Pero más a menudo es difícil leer las coordenadas de los puntos de intersección. El método de sustitución es un método algebraico que funcionará bien en muchas situaciones. Funciona especialmente bien cuando es fácil resolver una de las ecuaciones para una de las variables.

El método de sustitución es muy similar al método de sustitución que utilizamos para sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran a continuación como referencia.

Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales por Sustitución

1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
2. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
3. Sustituya la expresión del Paso 2 en la otra ecuación.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Sustituya cada solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
6. Escribe cada solución como un par ordenado.
7. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right.$

Solución:

Cuadro 11.5.3

Identificar cada gráfica.	$\left\{\begin{array}{ll}{9 x^{2}+y^{2}=9} & {\text { ellipse }} \\ {y=3 x-3} & {\text { line }}\end{array}\right.$
Esboce las posibles opciones para la intersección de una elipse y una línea.
La ecuación$y=3x-3$ está resuelta para$y$.
Sustituto$3x-3$$y$ en la primera ecuación.
Resolver la ecuación para$x$.
Sustituto$x=0$ y$x=1$ en$y=3x-3$ encontrar$y$ -.
	Los pares ordenados son$(0,-3), (1,0)$.
Verifique ambos pares ordenados en ambas ecuaciones. $(0,-3)$ $\begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot0^{2}+(-3)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}3\cdot0-3} \\ {0+9\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}0-3} \\ {9=9}&\quad{-3=-3} \end{array}$ $(1,0)$ $\begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot 1^{2}+(0)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3\cdot 1-3} \\ {9+0\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3-3} \\ {9=9}&\quad{0=0} \end{array}$
	Las soluciones son$(0,-3), (1,0)$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+9 y^{2}=9} \\ {y=\frac{1}{3} x-3}\end{array}\right.$

Responder

Sin solución

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {y=x+2}\end{array}\right.$

Responder

$\left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right),(0,2)$

Hasta el momento, cada sistema de ecuaciones no lineales ha tenido al menos una solución. El siguiente ejemplo mostrará otra opción.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=x-2}\end{array}\right.$

Solución:

Cuadro 11.5.4

Identificar cada gráfica.	$\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}-y=0} & {\text { parabola }} \\ {y=x-2} & {\text { line }}\end{array}\right.$
Esboce las posibles opciones de intersección de una parábola y una línea.
La ecuación$y=x-2$ está resuelta para$y$.
Sustituto$x-2$$y$ en la primera ecuación.
Resolver la ecuación para$x$.
Esto no factorial fácilmente, por lo que podemos verificar al discriminante.
$\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2} \\ {-7}\end{array}$	El discriminante es negativo, por lo que no hay una solución real. El sistema no tiene solución.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=2 x-3}\end{array}\right.$

Responder

Sin solución

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Resolver el sistema mediante la sustitución:$\left\{\begin{array}{l}{y^{2}-x=0} \\ {y=3 x-2}\end{array}\right.$

Responder

$\left(\frac{4}{9},-\frac{2}{3}\right),(1,1)$

Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales Usando Eliminación

Cuando estudiamos sistemas de ecuaciones lineales, utilizamos el método de eliminación para resolver el sistema. También podemos usar la eliminación para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Funciona bien cuando las ecuaciones tienen ambas variables al cuadrado. Al usar la eliminación, tratamos de hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos, así que cuando sumamos las ecuaciones juntas, esa variable se elimina.

El método de eliminación es muy similar al método de eliminación que utilizamos para sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran como referencia.

Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
2. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
3. Hacer los coeficientes de una variable opuestos.
   Decide qué variable vas a eliminar.
   Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
4. Suma las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
5. Resolver para la variable restante.
6. Sustituya cada solución del Paso 5 por una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para la otra variable.
7. Escribe cada solución como un par ordenado.
8. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y=4}\end{array}\right.$

Solución:

Cuadro 11.5.5

Identificar cada gráfica.
Esboce las posibles opciones de intersección de un círculo y una parábola.
Ambas ecuaciones están en forma estándar.
Para obtener coeficientes opuestos de$x^{2}$, multiplicaremos la segunda ecuación por$-1$.
Simplificar.
Sumar las dos ecuaciones para eliminar$x^{2}$/
Resolver para$y$.
Sustituto$y=0$ y$y=-1$ en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para$x$.
Escribe cada solución como un par ordenado.	Los pares ordenados son$(-2,0)(2,0)$. $(\sqrt{3},-1)(-\sqrt{3},-1)$
Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
Le dejaremos los cheques de cada una de las cuatro soluciones a usted.	Las soluciones son$(-2,0),(2,0),(\sqrt{3},-1)$, y$(-\sqrt{3},-1)$.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right.$

Responder

$(-3,0),(3,0),(-2 \sqrt{2},-1),(2 \sqrt{2},-1)$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {-x+y^{2}=1}\end{array}\right.$

Responder

$(-1,0),(0,1),(0,-1)$

También hay cuatro opciones cuando consideramos un círculo y una hipérbola.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.$

Solución:

Cuadro 11.5.6

Identificar cada gráfica.	$\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}+y^{2}=7} & {\text { circle }} \\ {x^{2}-y^{2}=1} & {\text { hyperbola }}\end{array}\right.$
Esboce las posibles opciones de intersección de un círculo e hipérbola.
Ambas ecuaciones están en forma estándar.	$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.$
Los coeficientes de$y^{2}$ son opuestos, por lo que agregaremos las ecuaciones.	$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.$ $2 x^{2}=8$
Simplificar.	$x^{2}=4$ $x=\pm 2$ $x=2 \quad x=-2$
Sustituir$x=2$ y$x=-2$ en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para$y$.	$\begin{array}{rl}{x^{2}+y^{2} = 7} &\quad { x^{2}+y^{2}=7} \\ {2^{2}+y^{2}=7} & \quad{(-2)^{2}+y^{2}=7} \\ {4+y^{2}=7} &\quad {4+y^{2}=7} \\ {y^{2}=3} &\quad {y^{2}=3} \\ {y=\pm \sqrt{3}} &\quad {y=\pm \sqrt{3}}\end{array}$
Escribe cada solución como un par ordenado.	Los pares ordenados son$(-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3})$,$(2, \sqrt{3}),$ y$(2,-\sqrt{3})$.
Comprobar que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
Le dejaremos los cheques de cada una de las cuatro soluciones a usted.	Las soluciones son$(-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3}),(2, \sqrt{3})$, y$(2,-\sqrt{3})$.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {y^{2}-x^{2}=7}\end{array}\right.$

Responder

$(-3,-4),(-3,4),(3,-4),(3,4)$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Resuelve el sistema por eliminación:$\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y^{2}=4}\end{array}\right.$

Responder

$(-2,0),(2,0)$

Utilizar un Sistema de Ecuaciones No Lineales para Resolver Aplicaciones

Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden utilizar para modelar y resolver muchas aplicaciones. Veremos una situación geométrica cotidiana como nuestro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es$15$. La suma de los números es$5$. Encuentra los números.

Solución:

Cuadro 11.5.7

Identificar lo que estamos buscando.	Dos números diferentes.
Definir las variables.	$x$=primer número $y$=segundo número
Traducir la información en un sistema de ecuaciones.
Primera frase.	La diferencia de los cuadrados de dos números es$15$.
Segunda frase.	La suma de los números es$5$.
Resolver el sistema por sustitución.
Resuelve la segunda ecuación para$x$.
Sustituir$x$ en la primera ecuación.
Ampliar y simplificar.
Resolver para$y$.
Sustituir de nuevo a la segunda ecuación.
	Los números son$1$ y$4$.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es$−20$. La suma de los números es$10$. Encuentra los números.

Responder

$4$y$6$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es$35$. La suma de los números es$−1$. Encuentra los números.

Responder

$-18$y$17$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Myra compró un pequeño$25$” televisor para su cocina. El tamaño de un televisor se mide en la diagonal de la pantalla. La pantalla también tiene un área de pulgadas$300$ cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la pantalla del televisor?

Solución:

Cuadro 11.5.8

Identificar lo que estamos buscando.	El largo y ancho del rectángulo.
Definir las variables.	Let$x$ = ancho del rectángulo $y$=longitud del rectángulo
Dibuja un diagrama para ayudar a visualizar la situación.
	El área es$300$ de pulgadas cuadradas.
Traducir la información en un sistema de ecuaciones.	La diagonal del triángulo rectángulo es$25$ pulgadas.
	El área del rectángulo es de pulgadas$300$ cuadradas.
Resolver el sistema mediante sustitución.
Resuelve la segunda ecuación para$x$.
Sustituir$x$ en la primera ecuación.
Simplificar.
$y^{2}$Multiplicar por para borrar las fracciones.
Poner en forma estándar.
Resolver factorizando.
Dado que$y$ es un lado del rectángulo, descartamos los valores negativos.
Sustituir de nuevo a la segunda ecuación.
	Si el largo es$15$ pulgadas, el ancho es$20$ pulgadas.
	Si el largo es$20$ pulgadas, el ancho es$15$ pulgadas.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Edgar compró un pequeño$20$” televisor para su cochera. El tamaño de un televisor se mide en la diagonal de la pantalla. La pantalla también tiene un área de pulgadas$192$ cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la pantalla del televisor?

Responder

Si el largo es$12$ pulgadas, el ancho es$16$ pulgadas. Si el largo es$16$ pulgadas, el ancho es$12$ pulgadas.

Ejercicio$\PageIndex{16}$

La familia Harper compró un pequeño microondas para su habitación familiar. La diagonal de la puerta mide$15$ pulgadas. La puerta también tiene un área de pulgadas$108$ cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la puerta del microondas?

Responder

Si el largo es$12$ pulgadas, el ancho es$9$ pulgadas. Si el largo es$9$ pulgadas, el ancho es$12$ pulgadas.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practique con la resolución de ecuaciones no lineales.

• Sistemas no lineales de ecuaciones
• Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales
• Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por eliminación
• Sistema de Ecuaciones No Lineales — Aplicación de Área y Perímetro

Conceptos clave

• Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante la gráfica.
  1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
  2. Grafica la primera ecuación.
  3. Grafique la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
  4. Determinar si las gráficas se cruzan.
  5. Identificar los puntos de intersección.
  6. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
• Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución.
  1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
  2. Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
  3. Sustituya la expresión del Paso 2 en la otra ecuación.
  4. Resolver la ecuación resultante.
  5. Sustituya cada solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
  6. Escribe cada solución como un par ordenado.
  7. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
• Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación.
  1. Identificar la gráfica de cada ecuación. Esboce las posibles opciones de intersección.
  2. Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
  3. Hacer los coeficientes de una variable opuestos.
     Decide qué variable vas a eliminar.
     Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
  4. Suma las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
  5. Resolver para la variable restante.
  6. Sustituya cada solución del Paso 5 por una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para la otra variable.
  7. Escribe cada solución como un par ordenado.
  8. Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.