5.2: Funciones lineales

Anteriormente, discutimos graficar ecuaciones lineales. Poniéndolo todo junto con funciones, ahora discutimos las funciones lineales. Tratamos las funciones lineales de la misma manera que las ecuaciones lineales, excepto por la condición de que las funciones lineales solo tienen una salida por cada entrada.

Definición: Función lineal

Una función lineal es una función de la forma\[f(x)=mx+b\nonumber\]

La gráfica de una función lineal es una línea y los coeficientes\(m\) representan la pendiente de la línea y\(b\) representan la\(y\) -intercepción.

Podemos reescribir la fórmula de pendiente usando la notación de función como\[m=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\nonumber\] donde\((x_1, f(x_1))\) y\((x_2, f(x_2))\) son pares ordenados en la línea.

Ejemplo 5.2.1

Si\(f(x)\) es una función lineal y dada\(f(7) = 9\) y\(f(12) = −2\), determinar la función lineal.

Solución

Lo primero que queremos hacer es reescribir los valores de la función como pares ordenados en la línea.

\[\begin{array}{rl}f(7)=9&\text{Rewrite as an ordered-pair} \\ (7,9)&\text{This is }(x_1,f(x_1))\end{array}\nonumber\]

\[\begin{array}{rl}f(12)=-2&\text{Rewrite as an ordered-pair} \\ (12,-2)&\text{This is }(x_2,f(x_2))\end{array}\nonumber\]

A continuación, vemos que tenemos dos puntos en los que necesitamos encontrar la ecuación de la línea. De ahí que empleemos las mismas técnicas que de costumbre, pero ahora en notación de funciones. Busquemos la pendiente usando\((7, 9)\) y\((12, −2)\) como los pares ordenados.

\[\begin{array}{rl}m=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}&\text{Plug-n-chug the ordered-pairs} \\ m=\dfrac{-2-9}{12-7}&\text{Simplify} \\ m=\dfrac{-11}{5}&\text{Slope of the line, }m\end{array}\nonumber\]

Usando la fórmula de punto-pendiente, vamos a enchufar y chug uno de los puntos\((7, 9)\), y la pendiente\(m=-\dfrac{11}{5}\).

\[\begin{array}{rl}y-y_1=m(x-x_1)&\text{Point-slope formula} \\ y-\color{blue}{9}\color{black}{}=\color{blue}{-\dfrac{11}{5}}\color{black}{}(x-\color{blue}{7}\color{black}{})&\text{Simplify} \\ y-\color{blue}{9}\color{black}{}=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{77}{5}&\text{Isolate }y \\ y=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{77}{5}\color{blue}{+9}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{122}{5}&\text{Equation of a line}\end{array}\nonumber\]

Aviso, hemos\(y\) aislado a la izquierda. Sin embargo, necesitamos reescribir la ecuación en notación de funciones, por lo que necesitamos reemplazar la\(y\) con\(f(x)\):

\[f(x)=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{122}{5}\nonumber\]

Nota

En Example 5.2.1 , usamos la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la función lineal, y luego la reescribimos, en el paso final, usando\(f(x)\). Para usar la fórmula punto-pendiente en la notación de funciones, podemos usar la fórmula\[f(x)=m(x-x_1)+y_1\nonumber\] donde\(m\) está la pendiente, y\((x_1, y_1)\) es un punto en la línea.

Ejemplo 5.2.2

Vamos a rehacer Ejemplo 5.2.1 usando la notación de función de la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la línea.

Solución

Usando la fórmula, vamos a enchufar y chug uno de los puntos,\((7, 9)\), y la pendiente\(m = −\dfrac{11}{5}\).

\[\begin{array}{rl}f(x)=m(x-x_1)+y_1&\text{Point-slope formula in function notation} \\ f(x)=\color{blue}{-\dfrac{11}{5}}\color{black}{}(x-\color{blue}{7}\color{black}{})+\color{blue}{9}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ f(x)=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{77}{5}+9 \\ f(x)=-\dfrac{11}{5}x+\dfrac{122}{5}&\text{Equation of a line in function notation}\end{array}\nonumber\]

Entonces, podemos ver la ventaja de usar la fórmula punto-pendiente en la notación de funciones al intentar obtener una función lineal. Fácilmente enchufamos y chug la pendiente y un punto, luego simplificamos para obtener la función lineal. Se anima a los estudiantes a usar esta fórmula cuando sea apropiado.

Funciones lineales como aplicaciones

Utilizamos funciones principalmente para aplicaciones al mundo real, generalmente llamadas modelado lineal. La pendiente ya no se piensa como una fórmula, o subida sobre carrera, sino como una tasa promedio de cambio. Además, la\(y\) -intercepción\(b\),, se considera como un valor inicial, fijo o inicial.

Definición: Tasa promedio de cambio

La tasa promedio de cambio para las funciones lineales está representada por la fórmula\[m=\dfrac{\text{change in outputs}}{\text{change in inputs}}\nonumber\] y las unidades se interpretan como [unidades de salida] por [unidades de entrada], por ejemplo, millas por hora, donde millas son las unidades de salida y hora es la unidad de entrada.

Ejemplo 5.2.3

El costo\(C(x)\), donde\(x\) está el número de millas recorridas, de rentar un auto por un día es de 21 dólares más $1.05 por milla.

1. ¿Cuál es la pendiente de la función lineal y sus unidades?
2. ¿Qué es la\(y\) -intercepción y sus unidades?
3. ¿Cuál es la función lineal,\(C(x)\)?

Solución

1. La pendiente es la tasa promedio de cambio donde las unidades para la tasa promedio de cambio son [unidades de salida] por [unidades de entrada]. A partir de los parámetros dados anteriormente, la pendiente es\(1.05\). Sus unidades son dólares por milla.
2. El\(y\) -intercept es el valor inicial/fijo/arranque. En este caso, se conduzca o no el auto, el costo diario es de 21 dólares. De ahí que la\(y\) -intercepción sea\(20\). Sus unidades son dólares.
3. La función lineal se da como\(f(x) = mx + b\), pero en este caso, tenemos\(C(x) = mx + b\). Ya que la pendiente es\(1.05\) y la\(y\) -intercepción es\(20\), entonces\(C(x) = 1.05x + 20\) y sus unidades son dólares.

Graficar funciones lineales

Ahora que hemos visto e interpretado gráficas de ecuaciones lineales, echemos un vistazo a graficar funciones lineales. Podemos usar las técnicas de un capítulo anterior: trazar puntos y luego dibujar una línea a través de los puntos o usar la\(y\) -intercepción y pendiente. Demostraremos ambos.

Ejemplo 5.2.4

Gráfica\(f(x)\) por trazado de puntos:\(f(x)=-2x+1\)

Solución

Por lo general, elegimos tres\(x\) coordenadas y encontramos\(y\) los valores correspondientes. Cada\(x\) valor es positivo, negativo y cero. Esta es una práctica común, pero no requerida.

Tabla 5.2.1

\(x\)	\(f(x)=-2x+1\)	\((x,f(x))\)
\ (x\) ">\(-1\)	\ (f (x) =-2x+1\) ">\(f(\color{blue}{-1}\color{black}{})=-2(\color{blue}{-1}\color{black}{})+1=2+1=3\)	\ ((x, f (x))\) ">\((-1,3)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (f (x) =-2x+1\) ">\(f(\color{blue}{0}\color{black}{})=-2(\color{blue}{0}\color{black}{})+1=0+1=1\)	\ ((x, f (x))\) ">\((0,1)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (f (x) =-2x+1\) ">\(f(\color{blue}{1}\color{black}{})=-2(\color{blue}{1}\color{black}{})+1=-2+1=-1\)	\ ((x, f (x))\) ">\((1,-1)\)

Figura 5.2.1

Trazar los tres pares ordenados de la tabla. Para conectar los puntos, asegúrese de conectarlos desde el valor más pequeño hasta\(x\) el valor más grande\(x\), es decir, de izquierda a derecha. Dibuja la línea para llenar la cuadrícula y poner flechas en los extremos. Se recomienda comprar una regla pequeña\(6\) de pulgadas para hacer lindas líneas rectas.

Ejemplo 5.2.5

Gráfica\(g(t) =\dfrac{1}{2}t −\dfrac{3}{2}\) usando la pendiente y\(y\) -intercepción.

Solución

La\(y\) -intercepción, o\(b\), es donde la gráfica cruza el\(y\) eje -eje. La\(y\) -intercepción es\(−\dfrac{3}{2}\) y la línea cruzará el\(y\) eje en\(\left(0,-\dfrac{3}{2}\right)\). La pendiente es\(\dfrac{1}{2}\), y, usando\(\dfrac{rise}{run}\), necesitamos subir\(1\) unidad ascendente y correr hacia las\(2\) unidades correctas para llegar al siguiente punto. Continuamos el patrón para obtener un tercer punto. Ahora podemos conectar los puntos y crear una línea bien definida. Asegúrate de dibujarlo para llenar la cuadrícula.

Figura 5.2.2

Nota

Observe al graficar funciones lineales, es similar al graficar ecuaciones lineales. La única diferencia es que las unidades\(y\) -axis cambian a su notación de función, es decir, en Ejemplo 5.2.4 , en lugar de etiquetar\(y\) en el eje vertical, lo etiquetamos\(f(x)\).

Funciones Lineales Tarea

Ejercicio 5.2.1

Si\(f(x)\) es una función lineal y se da\(f(3) = 2\) y\(f(13) = 4\), determinar la función lineal.

Ejercicio 5.2.2

Si\(f(x)\) es una función lineal y se da\(f(4) = −9\) y\(f(12) = 3\), determinar la función lineal.

Ejercicio 5.2.3

El costo\(C(x)\), donde\(x\) está el número de millas recorridas, de alquilar un auto por un día es de $50 más $1.85 por milla.

1. ¿Cuál es la pendiente de la función lineal y sus unidades?
2. ¿Qué es la\(y\) -intercepción y sus unidades?
3. ¿Cuál es la función lineal,\(C(x)\)?

Ejercicio 5.2.4

El costo\(C(x)\), donde\(x\) está el número de millas recorridas, de alquilar un auto por un día es de $25 más $0.65 por milla.

1. ¿Cuál es la pendiente de la función lineal y sus unidades?
2. ¿Qué es la\(y\) -intercepción y sus unidades?
3. ¿Cuál es la función lineal,\(C(x)\)?

Grafica cada función lineal.

Ejercicio 5.2.5

\(f(x)=2x-1\)

Ejercicio 5.2.6

\(f(x)=3-x\)

Ejercicio 5.2.7

\(g(x)=\dfrac{1}{3}x-3\)

Ejercicio 5.2.8

\(h(t)=\dfrac{1}{5}t+1\)

Ejercicio 5.2.9

\(p(n)=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{1}{3}\)

Ejercicio 5.2.10

\(f(t)=\dfrac{1-t}{2}\)

Ejercicio 5.2.11

\(k(x)=-2x\)

Ejercicio 5.2.12

\(r(t)=3\)

Ejercicio 5.2.13

\(a(n)=0\)

Ampliar los Conceptos: Completar los ejercicios.

Ejercicio 5.2.14

Jeff puede caminar cómodamente a\(3\) millas por hora. Encuentra una función lineal\(d\) que represente la distancia total que Jeff puede caminar en\(t\) horas, asumiendo que no toma ningún descanso.

Ejercicio 5.2.15

Carl puede rellenar\(6\) sobres por minuto. Encuentra una función lineal\(E\) que represente el número total de sobres que Carl puede rellenar después de\(t\) horas, asumiendo que no toma ningún descanso.

Ejercicio 5.2.16

Una empresa de paisajismo cobra $45 por yarda cúbica de mantillo más un cargo de entrega de $20. Encuentre una función lineal que compute el costo total\(C\) (en dólares) para entregar yardas\(x\) cúbicas de mantillo.

Ejercicio 5.2.17

Un plomero cobra $50 por una llamada de servicio más $80 por hora. Si no pasa más de\(8\) horas al día en cualquier sitio, encuentre una función lineal que represente sus cargos diarios totales\(C\) (en dólares) en función del tiempo\(t\) (en horas) que pasa en una ubicación determinada.

Ejercicio 5.2.18

A una vendedora se le pagan $200 semanales más 5% de comisión por sus ventas semanales de\(x\) dólares. Encuentra una función lineal que represente su salario semanal total,\(W\) (en dólares) en términos de\(x\).

Ejercicio 5.2.19

Un editor bajo demanda cobra $22.50 para imprimir un libro\(600\) -page y $15.50 para imprimir un libro\(400\) -page. Encuentre una función lineal que modele el costo de un libro\(C\) en función del número de páginas\(p\). Interpretar la pendiente de la función lineal y encontrar e interpretar\(C(0)\).