5.1: Introducción a las funciones
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Una excelente manera de visualizar la definición de una función es mirar las gráficas de algunas relaciones.
Prueba de línea vertical
Un gráfico dado es una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica como máximo una vez, es decir, para cada línea vertical dibujada posible a través de la gráfica, la línea solo cruza la gráfica como máximo una vez. Esta prueba se llama prueba de línea vertical.
Determinar cuál de las siguientes gráficas representa una función.
Solución
Primero, dibujamos líneas verticales a través de cada una de estas gráficas. Luego determinamos el número de veces que las líneas intersectan la gráfica para cada gráfica. Si las líneas verticales solo se cruzan cada gráfica como máximo una vez, entonces la gráfica es una función según la prueba de línea vertical.
Podemos ver para todas las gráficas, excepto B., pasar la prueba de línea vertical. Observe en las gráficas A., C. y D., todas las líneas verticales pasan por las gráficas sólo una vez. Sin embargo, en B., vemos que la línea cruza la gráfica dos veces. A pesar de que la línea del extremo izquierdo toca el círculo solo una vez, la prueba de línea vertical falla para las otras líneas. Por lo tanto, la prueba de línea vertical falla para B. y B. no es una función, donde las gráficas A., C. y D. representan funciones.
Variables independientes y dependientes
Llamamos\(f(x)\) o\(y\) la variable dependiente y\(x\) la variable independiente. Por lo tanto, la variable independiente también se conoce como entrada y la variable dependiente también se conoce como salida.
¿Cuál es la variable independiente y dependiente?
- \(f(x)=\dfrac{3}{2}x+1\)
- \(g(r)=r^3\)
- \(h(t)=\dfrac{t}{t^2-25}\)
- \(y=\sqrt{n-16}\)
Solución
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(f(x)\) es\(x\), entonces la variable independiente es\(x\), y\(f(x)\) es la variable dependiente.
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(g(r)\) es\(r\), entonces la variable independiente es\(r\), y\(g(r)\) es la variable dependiente.
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(h(t)\) es\(t\), entonces la variable independiente es\(t\), y\(h(t)\) es la variable dependiente.
- Dado que la variable del lado derecho es\(n\), entonces la variable independiente es\(n\), y\(y\) es la variable dependiente. Tenga en cuenta, podríamos reescribir\(y\) para que quede claro que\(n\) es la variable independiente escribiendo\(y(n)\). Este es un buen ejemplo de las razones por las que nos gusta la notación de funciones, para hacer más obvias las variables independientes y dependientes.
¿Cuál es la variable independiente y dependiente? ¿Qué representa cada variable?
- El costo\(C(x)\), donde\(x\) está el número de millas conducidas, de rentar un auto por un día es\(C(x) = 1.46x + 25\).
- Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en pies, por encima del nivel del mar, en función del tiempo,\(t\), viene dada por\(h(t) = −16t^2 + 96t + 256\).
- El beneficio para una determinada mercancía\(n\), donde\(n\) está en unidades, viene dada por la función\(P(n) = −25n^2 + 425n + 1500\).
- Los ingresos,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\(R(x) = −6x^2 + 67x\).
Solución
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(C(x)\) es\(x\), entonces la variable independiente es\(x\), donde\(x\) representa el número de millas recorridas, y\(C(x)\) es la variable dependiente, donde\(C(x)\) representa el costo de alquilar un automóvil.
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(h(t)\) es\(t\), entonces la variable independiente es\(t\), donde\(t\) está el número de segundos, y\(h(t)\) es la variable dependiente, donde\(h(t)\) representa la altura en pies después de\(t\) segundos.
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(P(n)\) es\(n\), entonces la variable independiente es\(n\), donde\(n\) está el número de unidades, y\(P(n)\) es la variable dependiente, donde\(P(n)\) representa la ganancia por vender\(n\) unidades de una mercancía.
- Dado que la variable dentro del paréntesis de\(R(x)\) es\(x\), entonces la variable independiente\(x\) es\(x\), donde está el número de audífonos, y\(R(x)\) es la variable dependiente, donde\(R(x)\) representa los ingresos después de vender\(x\) audífonos.
El concepto de una función fue introducido por primera vez por el matemático árabe Sharaf al-Din al-Tusi a finales del\(12^{\text{th}}\) siglo.
Dominios de Funciones
Una vez que sabemos que una relación es una función, podemos estar interesados en todos los valores que podamos enchufar y chug en la función. El conjunto de todos los valores que se nos permite enchufar n-chug en una función se llama el dominio.
El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas de la relación, es decir, todo lo que\(x\) puede ser. El rango de una función es el conjunto de todas las salidas de la relación, es decir, todo lo que\(y\) puede ser.
Al encontrar el dominio, es más eficiente considerar los valores que deben excluirse del dominio y luego excluir esos valores del conjunto.
Encuentra el dominio:\(f(x)=\dfrac{3x-1}{x^2+x-6}\)
Solución
Tomando en consideración la nota anterior, intentemos encontrar los\(x\) valores que deben ser excluidos del dominio. Sabemos, con fracciones, que el denominador no puede ser cero. De ahí que sepamos que debemos excluir cualquier valor para\(x\) que haga que el denominador sea cero. Encontremos estos\(x\) valores poniendo el denominador a cero y resolvamos.
\[\begin{array}{rl}x^2+x-6=0&\text{Solve by factoring} \\ (x+3)(x-2)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ x+3=0\quad\text{or}\quad x-2=0&\text{Solve each equation} \\ x=-3\quad\text{or}\quad x=2&x\text{ values that should be excluded from the domain}\end{array}\nonumber\]
Esto significa que\(x\) puede ser cualquier valor excepto por\(−3\) y\(2\). Si\(x\) fuera uno de estos dos valores, la función estaría indefinida. Así, el dominio para\(f(x)\) es\(\{x|x\neq −3, 2\}\) o, en notación de intervalos,\((−∞, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, ∞)\).
Encuentra el dominio:\(g(x)=3x^2-x\)
Solución
Ya que no hay características obvias de\(g(x)\) tales que\(g(x)\) contendrían algún valor excluido, entonces decimos que\(g(x)\) tiene dominio de todos los números reales o, en notación de intervalos,\((−∞, ∞)\). En una sección futura, veremos las gráficas de funciones, que también pueden ayudarnos a encontrar el dominio.
Encuentra el dominio:\(x(t)=\sqrt{2t-3}\)
Solución
Tomando en consideración la nota anterior, intentemos encontrar los\(t\) valores que deben ser excluidos del dominio. Sabemos, con raíces cuadradas, que el radicando no puede ser inferior a cero. De ahí que sepamos que debemos excluir cualquier valor para\(t\) que haga que el radicando sea menor que cero. Encontremos estos\(t\) valores estableciendo el radicando a menos de cero.
\[\begin{array}{rl}2t-3<0&\text{Solve for the inequality} \\ 2t<3&\text{Divide by the coefficient of }t \\ t<\dfrac{3}{2}&t\text{ values that should be excluded from the domain}\end{array}\nonumber\]
Esto significa que\(t\) puede ser cualquier valor excepto para cualquier número menor que\(\dfrac{3}{2}\). Si t fuera un valor menor que\(\dfrac{3}{2}\), entonces la función estaría indefinida. Así, el dominio para\(x(t)\) es\(\left\{ t\left| t\geq\dfrac{3}{2}\right.\right\}\) o, en notación de intervalos,\(\left(\dfrac{3}{2},\infty\right)\).
Notación de funciones
Llevemos las funciones más allá en un solo paso. Dado que las funciones son relaciones entre los valores de entrada y salida, y están representadas por gráficos, entonces ciertamente podemos evaluar funciones para ciertos valores de entrada y salida.
Evaluar\(f(x)=3x^2-4x\) para\(x=-2\). ¿Qué es el par pedido?
Solución
\[\begin{array}{rl}f(x)=3x^2-4x&\text{Substitute }-2\text{ for every }x\text{ in the function} \\ f(\color{blue}{-2}\color{black}{})=3(\color{blue}{-2}\color{black}{})^2-4(\color{blue}{-2}\color{black}{})&\text{Simplify} \\ f(-2)=20&\text{When the input is }-2\text{, the output is }20\end{array}\nonumber\]
De ahí,\(f(-2)=20\). Así, el par ordenado,\((x,y)\), es\((-2,20)\).
Dado\(h(x) = 3^{2x−6}\), encuentra\(h(4)\). ¿Qué es el par pedido?
Solución
\[\begin{array}{rl}h(x)=3^{2x-6}&\text{Substitute }4\text{ for every }x\text{ in the function} \\ h(\color{blue}{4}\color{black}{})=3^{2(\color{blue}{4}\color{black}{})-6}&\text{Simplify} \\ h(4)=3^{8-6}&\text{Subtract in the exponent} \\ h(4)=3^2&\text{Evaluate} \\ h(4)=9&\text{When the input is }4\text{, the output is }9\end{array}\nonumber\]
De ahí,\(h(4) = 9\). Así, el par ordenado,\((x, y)\), es\((4, 9)\).
Dado\(k(a) = 2|a + 4|\), encuentra\(k(−7)\). ¿Qué es el par pedido?
Solución
\[\begin{array}{rl}k(a)=2|a+4|&\text{Substitute }-7\text{ for every }a\text{ in the function} \\ k(\color{blue}{-7}\color{black}{})=2|\color{blue}{-7}\color{black}{}+4|&\text{Simplify} \\ k(-7)=6&\text{When the input is }-7\text{, the output is }6\end{array}\nonumber\]
De ahí,\(k(−7) = 6\). Así, el par ordenado,\((x, y)\), es\((−7, 6)\).
Evaluar funciones con expresiones
Como muestran los ejemplos anteriores, la función puede tomar muchas formas diferentes, pero el método para evaluar la función nunca cambia, solo los problemas sí. Esto lleva a sustituir expresiones en funciones usando el mismo proceso.
Dado\(g(x)=x^4+1\), encuentra\(g(3x)\).
Solución
Primero, recordar el método para evaluar funciones nunca cambia, solo los problemas. De ahí que\(3x\) sustituiremos a cada\(x\) en\(g\), como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}g(x)=x^4+1&\text{Substitute }3x\text{ for every }x\text{ in the function} \\ g(\color{blue}{3x}\color{black}{})=(\color{blue}{3x}\color{black}{})^4+1&\text{Simplify} \\ g(3x)=81x^4+1&\text{When the input is }3x\text{, the output is }81x^4+1\end{array}\nonumber\]
Dado\(p(t) = t^2 − t\), encuentra\(p(t + 1)\).
Solución
Primero, recordar el método para evaluar funciones nunca cambia, solo los problemas. De ahí que\(t + 1\) sustituiremos a cada\(t\) en\(p\), como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}p(t)=t^2-t&\text{Substitute }t+1\text{ for every }t\text{ in the function} \\ p(\color{blue}{t+1}\color{black}{})=(\color{blue}{t+1}\color{black}{})^2-(\color{blue}{t+1}\color{black}{})&\text{Simplify by squaring the first term} \\ p(t+1)=t^2+2t+1-(t+1)&\text{Distribute the negative} \\ p(t+1)=t^2+2t+1-t-1&\text{Simplify} \\ p(t+1)=t^2+t&\text{When the input is }t+1\text{, the output is }t^2+t\end{array}\nonumber\]
En estos últimos ejemplos, esencialmente estamos sustituyendo una función por otra función. La parte interesante de estos ejemplos es cuando sustituimos una expresión en una función, estamos creando una función completamente nueva. Qué increíble, ¿verdad?
Introducción a las funciones Tareas
Determinar si el par (s) ordenado (s) dado (s) es una solución para el sistema.
Determinar cuáles de las siguientes son funciones. Si no, explique.
Especifique el dominio de cada función siguiente. Enumerar las variables independientes y dependientes, y sus unidades.
\(f(x)=-5x+1\)
\(s(t)=\dfrac{1}{t^2}\)
\(s(t)=\dfrac{1}{t^2+1}\)
\(f(x)=\dfrac{-2}{x^2-3x-4}\)
\(y(x)=\dfrac{x}{x^2-25}\)
\(f(x)=\sqrt{5-4x}\)
\(f(x)=x^2-3x-4\)
\(f(x)=\sqrt{x-16}\)
\(h(x)=\dfrac{\sqrt{3x-12}}{x^2-25}\)
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo viene dada por\(h(t) = −4.9t^2 + 190t + 423\).
El beneficio (en dólares),\(P\), para una determinada mercancía,\(n\), donde\(n\) está en unidades, viene dado por la función\(P(n) = −25n^2 + 375n + 850\).
Los ingresos en dólares,\(R(x)\), de producir y vender\(x\) Awesome Hearing Aids están modelados por la función\(R(x) = x^2 + 55x\).
El costo en dólares\(C(x)\), donde\(x\) está el número de millas conducidas, de rentar un auto por un día es\(C(x) = 1.25x + 33\).
Para cada función dada, evalúe la función en el valor o expresión. ¿Qué es el par pedido?
\(g(x) = 4x − 4; g(0)\)
\(f(x) = |3x + 1| + 1; f(0)\)
\(f(n) = −2| − n − 2| + 1; f(−6)\)
\(f(t) = 3^t − 2; f(−2)\)
\(f(t) = |t + 3|; f(10)\)
\(w(n) = 4n + 3; w(2)\)
\(w(n) = 2^n + 2; w(−2)\)
\(p(n) = −3|n|; p(7)\)
\(p(t) = −t^3 + t; p(4)\)
\(k(n) = |n − 1|; k(3)\)
\(g(n) = −3 · 5^{−n}; g(2)\)
\(f(x) = x^2 + 4; f(−9)\)
\(f(n) = n − 3; f(10)\)
\(f(a) = 3^{a−1} − 3; f(2)\)
\(w(x) = x^2 + 4x; w(−5)\)
\(w(x) = −4x + 3; w(6)\)
\(p(x) = −|x| + 1; p(5)\)
\(k(a) = a + 3; k(−1)\)
\(k(x) = −2 · 4^{2x−2}; k(2)\)
\(p(t) = −2 · 4^{2t+1} + 1; p(−2)\)
Para cada función dada, evalúe la función en el valor o expresión y simplifique.
\(h(x) = x^3 + 2; h(−4x)\)
\(h(x) = 3x + 2; h(−1 + x)\)
\(h(t) = 2| − 3t − 1| + 2; h(t^2)\)
\(g(x) = x + 1; g(3x)\)
\(g(x) = 5^x; g(−3 − x)\)
\(h(n) = 4n + 2; h(n + 2)\)
\(h(a) = −3 · 2^{a+3}; h\left(\dfrac{a}{4}\right)\)
\(h(x) = x^2 + 1; h\left(\dfrac{x}{4}\right)\)
\(h(t) = t^2 + t; h(t^2)\)
\(h(n) = 5^{n−1} + 1; h\left(\dfrac{n}{2}\right)\)