0.1: Enteros
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La capacidad de trabajar cómodamente con números negativos es esencial para el éxito en álgebra. De ahí que discutamos sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros en esta sección.
Los enteros son cero, todos los números enteros positivos y sus opuestos (negativos).
El primer conjunto de reglas para trabajar con números negativos fue escrito por el matemático indio Brahmagupa.
Adición de enteros
Al sumar enteros tenemos dos casos a considerar.
Caso 1: Sumando enteros con los mismos signos, es decir, los sumados, los números que se están sumando, son ambos positivos o ambos negativos. Si los signos son los mismos, agregamos los números y nos quedamos con el letrero.
Agregar:\(3 + 6\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 3 + 6 & \text{Addends are both positive} \rightarrow \text {Add } 3 + 6 \rightarrow \text{ Keep the positive} \\ 9 & \text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Agregar:\(-5 + (-3)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} - 5 + (- 3) & \text{Addends are both negative} \rightarrow \text{Add } 5 + 3 \rightarrow \text{Keep the negative} \\ - 8 & \text{Sum} \end{array}\nonumber\]
Agregar:\(-7 + (-5)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} - 7 + (- 5) & \text{Addends are both negative} \rightarrow \text{Add } 7 + 5 \rightarrow \text{Keep the negative} \\ - 12 & \text{Sum} \end{array}\nonumber\]
Caso 2. Los signos son diferentes, donde un número es positivo y un número es negativo. Restamos los valores absolutos de los números y luego mantenemos el signo del número mayor. Esto significa que si el número mayor es positivo, la respuesta es positiva, o si el número mayor es negativo, la respuesta es negativa.
Cuando decimos “mantener el signo del número mayor”, nos referimos a tomar el valor absoluto de cada adenda, y luego determinar el número mayor, e.g.,\(-10 + 7\):\[|-10| = 10 \text{ and } |7|=7\nonumber\] De ahí que el número mayor sea 10 y así mantendríamos el signo negativo en nuestro resultado.
Agregar:\(-7+2\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-7+2&\text{Addends are opposite signs }\rightarrow\text{ Subtract }7-2\rightarrow\text{ Keep the sign of the larger} \\ &\text{number, negative} \\ -5&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Agregar:\(-4+6\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-4+6&\text{Addends are opposite signs }\rightarrow\text{ Subtract }6-4\rightarrow\text{ Keep the sign of the larger } \\ &\text{number, positive} \\ 2&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Agregar:\(4 + (-3)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}4+(-3)&\text{Addends are opposite signs }\rightarrow\text{ Subtract }4-3\rightarrow\text{ Keep the sign of the } \\&\text{larger number, positive} \\ 1&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Agregar:\(7 + (-10)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}7+(-10)&\text{Addends are opposite signs }\rightarrow\text{ Subtract }10-7\rightarrow\text{ Keep the sign of the }\\ &\text{larger number, negative} \\ -3&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Restar enteros
Para restar con enteros negativos, reescribiremos la expresión como suma cambiando el signo de resta a un signo de suma y reescribiendo el número después del signo de resta como su opuesto. Después, simplifique usando los métodos de sumar enteros.
Este método a menudo se conoce como “agregar lo contrario”.
Resta:\(8-3\)
Solución
\[\begin{array}{rl}8-3&\text{Change the sign to addition and rewrite }3\text{ as its opposite} \\ 8+(-3)&\text{Addends are opposite signs }\to\text{ Subtract }8-3\to\text{ Keep the sign of the} \\ &\text{larger number, positive} \\ 5&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Restar:\(-4 - 6\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-4-6&\text{Change the sign to addition and rewrite }6\text{ as its opposite} \\ -4+(-6)&\text{Addends are same signs }\to\text{ Add }4+6\to\text{ Keep the sign, negative} \\ -10&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Restar:\(9 - (-4)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}9-(-4)&\text{Change the sign to addition and rewrite }4\text{ as its opposite} \\ 9+(4)&\text{Addends are same signs }\to\text{ Add }9+4\to\text{ Keep the sign, positive} \\ 13&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Restar:\(- 6 - (- 2)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-6-(-2)&\text{Change the sign to addition and rewrite }-2\text{ as its opposite} \\ -6+(2)&\text{Addends are opposite signs }\to\text{ Subtract }6-2\to\text{ Keep the sign of the} \\&\text{larger number, negative} \\ -4&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar y dividir enteros
Para multiplicar dos enteros, multiplicamos como de costumbre y seguimos las siguientes propiedades:
- Si los dos números tienen signos que son iguales, ambos enteros son positivos o ambos son negativos, entonces el producto es positivo.
- Si los dos números tienen signos opuestos, un número es positivo y el otro es negativo, entonces el producto es negativo.
Para dividir con enteros, seguimos las mismas propiedades que la multiplicación.
Multiplicar:\((4)(-6)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} (4) (- 6) & \text{Integers have opposite signs} \rightarrow \text{Product is negative}\\ - 24 & \text{Product} \end{array}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{- 36}{- 9}\)
Solución
\[\begin{array}{rl} \dfrac{- 36}{- 9} & \text{Integers are same sign} \rightarrow \text{Quotient is positive}\\ 4 & \text{Quotient} \end{array}\nonumber\]
Multiplicar:\(-2(-6)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} -2(- 6) & & \text{Integers are same sign} \rightarrow \text{Product is positive}\\ 12 & & \text{Product} \end{array}\nonumber\]
Dividir:\(\dfrac{15}{-3}\)
Solución
\[\begin{array}{rl} \dfrac{15}{-3} & \text{Integers have opposite sign} \rightarrow \text{Quotient is negative}\\ -5 & \text{Quotient} \end{array}\nonumber\]
- Asegúrate de ver la diferencia entre problemas como\(- 3 - 8\) y\(- 3 (- 8)\).
- \(-3(-8)\)El aviso es un problema de multiplicación porque no hay nada entre el\(-3\) y el paréntesis. Si no hay ninguna operación escrita entre las partes, entonces asumimos que eso significa que estamos multiplicando.
- El\(- 3 - 8\) es un problema de resta porque el signo de resta\(-3\) separa el del siguiente número.
- Asegúrese de distinguir entre los patrones para sumar y restar enteros y para multiplicar y dividir enteros. Estas operaciones pueden verse muy similares.
- Por ejemplo, si los signos coinciden en la suma, entonces mantenemos el negativo, por ejemplo,\(- 3 + (- 7) = - 10\), pero si los signos coinciden en la multiplicación, entonces la respuesta es positiva, por ejemplo,\((- 3) (- 7) = 21\).
Tareas de números enteros
Evaluar cada expresión.
\(1-3\)
\((−6) − (−8)\)
\((−3) − 3\)
\(3 − (−5)\)
\((−7) − (−5)\)
\(3-(-1)\)
\(6-3\)
\( (−5) + 3\)
\(2-3\)
\((−8) − (−5)\)
\((−2) + (−5)\)
\(5 − (−6)\)
\((−6) + 3\)
\(4 − 7\)
\((−7) + 7\)
\(4 − (−1)\)
\((−6) + 8\)
\((−8) − (−3)\)
\(7-7\)
\((−4) + (−1)\)
\((−1) + (−6)\)
\((−8) + (−1)\)
\((−1) − 8\)
\(5 − 7\)
\((−5) + 7\)
\(1 + (−1)\)
\(8 − (−1)\)
\((−3) + (−1)\)
\(7 − 3\)
\((−3) + (−5)\)
Encuentra cada producto.
\((4)(−1)\)
\((10)(−8)\)
\((−4)(−2)\)
\((−7)(8)\)
\((9)(−4)\)
\((−5)(2)\)
\((−5)(4)\)
\((7)(−5)\)
\((−7)(−2)\)
\((−6)(−1)\)
\((6)(−1)\)
\((−9)(−7)\)
\((−2)(−2)\)
\((−3)(−9)\)
Encuentra cada cociente.
\(\frac{30}{-10}\)
\(\frac{-12}{-4}\)
\(\frac{30}{6}\)
\(\frac{27}{3}\)
\(\frac{80}{-8}\)
\(\frac{50}{5}\)
\(\frac{48}{8}\)
\(\frac{54}{-6}\)
\(\frac{-49}{-7}\)
\(\frac{-2}{-1}\)
\(\frac{20}{10}\)
\(\frac{-35}{-5}\)
\(\frac{-8}{-2}\)
\(\frac{-16}{2}\)
\(\frac{60}{-10}\)