0.2: Fracciones

Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\(\dfrac{36}{84}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{36}{84} & \text{Divide by a common factor of 4} \\ & & \\ \dfrac{36 \div 4}{84 \div 4} = \dfrac{9}{21} & \text{Divide by a common factor of 3}\\ && \\ \dfrac{9 \div 3}{21 \div 3} = \dfrac{3}{7} & \text{No more common factors} \\&& \\ \dfrac{3}{7} & \text{Simplified fraction} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Multiplicar:\(\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{3}{5}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{3}{5} & \text{Multiply across numerators and denominators}\\ & & \\ \dfrac{6 \cdot 3}{7 \cdot 5} & \text{Simplify} \\ && \\ \dfrac{18}{35} & \text{No common factors} \\ &&\\ \dfrac{18}{35} & \text{Product} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

Multiplicar:\(\dfrac{25}{24} \cdot \dfrac{32}{55}\)

Solución

Primero reduzcamos cada fracción, luego multipliquemos. \[\begin{array}{rl} \dfrac{25}{24} \cdot \dfrac{32}{55} & \text{Reduce 25 & 55 by a common factor of 5} \\ & & \\ \dfrac{5}{24} \cdot \dfrac{32}{11} & \text{Reduce 24 & 32 by a common factor of 8} \\ & & \\ \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{4}{11} & \text{Multiply fractions} \\ & & \\ \dfrac{20}{33} & \text{No common factors} \\ && \\ \dfrac{20}{33} & \text{ Product} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

Multiplicar:\(\dfrac{25}{24} \cdot \dfrac{32}{55}\)

Solución

Multipliquemos primero, luego reduzcamos la fracción. \[\begin{array}{rl} \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10} & \text{Multiply fractions} \\ & & \\ \dfrac{15}{60} & \text{Reduce by a factor of 15} \\ & & \\ \dfrac{15 \div 15}{60 \div 15} & \text{Simplify} \\ & & \\ \dfrac{1}{4} & \text{No common factors} \\ && \\ \dfrac{1}{4} & \text{ Product} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Dividir:\(\dfrac{21}{16} \div \dfrac{28}{6}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{21}{16} \div \dfrac{28}{6} & \text{Rewrite the expression as a product} \\ & & \\ \dfrac{21}{16} \textcolor{blue}{\cdot \dfrac{6}{28}} & \text{Reduce the fractions} \\ & & \\ \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{4} & \text{Multiply fractions}\\ & & \\ \dfrac{9}{32} & \text{Quotient} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Dividir:\(\dfrac{\dfrac{14}{15}}{\dfrac{7}{60}}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{\dfrac{14}{15}}{\dfrac{7}{60}} & \text{Rewrite the complex fraction with the division sign} \\ && \\ \dfrac{14}{15} \div \dfrac{7}{60} & \text{Rewrite the expression as a product} \\ & & \\ \dfrac{14}{15} \textcolor{blue}{\cdot \dfrac{60}{7}} & \text{Reduce the fractions} \\ & & \\ \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{4}{1} & \text{Multiply fractions}\\ & & \\ \dfrac{8}{1} & \text{Simplify} \\ && \\ 8 & \text{Quotient} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra LCM\((2,3,5)\).

Solución

Necesitamos pensar en un múltiplo de 2, 3 y 5 que sea divisible por estos números. Si multiplicamos 2, 3 y 5, obtenemos\[2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\nonumber \] Y así, el LCM\((2,3,5) = 30\) porque 30 es divisible por 2, 3 y 5.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra LCM\((6,35,54)\).

Solución

Cuando los números no son tan obvios, entonces podemos usar la estrategia a continuación para encontrar el LCM:

Paso 1. Encuentra la factorización prima de cada número en tu set. \[\begin{aligned} 6 &= 2 \cdot 3 \\ 35 &= 5 \cdot 7 \\ 54 &= 2 \cdot 3^3 \\ \end{aligned}\]

Paso 2. Mira todos los factores y toma uno de cada factor. Para los factores con exponentes, tomar los factores con el exponente más alto. \[\begin{array}{rl} 2 & \text{take 2} \\ 3^3 & \text{take 3 with the highest exponent} \\ 5 & \text{take 5} \\ 7 & \text{take 7} \\ \end{array}\nonumber\]

Paso 3. Multiplique los números encontrados en el paso anterior. Este producto es el LCM. \[\text{LCM}(6,35,54) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 1890\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Encuentra la pantalla LCD entre\(\dfrac{5}{6}\) y\(\dfrac{4}{9}\). Reescribe cada fracción con la pantalla LCD.

Solución

Si necesitamos obtener el LCD, entonces podemos seguir una serie de pasos.

Paso 1. Encuentra el LCD, es decir, el LCM entre denominadores. En este caso, necesitamos encontrar el LCM\((6,9)\). \[\begin{aligned} 6 &= 2 \cdot 3 \\ 9 &= 3^2 \\ \end{aligned}\]Podemos ver que el LCM\((6,9) = 2 \cdot 3^2 = 18\). Esta es la pantalla LCD.

Paso 2. A continuación, reescribimos cada fracción con la LCD. \[\begin{array}{rl} \dfrac{5}{6} & \text{Multiply the numerator and denominator by 3} \\ \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{3} & \text{Notice we get 18 in the denominator} \\ \dfrac{15}{18} & \text{The denominator is the LCD} \checkmark \\\end{array}\nonumber\]\[\begin{array}{rl} \dfrac{4}{9} & \text{Multiply the numerator and denominator by 2} \\ \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{2} & \text{Notice we get 18 in the denominator} \\ \dfrac{8}{18} & \text{The denominator is the LCD} \checkmark \\\end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Agregar:\(\dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{8}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{8} & \text{Same denomintaor, add across numerators} \\ & & \\ \dfrac{10}{8} & \text{Reduce by a common factor of 2} \\ & & \\ \dfrac{5}{4} & \text{Sum} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Restar:\(\dfrac{13}{6} - \dfrac{9}{6}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{13}{6} - \dfrac{9}{6} & \text{Same denomintaor, subtract across numerators} \\ & & \\ \dfrac{4}{6} & \text{Reduce by a common factor of 2} \\ & & \\ \dfrac{2}{3} & \text{Difference} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Agregar:\(\dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{9}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{9} & \text{Unlike denominators; LCD}(6,9) = 18 \\ & & \\ \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{3}+ \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{2} & \text{Rewrite each fraction with the LCD} \\ & & \\ \dfrac{15}{18} + \dfrac{8}{18} & \text{Same denominator, add across numerators} \\ & & \\ \dfrac{23}{18} & \text{No common factors} \\ & & \\ \dfrac{23}{18} & \text{Sum} \end{array}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Restar:\(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}\)

Solución

\[\begin{array}{rl} \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} & \text{Unlike denominators; LCD}(3,6) = 6 \\ & & \\ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{2}+ \dfrac{1}{6} & \text{Rewrite each fraction with the LCD} \\ & & \\ \dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} & \text{Same denominator, subtract across numerators} \\ & & \\ \dfrac{3}{6} & \text{Reduce by a common factor of 3} \\ & & \\ \dfrac{1}{2} & \text{Difference} \end{array}\nonumber\]