11.6: Resolver sistemas de ecuaciones no lineales
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Al final de esta sección, usted será capaz de:
- Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando gráficas
- Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando sustitución
- Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando eliminación
- Utilizar un sistema de ecuaciones no lineales para resolver aplicaciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Resolver el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{x-3 y=-3} \\ {x+y=5}\end{array}\right.\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.2. - Resuelva el sistema por sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{x-4 y=-4} \\ {-3 x+4 y=0}\end{array}\right.\)
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 4.7. - Resuelve el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.\)
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 4.9.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando gráficos
Aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables mediante graficación, sustitución y eliminación. Estaremos utilizando estos mismos métodos mientras observamos sistemas no lineales de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
Por ejemplo cada uno de los siguientes sistemas es un sistema de ecuaciones no lineales.
\(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right.\)
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
Al igual que con los sistemas de ecuaciones lineales, una solución de un sistema no lineal es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. En un sistema no lineal, puede haber más de una solución. Vamos a ver esto a medida que resolvemos un sistema de ecuaciones no lineales mediante la gráfica.
Cuando resolvimos sistemas de ecuaciones lineales, la solución del sistema fue el punto de intersección de las dos líneas. Con sistemas de ecuaciones no lineales, las gráficas pueden ser círculos, parábolas o hipérbolas y puede haber varios puntos de intersección, y por lo tanto varias soluciones. Una vez que identifique las gráficas, visualice las diferentes formas en que las gráficas podrían intersecarse y así cuántas soluciones podría haber.
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales mediante gráficas, utilizamos básicamente los mismos pasos que con los sistemas de ecuaciones lineales modificadas ligeramente para ecuaciones no lineales. Los pasos se enumeran a continuación para referencia.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante graficación.
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Gráfica la primera ecuación.
- Grafica la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
- Determine si las gráficas se cruzan.
- Identificar los puntos de intersección.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2} \\ {y=x^{2}}\end{array}\right.\)
Solución:
| Identificar cada gráfica. | \(\left\{\begin{array}{ll}{x-y=-2} & {\text { line }} \\ {y=x^{2}} & {\text { parabola }}\end{array}\right.\) |
| Esboce las posibles opciones para la intersección de una parábola y una línea. | |
|
Grafica la línea, \(x-y=-2\). Forma pendiente de interceptación \(y=x+2\). Gráfica la parábola, \(y=x^{2}\). |
|
| Identificar los puntos de intersección. | Los puntos de intersección parecen ser \((2,3)\) y \((-1,1)\). |
|
Verifique para asegurarse de que cada solución haga que ambas ecuaciones sean verdaderas. \((2,4)\) \(\begin{array} {r l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {2-4\stackrel{?}{=}-2}\quad\quad {4\stackrel{?}{=}2^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\:{4 = 4} \end{array}\) \((-1,1)\) \(\begin{array} {l l } {x-y=-2}\quad\quad {y=x^{2}} \\ {-1-1\stackrel{?}{=}-2}\:\quad {1\stackrel{?}{=}(-1)^{2}} \\ {-2 = -2}\quad\quad\quad{1 = 1} \end{array}\) |
|
| Las soluciones son \((2,4)\) y \((-1,1)\). |
Resolver el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {y=x^{2}+2}\end{array}\right.\).
- Contestar
-
Figura 11.5.3
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1} \\ {y=-x^{2}+3}\end{array}\right.\)
- Contestar
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Figura 11.5.4
Para identificar la gráfica de cada ecuación, tenga en cuenta las características de los \(x^{2}\) y \(y^{2}\) términos de cada cónica.
Resolver el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{y=-1} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right.\).
Solución:
| Identificar cada gráfica. | \(\left\{\begin{array}{ll}{y=-1} & {\text { line }} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} & {\text { circle }}\end{array}\right.\) |
| Boceto de las posibles opciones para la intersección de un círculo y una línea. | |
|
Grafica el círculo, \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\) Centro: \((2,-3)\) radio: \(2\) Grafica la línea, \(y=-1\). Es una línea horizontal. |
|
| Identificar los puntos de intersección. | El punto de intersección parece ser\((2,-1)\). |
|
Verifique para asegurarse de que la solución hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. \((2,-1)\) \(\begin{array} {r r} {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4} \quad\quad {y=-1} \\ {(2-2)^{2}+(-1+3)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad{-1=-1} \\ {(0)^{2}+(2)^{2}\stackrel{?}{=}4}\quad\quad\quad\quad\quad \\ {4=4}\quad\quad\quad\quad\quad \end{array}\) |
|
| La solución es \((2,-1)\) |
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{x=-6} \\ {(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=9}\end{array}\right.\)
- Contestar
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Figura 11.5.7
Resuelva el sistema graficando: \(\left\{\begin{array}{l}{y=4} \\ {(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
Figura 11.5.8
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando sustitución
El método gráfico funciona bien cuando los puntos de intersección son enteros y tan fáciles de leer fuera de la gráfica. Pero más a menudo es difícil leer las coordenadas de los puntos de intersección. El método de sustitución es un método algebraico que funcionará bien en muchas situaciones. Funciona especialmente bien cuando es fácil resolver una de las ecuaciones para una de las variables.
El método de sustitución es muy similar al método de sustitución que utilizamos para sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran a continuación para referencia.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
- Sustituir la expresión del Paso 2 en la otra ecuación.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Sustituir cada solución en el Paso 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
- Escriba cada solución como un par ordenado.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{9 x^{2}+y^{2}=9} \\ {y=3 x-3}\end{array}\right.\)
Solución:
| Identificar cada gráfica. | \(\left\{\begin{array}{ll}{9 x^{2}+y^{2}=9} & {\text { ellipse }} \\ {y=3 x-3} & {\text { line }}\end{array}\right.\) |
| Haga el boceto de las posibles opciones para la intersección de una elipse y una línea. | |
| La ecuación \(y=3x-3\) está resuelta para \(y\). | |
| Sustituto \(3x-3\) por \(y\) en la primera ecuación. | |
| Resuelve la ecuación para \(x\). | |
| Sustituto \(x=0\) y \(x=1\) en \(y=3x-3\) encontrar \(y\)-. | |
| Los pares ordenados son \((0,-3), (1,0)\). | |
|
Verifique ambos pares ordenados en ambas ecuaciones. \((0,-3)\) \(\begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot0^{2}+(-3)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}3\cdot0-3} \\ {0+9\stackrel{?}{=}9}&\quad{-3\stackrel{?}{=}0-3} \\ {9=9}&\quad{-3=-3} \end{array}\) \((1,0)\) \(\begin{array} {r l}{9 x^{2}+y^{2}=9} &\quad { y=3 x-3} \\ {9\cdot 1^{2}+(0)^{2}\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3\cdot 1-3} \\ {9+0\stackrel{?}{=}9}&\quad{0\stackrel{?}{=}3-3} \\ {9=9}&\quad{0=0} \end{array}\) |
|
| Las soluciones son \((0,-3), (1,0)\). |
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+9 y^{2}=9} \\ {y=\frac{1}{3} x-3}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
Sin solución
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{4 x^{2}+y^{2}=4} \\ {y=x+2}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\(\left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right),(0,2)\)
Hasta el momento, cada sistema de ecuaciones no lineales ha tenido al menos una solución. En el siguiente ejemplo se mostrará otra opción.
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=x-2}\end{array}\right.\)
Solución:
| Identificar cada gráfica. | \(\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}-y=0} & {\text { parabola }} \\ {y=x-2} & {\text { line }}\end{array}\right.\) |
| Esboce las posibles opciones para la intersección de una parábola y una línea. | |
| La ecuación \(y=x-2\) está resuelta para \(y\). | |
| Sustituto \(x-2\) por \(y\) en la primera ecuación. | |
| Resuelve la ecuación para \(x\). | |
| Esto no factor fácilmente, por lo que podemos comprobar el discriminante. | |
| \(\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2} \\ {-7}\end{array}\) |
El discriminante es negativo, por lo que no hay una solución real. El sistema no tiene solución. |
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-y=0} \\ {y=2 x-3}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
Sin solución
Resuelva el sistema mediante la sustitución: \(\left\{\begin{array}{l}{y^{2}-x=0} \\ {y=3 x-2}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\(\left(\frac{4}{9},-\frac{2}{3}\right),(1,1)\)
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales usando eliminación
Cuando estudiamos sistemas de ecuaciones lineales, utilizamos el método de eliminación para resolver el sistema. También podemos utilizar la eliminación para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Funciona bien cuando las ecuaciones tienen ambas variables cuadradas. Al utilizar la eliminación, tratamos de hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos, por lo que cuando sumamos las ecuaciones juntas, esa variable se elimina.
El método de eliminación es muy similar al método de eliminación que utilizamos para sistemas de ecuaciones lineales. Los pasos se enumeran para referencia.
Resolver un Sistema de Ecuaciones por Eliminación
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
- Hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos.
Decide qué variable eliminarás.
Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. - Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
- Resolver para la variable restante.
- Sustituir cada solución del Paso 5 en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve por la otra variable.
- Escriba cada solución como un par ordenado.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y=4}\end{array}\right.\)
Solución:
| Identificar cada gráfica. | |
| Esboza las posibles opciones para la intersección de un círculo y una parábola. | |
| Ambas ecuaciones están en forma estándar. | |
| Para obtener coeficientes opuestos de \(x^{2}\), multiplicaremos la segunda ecuación por \(-1\). | |
| Simplificar. | |
| Agregar las dos ecuaciones para eliminar \(x^{2}\)/ | |
| Resolver para \(y\). | |
| Sustituir \(y=0\) y \(y=-1\) en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para \(x\). | |
 |
|
| Escriba cada solución como un par ordenado. | Los pares ordenados son \((-2,0)(2,0)\). \((\sqrt{3},-1)(-\sqrt{3},-1)\) |
| Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. | |
| Te dejaremos los cheques para cada una de las cuatro soluciones. | Las soluciones son \((-2,0),(2,0),(\sqrt{3},-1)\), y \((-\sqrt{3},-1)\). |
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=9} \\ {x^{2}-y=9}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\((-3,0),(3,0),(-2 \sqrt{2},-1),(2 \sqrt{2},-1)\)
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=1} \\ {-x+y^{2}=1}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\((-1,0),(0,1),(0,-1)\)
También hay cuatro opciones cuando consideramos un círculo y una hipérbola.
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.\)
Solución:
| Identificar cada gráfica. | \(\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}+y^{2}=7} & {\text { circle }} \\ {x^{2}-y^{2}=1} & {\text { hyperbola }}\end{array}\right.\) |
| Bosqueje las posibles opciones para la intersección de un círculo y una hipérbola. |  |
| Ambas ecuaciones están en forma estándar. | \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.\) |
| Los coeficientes de \(y^{2}\) son opuestos, por lo que sumaremos las ecuaciones. |
\(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=7} \\ {x^{2}-y^{2}=1}\end{array}\right.\) \(2 x^{2}=8\) |
| Simplificar. | \(x^{2}=4\) \(x=\pm 2\) \(x=2 \quad x=-2\) |
| Sustituir \(x=2\) y \(x=-2\) en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve para \(y\). | \(\begin{array}{rl}{x^{2}+y^{2} = 7} &\quad { x^{2}+y^{2}=7} \\ {2^{2}+y^{2}=7} & \quad{(-2)^{2}+y^{2}=7} \\ {4+y^{2}=7} &\quad {4+y^{2}=7} \\ {y^{2}=3} &\quad {y^{2}=3} \\ {y=\pm \sqrt{3}} &\quad {y=\pm \sqrt{3}}\end{array}\) |
| Escriba cada solución como un par ordenado. | Los pares ordenados son \((-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3})\), \((2, \sqrt{3}),\) y \((2,-\sqrt{3})\). |
| Verifique que el par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales. | |
| Te dejaremos los cheques para cada una de las cuatro soluciones. | Las soluciones son \((-2, \sqrt{3}),(-2,-\sqrt{3}),(2, \sqrt{3})\), y \((2,-\sqrt{3})\). |
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {y^{2}-x^{2}=7}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\((-3,-4),(-3,4),(3,-4),(3,4)\)
Resolver el sistema por eliminación: \(\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+y^{2}=4} \\ {x^{2}-y^{2}=4}\end{array}\right.\)
- Contestar
-
\((-2,0),(2,0)\)
Utilizar un sistema de ecuaciones no lineales para resolver aplicaciones
Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden usar para modelar y resolver muchas aplicaciones. Miraremos una situación geométrica cotidiana como nuestro ejemplo.
La diferencia de los cuadrados de dos números es \(15\). La suma de los números es \(5\). Encuentra los números.
Solución:
| Identificar lo que estamos buscando. | Dos números diferentes. |
| Defina las variables. |
\(x\)=primer número \(y\)=segundo número |
| Traducir la información en un sistema de ecuaciones. | |
| Primera frase. | La diferencia de los cuadrados de dos números es \(15\). |
| Segunda frase. | La suma de los números es \(5\). |
| Resolver el sistema por sustitución. | |
| Resuelve la segunda ecuación para \(x\). | |
| Sustituir \(x\) en la primera ecuación. |  |
 |
|
| Amplíe y simplifique. |  |
| Resolver para \(y\). |  |
| Sustituir de nuevo en la segunda ecuación. |  |
 |
|
| Los números son \(1\) y \(4\). |
La diferencia de los cuadrados de dos números es \(−20\). La suma de los números es \(10\). Encuentra los números.
- Contestar
-
\(4\) y \(6\)
La diferencia de los cuadrados de dos números es \(35\). La suma de los números es \(−1\). Encuentra los números.
- Contestar
-
\(-18\) y \(17\)
Myra compró un pequeño \(25\)” televisor para su cocina. El tamaño de un televisor se mide en la diagonal de la pantalla. La pantalla también tiene un área de pulgadas \(300\) cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la pantalla del televisor?
Solución:
| Identificar lo que estamos buscando. | El largo y ancho del rectángulo. |
| Defina las variables. |
Let \(x\)= ancho del rectángulo \(y\)=longitud del rectángulo |
| Dibuja un diagrama para ayudar a visualizar la situación. |  |
| El área es de pulgadas \(300\) cuadradas. | |
| Traducir la información en un sistema de ecuaciones. | La diagonal del triángulo derecho es \(25\) pulgadas. |
| El área del rectángulo es de pulgadas \(300\) cuadradas. | |
| Resolver el sistema mediante sustitución. | |
| Resuelve la segunda ecuación para \(x\). | |
| Sustituir \(x\) en la primera ecuación. |  |
| Simplificar. | |
| Multiplica por \(y^{2}\) para despejar las fracciones. | |
| Poner en forma estándar. |  |
| Resolver por factoring. | |
| Como \(y\) es un lado del rectángulo, descartamos los valores negativos. |  |
| Sustituir de nuevo en la segunda ecuación. | |
| Si el largo es \(15\) pulgadas, el ancho es \(20\) pulgadas. | |
| Si el largo es \(20\) pulgadas, el ancho es \(15\) pulgadas. |
Edgar compró un pequeño \(20\)” televisor para su garaje. El tamaño de un televisor se mide en la diagonal de la pantalla. La pantalla también tiene un área de pulgadas \(192\) cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la pantalla del televisor?
- Contestar
-
Si el largo es \(12\) pulgadas, el ancho es \(16\) pulgadas. Si el largo es \(16\) pulgadas, el ancho es \(12\) pulgadas.
La familia Harper compró un pequeño microondas para su habitación familiar. La diagonal de la puerta mide \(15\) pulgadas. La puerta también tiene un área de pulgadas \(108\) cuadradas. ¿Cuál es el largo y ancho de la puerta del microondas?
- Contestar
-
Si el largo es \(12\) pulgadas, el ancho es \(9\) pulgadas. Si el largo es \(9\) pulgadas, el ancho es \(12\) pulgadas.
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de ecuaciones no lineales.
- Sistemas no lineales de ecuaciones
- Resolver un sistema de ecuaciones no lineales
- Resolver un Sistema de Ecuaciones No Lineales por Eliminación
- Sistema de Ecuaciones No Lineales — Aplicación de Área y Perímetro
Conceptos Clave
- Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante graficación.
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Gráfica la primera ecuación.
- Grafica la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
- Determine si las gráficas se cruzan.
- Identificar los puntos de intersección.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
- Cómo resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución.
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
- Sustituir la expresión del Paso 2 en la otra ecuación.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Sustituir cada solución en el Paso 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
- Escriba cada solución como un par ordenado.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.
- Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación.
- Identificar la gráfica de cada ecuación. Dibuje el boceto de las posibles opciones de intersección.
- Escribe ambas ecuaciones en forma estándar.
- Hacer que los coeficientes de una variable sean opuestos.
Decide qué variable eliminarás.
Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. - Agrega las ecuaciones resultantes del Paso 3 para eliminar una variable.
- Resolver para la variable restante.
- Sustituir cada solución del Paso 5 en una de las ecuaciones originales. Entonces resuelve por la otra variable.
- Escriba cada solución como un par ordenado.
- Verifique que cada par ordenado sea una solución a ambas ecuaciones originales.