Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

12.2E: Ejercicios

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    112268

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    La práctica hace la perfección

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\) Write the First Few Terms of a Sequence

    En los siguientes ejercicios, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=2 n-7\)
    2. \(a_{n}=5 n-1\)
    3. \(a_{n}=3 n+1\)
    4. \(a_{n}=4 n+2\)
    5. \(a_{n}=2^{n}+3\)
    6. \(a_{n}=3^{n}-1\)
    7. \(a_{n}=3^{n}-2 n\)
    8. \(a_{n}=2^{n}-3 n\)
    9. \(a_{n}=\frac{2^{n}}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{3^{n}}{n^{3}}\)
    11. \(a_{n}=\frac{4 n-2}{2^{n}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{3 n+3}{3^{n}}\)
    13. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2 n\)
    14. \(a_{n}=(-1)^{n} \cdot 3 n\)
    15. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}\)
    16. \(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{4}\)
    17. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}\)
    18. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 n}\)
    Responder

    1. \(-5,-3,-1,1,3\)

    3. \(4,7,10,13,16\)

    5. \(5,7,11,19,35\)

    7. \(1,5,21,73,233\)

    9. \(2,1, \frac{8}{9}, 1, \frac{32}{25}\)

    11. \(1, \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{8}, \frac{9}{16}\)

    13. \(-2,4,-6,8,-10\)

    15. \(1,-4,9,-16,25\)

    17. \(1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\) Find a Formula for the General Term (\(n\)th Term) of a Sequence

    En los siguientes ejercicios, encuentra un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

    1. \(8,16,24,32,40, \dots\)
    2. \(7,14,21,28,35, \ldots\)
    3. \(6,7,8,9,10, \dots\)
    4. \(-3,-2,-1,0,1, \dots\)
    5. \(e^{3}, e^{4}, e^{5}, e^{6}, e^{7}, \ldots\)
    6. \(\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, e^{2}, \ldots\)
    7. \(-5,10,-15,20,-25, \dots\)
    8. \(-6,11,-16,21,-26, \dots\)
    9. \(-1,8,-27,64,-125, \dots\)
    10. \(2,-5,10,-17,26, \dots\)
    11. \(-2,4,-6,8,-10, \dots\)
    12. \(1,-3,5,-7,9, \dots\)
    13. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \frac{1}{1,024}, \dots\)
    14. \(\frac{1}{1}, \frac{1}{8}, \frac{1}{27}, \frac{1}{64}, \frac{1}{125}, \dots\)
    15. \(-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},-\frac{5}{6}, \dots\)
    16. \(-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},-\frac{6}{5}, \dots\)
    17. \(-\frac{5}{2},-\frac{5}{4},-\frac{5}{8},-\frac{5}{16},-\frac{5}{32}, \dots\)
    18. \(4, \frac{1}{2}, \frac{4}{27}, \frac{4}{64}, \frac{4}{125}, \dots\)
    Responder

    1. \(a_{n}=8 n\)

    3. \(a_{n}=n+5\)

    5. \(a_{n}=e^{n+2}\)

    7. \(a_{n}=(-1)^{n} 5 n\)

    9. \(a_{n}=(-1)^{n} n^{3}\)

    11. \(a_{n}=(-1)^{n} 2 n\)

    13. \(a_{n}=\frac{1}{4^{n}}\)

    15. \(a_{n}=-\frac{n}{n+1}\)

    17. \(-\frac{5}{2^{n}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\) Use Factorial Notation

    En los siguientes ejercicios, utilizando notación factorial, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=\frac{4}{n !}\)
    2. \(a_{n}=\frac{5}{n !}\)
    3. \(a_{n}=3 n !\)
    4. \(a_{n}=2 n !\)
    5. \(a_{n}=(2 n) !\)
    6. \(a_{n}=(3 n) !\)
    7. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n) !}\)
    8. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}\)
    9. \(a_{n}=\frac{n !}{n^{2}}\)
    10. \(a_{n}=\frac{n^{2}}{n !}\)
    11. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{n^{2}}\)
    12. \(a_{n}=\frac{(n+1) !}{2 n}\)
    Responder

    1. \(4,2, \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{30}\)

    3. \(3,6,18,72,360\)

    5. \(2,24,720,40320,3628800\)

    7. \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)

    9. \(1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{24}{5}\)

    11. \(2, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{2}, \frac{144}{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\) Find the Partial Sum

    En los siguientes ejercicios, expanda la suma parcial y encuentra su valor.

    1. \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{5} i^{3}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{6}(2 i+3)\)
    4. \(\sum_{i=1}^{6}(3 i-2)\)
    5. \(\sum_{i=1}^{4} 2^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{4} 3^{i}\)
    7. \(\sum_{k=0}^{3} \frac{4}{k !}\)
    8. \(\sum_{k=0}^{4}-\frac{1}{k !}\)
    9. \(\sum_{k=1}^{5} k(k+1)\)
    10. \(\sum_{k=1}^{5} k(2 k-3)\)
    11. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{n}{n+1}\)
    12. \(\sum_{n=1}^{4} \frac{n}{n+2}\)
    Responder

    1. \(1+4+9+16+25=55\)

    3. \(5+7+9+11+13+15=60\)

    5. \(2+4+8+16=30\)

    7. \(\frac{4}{1}+\frac{4}{1}+\frac{4}{2}+\frac{4}{6}+\frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}\)

    9. \(2+6+12+20+30=70\)

    11. \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{71}{20}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\) Use Summation Notation to Write a Sum

    En los siguientes ejercicios, escribe cada suma usando notación de suma.

    1. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}\)
    2. \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}\)
    3. \(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\frac{1}{125}\)
    4. \(\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}\)
    5. \(2+1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\)
    6. \(3+\frac{3}{2}+1+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\)
    7. \(3-6+9-12+15\)
    8. \(-5+10-15+20-25\)
    9. \(-2+4-6+8-10+\ldots+20\)
    10. \(1-3+5-7+9+\ldots+21\)
    11. \(14+16+18+20+22+24+26\)
    12. \(9+11+13+15+17+19+21\)
    Responder

    1. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{3^{n}}\)

    3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{3}}\)

    5. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{2}{n}\)

    7. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} 3 n\)

    9. \(\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n} 2 n\)

    11. \(\sum_{n=1}^{7}(2 n+12)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\) Writing Exercises
    1. En tus propias palabras, explica cómo escribir los términos de una secuencia cuando conoces la fórmula. Muestra un ejemplo para ilustrar tu explicación.
    2. ¿Qué términos de la secuencia son negativos cuando el\(n^{th}\) término de la secuencia es\(a_{n}=(-1)^{n}(n+2)\)?
    3. En sus propias palabras, explique qué se entiende por\(n!\) Mostrar algunos ejemplos para ilustrar su explicación.
    4. Explique qué\(\sum_{k=1}^{12} 2 k\) significa cada parte de la notación.
    Responder

    1. Las respuestas variarán.

    3. Las respuestas variarán.

    Autocomprobación

    a. después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Esta figura muestra una tabla con cuatro columnas y seis filas. La primera fila es la fila de encabezado y etiqueta cada columna, “Puedo”, “Confiadamente”, “Con algo de ayuda”, y “No, ¡no lo consigo!”. La primera fila de la segunda columna dice: “Escribe los primeros términos de una secuencia”, la tercera fila, la primera columna dice, “Encuentra una fórmula para el enésimo término de una secuencia”, la primera columna de la cuarta fila dice “Usar notación factorial, la quinta fila, la primera columna lee, Encuentra la suma parcial”, y la última fila, primera columna dice, “Usar notación de suma para escribir una suma”. Las tres columnas y filas restantes están en blanco.
    Figura 12.1.24

    b. Si la mayoría de sus cheques fueron:

    ... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

    ... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

    ... no - ¡No lo consigo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.

    This page titled 12.2E: Ejercicios is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.