12.4E: Ejercicios

La práctica hace la perfección

Ejercicio\(\PageIndex{21}\) Determine if a Sequence is Geometric

En los siguientes ejercicios, determinar si la secuencia es geométrica, y de ser así, indicar la proporción común.

1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)

Contestar

1. La secuencia es geométrica con relación común\(r=4\).

3. La secuencia es geométrica con relación común\(r=\frac{1}{2}\).

5. La secuencia es geométrica con relación común\(r=−2\).

Ejercicio\(\PageIndex{22}\) Determine if a Sequence is Geometric

En los siguientes ejercicios, determinar si cada secuencia es aritmética, geométrica o ninguna. Si es aritmética, indicar la diferencia común. Si es geométrico, indicar la relación común.

1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)

Contestar

1. La secuencia es geométrica con relación común\(r=\frac{1}{2}\).

3. La secuencia es aritmética con diferencia común\(d=5\).

5. La secuencia es geométrica con relación común\(r=\frac{1}{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\) Determine if a Sequence is Geometric

En los siguientes ejercicios, escribir los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.

1. \(a_{1}=4\)y\(r=3\)
2. \(a_{1}=9\)y\(r=2\)
3. \(a_{1}=-4\)y\(r=-2\)
4. \(a_{1}=-5\)y\(r=-3\)
5. \(a_{1}=27\)y\(r=\frac{1}{3}\)
6. \(a_{1}=64\)y\(r=\frac{1}{4}\)

Contestar

1. \(4,12,36,108,324\)

3. \(-4,8,-16,32,-64\)

5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

1. Encontrar\(a_{11}\) dado\(a_{1}=8\) y\(r=3\).
2. Encontrar\(a_{13}\) dado\(a_{1}=7\) y\(r=2\).
3. Encontrar\(a_{10}\) dado\(a_{1}=-6\) y\(r=-2\).
4. Encontrar\(a_{15}\) dado\(a_{1}=-4\) y\(r=-3\).
5. Encontrar\(a_{10}\) dado\(a_{1}=100,000\) y\(r=0.1\).
6. Encontrar\(a_{8}\) dado\(a_{1}=1,000,000\) y\(r=0.01\).

Contestar

1. \(472,392\)

3. \(3,072\)

5. \(0.0001\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general para la secuencia.

1. Hallar\(a_{9}\) de la secuencia,\(9,18,36,72,144,288, \dots\)
2. Hallar\(a_{12}\) de la secuencia,\(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
3. Hallar\(a_{15}\) de la secuencia,\(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
4. Hallar\(a_{16}\) de la secuencia,\(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
5. Hallar\(a_{10}\) de la secuencia,\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
6. Hallar\(a_{9}\) de la secuencia,\(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)

Contestar

1. \(a_{9}=2,304 .\)El término general es\(a_{n}=9(2)^{n-1}\).

3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\)El término general es\(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

5. \(a_{10}=0.000000001 .\)El término general es\(a_{n}=(0.1)^{n-1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{26}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.

1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)

Contestar

1. \(57,395,624\)

3. \(-65,538\)

5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de la secuencia geométrica.

1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)

Contestar

1. \(65,534\)

3. \(4088\)

5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.

1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)

Contestar

1. \(\frac{3}{2}\)

3. \(\frac{9}{2}\)

5. sin suma como\(r≥1\)

7.\ (2,048\ (

Ejercicio\(\PageIndex{29}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como una fracción.

1. \(0 . \overline{3}\)
2. \(0 . \overline{6}\)
3. \(0 . \overline{7}\)
4. \(0 . \overline{2}\)
5. \(0 . \overline{45}\)
6. \(0 . \overline{27}\)

Contestar

1. \(\frac{1}{3}\)

3. \(\frac{7}{9}\)

5. \(\frac{5}{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

En los siguientes ejercicios, resolver el problema.

1. Encontrar el efecto total en la economía de cada rebaja fiscal gubernamental a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar va a gastar el porcentaje indicado de la rebaja en bienes y servicios.

Cuadro 12.3.3

Rebaja de impuestos a cada hogar	Porcentaje gastado en bienes y servicios	Efecto total en la economía
a. $\(1,000\)	\(85\)%
b. $\(1,000\)	\(75\)%
c. $\(1,500\)	\(90\)%
d. $\(1,500\)	\(80\)%

2. Los abuelos nuevos deciden invertir $\(100\) mensuales en una anualidad para su nieto. La cuenta pagará\(6\)% de interés anual el cual se compone mensualmente (\(12\)veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta del niño al cumplir veintiún años?

3. Berenice acaba de obtener su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad a la edad\(30\). Decidió invertir $\(500\) por trimestre en una IRA (una anualidad). El interés sobre la anualidad es\(7\)% el cual se compone trimestralmente (\(4\)veces al año). ¿Cuánto habrá en la cuenta de la Berenice cuando se jubile a la edad\(65\)?

4. Alice quiere comprar una casa en unos cinco años. Ella está depositando $\(500\) al mes en una anualidad que gana\(5\)% anual que se compone mensualmente (\(12\)veces al año). ¿Cuánto tendrá Alice por su pago inicial en cinco años?

5. Myra acaba de obtener su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la universidad. Ella planea obtener una maestría, y también lo es depositar $\(2,500\) al año de su bono de fin de año en una anualidad. La anualidad paga\(6.5\)% anual y se compone anualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado en cinco años para cursar su maestría?

Contestar

1. a. $\(6666.67\) b. $\(4000\) c. $\(15,000\) d. $\(7500\)

3. $\(295,581.88\)

5. $\(14,234.10\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\) Writing Exercises

1. En sus propias palabras, explique cómo determinar si una secuencia es geométrica.
2. En sus propias palabras, explique cómo encontrar el término general de una secuencia geométrica.
3. En sus propias palabras, explique la diferencia entre una secuencia geométrica y una serie geométrica.
4. En sus propias palabras, explique cómo determinar si una serie geométrica infinita tiene una suma y cómo encontrarla.

Contestar

2. Las respuestas variarán.

4. Las respuestas variarán

Autocomprobación

Figura 12.3.11

1. Después de completar los ejercicios, usa esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.
2. ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?