6.1: Reglas y propiedades de los exponentes
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Si\(a\) es un número real positivo y\(n\) es cualquier número real, entonces in\[a^n,\nonumber\]\(a\) se llama la base y\(n\) se llama el exponente.
Cuando el estado de las direcciones simplifican, esto significa
- Todos los exponentes son positivos
- Cada base solo ocurre una vez
- No hay paréntesis
- No hay poderes escritos a los poderes
Regla del producto de exponentes
Echemos un vistazo a un ejemplo con multiplicación.
Simplificar:\(a^3\cdot a^2\)
Solución
Primero, reescribamos este producto en forma expandida y luego combinemos con una base\(a\).
\[\begin{array}{rl}a^3\cdot a^2&\text{Expand} \\ (a\cdot a\cdot a)\cdot (a\cdot a)&\text{Rewrite with one base }a \\ \underset{\color{blue}{5\text{ times}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}&\text{Multiplying }a\text{ five times} \\ a^5&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Pensemos en Ejemplo 6.1.1 . Este método de expansión parece estar bien cuando hay exponentes más pequeños, pero ¿y si nos dieran algo así como\(a^{100}\cdot a^{934}\)? ¿Vamos a expandirnos\(a\) más de mil veces? ¡De ninguna manera! Necesitamos una forma más sofisticada de multiplicar expresiones con exponentes. De ahí que echemos un vistazo a Example 6.1.1 , podemos ver que el resultado es\(a^5\). Observe que podríamos haber obtenido esta respuesta sin expandirnos sino simplemente sumando los exponentes:
\[a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5\nonumber\]
A esto se le llama la regla del producto de los exponentes.
Dejar\(a\) ser un número real positivo y\(n\) y\(m\) ser cualquier número real. Entonces\[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\nonumber\]
Para sumar exponentes, se requiere que las bases de los factores sean las mismas.
Simplificar:\(3^2\cdot 3^6\cdot 3\)
Solución
Apliquemos la regla del producto y simplifiquemos. No olvides que\(3\) tiene un exponente, es uno:\(3^1\).
No siempre lo escribimos, pero sabemos que está ahí.
\[\begin{array}{rl}3^2\cdot 3^6\cdot 3^{\color{blue}{1}}\color{black}{}&\text{Same base} \\ 3^{2+6+1}&\text{Add the exponents} \\ 3^9&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Podemos simplificar esto aún más como\(19,683\)\((3^9 = 19683)\).
Simplificar:\((2x^3y^5z)\cdot (5xy^2z^3)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(2x^3y^5z)\cdot (5xy^2z^3)&\text{Rewrite without parenthesis} \\ 2x^3y^5z^{\color{blue}{1}}\color{black}{}\cdot 5x^{\color{blue}{1}}\color{black}{}y^2z^3&\text{Multiply the coefficients and add exponents with same bases} \\ 2\cdot 5\cdot x^{3+1}\cdot y^{5+2}\cdot z^{1+3}&\text{Add exponents and multiply the coefficients} \\ 10x^4y^7z^4&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Regla del cociente de los exponentes
Simplificar:\(\dfrac{a^5}{a^2}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{a^5}{a^2}&\text{Expand} \\ \dfrac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}&\text{Reduce the common factors} \\ \dfrac{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot a\cdot a\cdot a}{\cancel{a}\cdot\cancel{a}}&\text{Simplify} \\ a\cdot a\cdot a&\text{Rewrite with one base }a \\ a^3&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Pensemos en Example 6.1.4 . Este método de expansión parece estar bien cuando hay exponentes más pequeños, pero ¿y si nos dieran algo así como\(\dfrac{a^{199}}{a^{827}}\)? ¿Vamos a expandirnos\(a\) más de mil veces? ¡De ninguna manera! Necesitamos una forma más sofisticada de dividir expresiones con exponentes. De ahí que echemos un vistazo a Example 6.1.4 , podemos ver que el resultado es\(a^3\). Observe que podríamos haber obtenido esta respuesta sin expandirnos sino simplemente restando los exponentes:
\[\dfrac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3\nonumber\]
A esto se le llama la regla del cociente de exponentes.
Dejar\(a\) ser un número real positivo y\(n\) y\(m\) ser cualquier número real. Entonces\[\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\nonumber\]
Para restar exponentes, se requiere que las bases del dividendo y divisor sean las mismas. Asegúrese de que el exponente denominador se resta del exponente del numerador.
Simplificar:\(\dfrac{7^{13}}{7^5}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{7^{13}}{7^5}&\text{Same base} \\ 7^{13-5}&\text{Subtract exponents} \\ 7^8&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Podemos simplificar esto aún más como\(5,764,801\) (\(7^8 = 5764801\)).
Simplificar:\(\dfrac{5a^3b^5c^2}{2ab^3c}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{5a^3b^5c^2}{2a^{\color{blue}{1}}\color{black}{}b^3c^{\color{blue}{1}}\color{black}{}}&\text{Subtract exponents with same bases and simplify coefficients, if possible} \\ \dfrac{5a^{3-1}b^{5-3}c^{2-1}}{2}&\text{Simplify} \\ \dfrac{5a^2b^2c}{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
También podríamos escribir la expresión con la fracción como coeficiente:\(\dfrac{5}{2} a^2 b^2 c\). Estos son equivalentes y ambos correctos.
Regla de Poder de los Exponentes
Simplificar:\((a^2)^3\)
Solución
Primero, reescribamos esta expresión en forma expandida y luego combinemos con una base\(a\).
\[\begin{array}{rl}(a^2)^3&\text{Expand} \\ a^2\cdot a^2\cdot a^2&\text{Apply the product rule} \\ a^{2+2+2}&\text{Add exponents} \\ a^6&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Pensemos en Example 6.1.7 . Este método de expansión parece estar bien cuando hay exponentes más pequeños, pero ¿y si nos dieran algo así como\((a^{760})^{34}\)? ¿Vamos a expandirnos\(a\) más de veinte mil veces? ¡De ninguna manera! Necesitamos una forma más sofisticada de simplificar expresiones con exponentes elevados a exponentes. De ahí que echemos un vistazo a Example 6.1.7 , podemos ver que el resultado es\(a^6\). Observe que podríamos haber obtenido esta respuesta sin expandirnos sino simplemente multiplicando los exponentes:
\[(a^2)^3=a^{2\cdot 3}=a^6\nonumber\]
A esto se le llama la regla de poder de los exponentes.
Dejar\(a\) ser un número real positivo y\(n\) y\(m\) ser cualquier número real. Entonces\[(a^n)^m=a^{m\cdot n}\nonumber\]
Además, podemos extender la regla de poder para cuando tengamos más de un factor en la base.
Simplificar:\((ab)^3\)
Solución
Podemos expandir la base, luego reescribir con una base de\(a\) y\(b\).
\[\begin{array}{rl}(ab)^3&\text{Expand} \\ (ab)(ab)(ab)&\text{Let's rewrite this grouping }a\text{'s and }b\text{'s} \\ a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot b&\text{Rewrite with one base of }a\text{ and }b\\ a^3b^3&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Pensemos en Example 6.1.8 . Este método de expansión parece estar bien cuando hay exponentes más pequeños, pero ¿y si nos dieran algo así como\((ab)^{2049}\)? ¿Vamos a expandirnos\(a\) y\(b\) más de dos mil veces? ¡De ninguna manera! Necesitamos una forma más sofisticada de simplificar expresiones con exponentes elevados a exponentes con más de un factor en la base. De ahí que echemos un vistazo a Example 6.1.8 , podemos ver que el resultado es\(a^3 b^3\). Observe que podríamos haber obtenido esta respuesta sin expandirnos sino simplemente aplicando el exponente a cada factor en la base:
\[(ab)^3=a^3\cdot b^3=a^3b^3\nonumber\]
Esto se llama el poder de una regla de producto (POP).
Dejar\(a\) y\(b\) ser un número real positivo y\(n\) ser cualquier número real. Entonces\[(ab)^n=a^n\cdot b^m\nonumber\]
Es importante tener cuidado de usar únicamente el poder de una regla de producto con multiplicación dentro de paréntesis. Esta propiedad no está permitida para sumar o restar, es decir,\[(a+b)^m\neq a^m+b^m\nonumber\]
Simplificar:\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3\)
Solución
Ampliemos la fracción y reescribamos con una base de\(a\) y\(b\).
\[\begin{array}{rl}\left(\dfrac{a}{b}\right)^3&\text{Expand} \\ \left(\dfrac{a}{b}\right)\left(\dfrac{a}{b}\right)\left(\dfrac{a}{b}\right)&\text{Multiply fractions} \\ \dfrac{a^3}{b^3}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Observe, esto es similar a la regla POP y podemos aplicar el exponente a cada numerador y denominador.
Dejar\(a\) y\(b\) ser un número real positivo y\(n\) ser cualquier número real. Entonces\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\nonumber\]
Veamos un ejemplo donde tenemos que combinar todas estas reglas de exponentes.
Simplificar:\((x^3yz^2)^4\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(x^3y^{\color{blue}{1}}\color{black}{}z^2)^4&\text{Apply the POP rule} \\ x^{3\cdot 4}y^{1\cdot 4}z^{2\cdot 4}&\text{Multiply exponents} \\ x^{12}y^4z^8&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\left(\dfrac{a^3b}{c^8d^5}\right)^2\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\left(\dfrac{a^3b^{\color{blue}{1}}\color{black}{}}{c^8d^5}\right)^2&\text{Apply the power of a quotient rule} \\ \dfrac{a^{3\cdot 2}b^{1\cdot 2}}{c^{8\cdot 2}d^{5\cdot 2}}&\text{Multiply exponents} \\ \dfrac{a^6b^2}{c^{16}d^{10}}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((4x^2y^5)^3\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(4^{\color{blue}{1}}\color{black}{}x^2y^5)^3&\text{Apply the POP rule} \\ 4^{3\cdot 1}x^{2\cdot 3}y^{5\cdot 3}&\text{Multiply exponents} \\ 4^3\cdot x^6\cdot y^{15}&\text{Evaluate }4^3 \\ 64x^6y^{15}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Observe que el exponente también aplicó al coeficiente\(4\) y tuvimos que evaluar\(4^3 = 64\) como parte de la expresión.
Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales positivos y\(n\) y\(m\) ser cualquier número real.
Regla 1. \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)
Regla 2. \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
Regla 3. \((a^n)^m=a^{nm}\)
Regla 4. \((ab)^n=a^n\cdot b^n\)
Regla 5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
Cero como exponente
Aquí discutimos el cero como exponente. Este es uno de los dos casos en los que el exponente no es positivo. El otro caso es donde los exponentes son negativos, pero lo guardaremos para la siguiente sección. Veamos un ejemplo:
Simplificar:\(\dfrac{a^3}{a^3}\)
Solución
Si aplicáramos la regla del cociente de inmediato, obtendríamos
\[\begin{aligned}\dfrac{a^3}{a^3}&=a^{3-3} \\ &=a^0\end{aligned}\]
Pero, ¿qué significa esto? ¿Qué es\(a^0\)? Bueno, echemos un vistazo a este mismo ejemplo con un enfoque diferente:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{a^3}{a^3}&\text{Expand} \\ \dfrac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a}&\text{Reduce common factors of }a \\ \dfrac{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}}{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{1}{1}&\text{Simplify} \\ 1&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Si\(\dfrac{a^3}{a^3}=a^0\) desde la primera parte y\(\dfrac{a^3}{a^3}=1\) desde la segunda parte, entonces esto implica\(a^0=1\).
\(a\)Sea un número real positivo. Entonces\(a^0 = 1\), es decir, cualquier número real positivo a la potencia de cero es\(1\).
Simplificar:\((3x^2)^0\)
Solución
Ya que\(3x^2\) se eleva a la potencia de cero, entonces podemos aplicar la regla de potencia cero:
\[\begin{array}{rl}(3x^2)^0&\text{Zero power rule} \\ 1&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Exponentes negativos
Otra propiedad que consideramos son las expresiones con exponentes negativos.
Simplificar:\(\dfrac{a^3}{a^5}\)
Solución
Si aplicáramos la regla del cociente de inmediato, obtendríamos
\[\begin{aligned}\dfrac{a^3}{a^5}&=a^{3-5} \\ &=a^{-2}\end{aligned}\]
Pero, ¿qué significa esto? ¿Qué es\(a^{−2}\)? Bueno, echemos un vistazo a este mismo ejemplo con un enfoque diferente:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{a^3}{a^5}&\text{Expand} \\ \dfrac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}&\text{Reduce common factors of }a \\ \dfrac{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}}{\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot\cancel{a}\cdot a\cdot a}&\text{Simplify} \\ \dfrac{1}{a\cdot a}&\text{Simplify} \\ \dfrac{1}{a^2}&\text{Simplified expession}\end{array}\nonumber\]
Si\(\dfrac{a^3}{a^5}=a^{-2}\) desde la primera parte y\(\dfrac{a^3}{a^5}=\dfrac{1}{a^2}\) desde la segunda parte, entonces esto implica\(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\).
Este ejemplo ilustra una propiedad importante de los exponentes. Los exponentes negativos producen el recíproco de la base. Una vez que tomamos el recíproco, el exponente es ahora positivo.
Es importante señalar que un exponente negativo no implica que la expresión sea negativa, sólo el recíproco de la base. De ahí que los exponentes negativos impliquen recíprocos.
Además, recordemos las reglas de simplificación:
- Todos los exponentes son positivos
- Cada base solo ocurre una vez
- No hay paréntesis
- No hay poderes escritos a los poderes
Esto incluye reescribir todos los exponentes negativos como exponentes positivos.
Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales positivos y\(n\) ser cualquier número real.
Regla 1. \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)
Regla 2. \(\dfrac{1}{a^{-n}}=a^n\)
Regla 3. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)
Los exponentes negativos se combinan de varias maneras diferentes. Como regla general, en una fracción, una base con un exponente negativo se mueve al otro lado de la barra de fracción a medida que el exponente cambia de signo.
Simplificar:\(\dfrac{a^3b^{-2}c}{2d^{-1}e^{-4}f^2}\)
Solución
Podemos reescribir la expresión con exponentes positivos usando las reglas de exponentes:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{a^3b^{-2}c}{2d^{-1}e^{-4}f^2}&\text{Reciprocate the terms with negative exponents} \\ \dfrac{a^3cde^4}{2b^2f^2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
A medida que simplificamos la fracción, tomamos especial cuidado en mover cada base que tuviera un exponente negativo, pero la expresión en sí no se volvió negativa. Además, es importante recordar que los exponentes sólo afectan a la base. El\(2\) en el denominador tiene un exponente de uno (no siempre lo escribimos, pero sabemos que está ahí), así que no se mueve con el\(d\).
Nicolas Chuquet, el matemático francés del\(15^{\text{th}}\) siglo escribió\(12^{1\overline{m}}\) para indicar\(12x^{−1}\). Este fue el primer uso conocido del exponente negativo.
Propiedades de los Exponentes
Al juntar todas las reglas, podemos simplificar expresiones más complejas que contienen exponentes. Aquí aplicamos todas las reglas de exponentes para simplificar expresiones.
Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales positivos y\(n\) y\(m\) ser cualquier número real.
Regla 1. \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)
Regla 2. \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
Regla 3. \((a^n)^m=a^{nm}\)
Regla 4. \((ab)^n=a^n\cdot b^n\)
Regla 5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
Regla 6. \(a^0=1\)
Regla 7. \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)
Regla 8. \(\dfrac{1}{a^{-n}}=a^n\)
Regla 9. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\)
Simplificar:\(\dfrac{4x^{-5}y^{-3}\cdot 3x^3y^{-2}}{6x^{-5}y^3}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{4x^{-5}y^{-3}\cdot 3x^3y^{-2}}{6x^{-5}y^3}&\text{Simplify the numerator by applying the product rule} \\ \dfrac{12x^{-2}y^{-5}}{6x^{-5}y^3}&\text{Simplify by applying the quotient rule} \\ \dfrac{12}{6}\cdot x^{-2-(-5)}y^{-5-3}&\text{Simplify} \\ 2x^3y^{-8}&\text{Rewrite with only positive exponents} \\ \dfrac{2x^3}{y^8}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{(3ab^3)^{-2}\cdot ab^{-3}}{2a^{-4}b^0}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{(3ab^3)^{-2}\cdot a^1b^{-3}}{2a^{-4}b^0}&\text{Apply POP and zero power rule} \\ \dfrac{3^{-2}a^{-2}b^{-6}\cdot a^1b^{-3}}{2a^{-4}\cdot 1}&\text{Apply product rule} \\ \dfrac{3^{-2}a^{-1}b^{-9}}{2a^{-4}}&\text{Apply the quotient rule} \\ \dfrac{3^{-2}a^3b^{-9}}{2}&\text{Rewrite with only positive exponents} \\ \dfrac{a^3}{2\cdot 3^2\cdot b^9}&\text{Simplify} \\ \dfrac{a^3}{18b^9}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Es importante señalar que cuando simplificamos\(3^{−2}\), pasamos el\(3^{−2}\) al denominador y el exponente se volvió positivo. No hicimos negativo el número. Los exponentes negativos nunca hacen que las bases sean negativas; simplemente significan que tenemos que tomar el recíproco de la base.
Simplificar:\(\left(\dfrac{3x^{-2}y^5z^3\cdot 6x^{-6}y^{-2}z^{-3}}{9(x^2y^{-2})^{-3}}\right)^{-3}\)
Solución
Este ejemplo parece más involucrado que cualquiera de los otros ejemplos, pero vamos a aplicar el mismo método. Se aconseja, en este tipo de problemas, que primero simplifiquemos la expresión dentro del paréntesis, y luego apliquemos la regla POP. Incluso deberíamos comenzar simplificando cada numerador y denoinador antes de simplificar la fracción con la regla del cociente.
\[\begin{array}{rl} \left(\dfrac{3x^{-2}y^5z^3\cdot 6x^{-6}y^{-2}z^{-3}}{9(x^2y^{-2})^{-3}}\right)^{-3}&\text{Simplify each numeratr and denominator} \\ \left(\dfrac{18x^{-8}y^3z^0}{9x^{-6}y^6}\right)^{-3}&\text{Apply the quotient rule} \\ (2x^{-2}y^{-3}z^0)^{-3}&\text{Apply the POP rule} \\ 2^{-3}x^{-6}y^9z^0&\text{Rewrite only with positive exponents} \\ \dfrac{x^6y^9}{2^3}&\text{Simplify} \\ \dfrac{x^6y^9}{8}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Reglas de exponente y deberes de propiedades
Simplificar. Asegúrese de seguir las reglas simplificadoras y escribir respuestas con exponentes positivos.
\(4\cdot 4^4\cdot 4^4\)
\(4\cdot 2^2\)
\(3m\cdot 3mn\)
\(2m^4n^2\cdot 4nm^2\)
\((3^3)^4\)
\((4^4)^2\)
\((2u^3v^2)^2\)
\((2a^4)^4\)
\(\dfrac{4^5}{4^3}\)
\(\dfrac{3^2}{3}\)
\(\dfrac{3nm^2}{3n}\)
\(\dfrac{4x^3y^4}{3xy^3}\)
\((x^3y^4\cdot 2x^2y^3)^2\)
\(2x(x^4y^4)^4\)
\(\dfrac{2x^7y^5}{3x^3y\cdot 4x^2y^3}\)
\(\left(\dfrac{(2x)^3}{x^3}\right)^2\)
\(\left(\dfrac{2y^{17}}{(2x^2y^4)^4}\right)^3\)
\(\left(\dfrac{2mn^4\cdot 2m^4n^4}{mn^4}\right)^3\)
\(\dfrac{2xy^5\cdot 2x^2y^3}{2xy^4\cdot y^3}\)
\(\dfrac{q^3r^2\cdot (2p^2q^2r^3)^2}{2p^3}\)
\(\left(\dfrac{zy^3\cdot z^3x^4y^4}{x^3y^3z^3}\right)^4\)
\(\dfrac{2x^2y^2z^6\cdot 2zx^2y^2}{(x^2z^3)^2}\)
\(4\cdot 4^4\cdot 4^2\)
\(3\cdot 3^3\cdot 3^2\)
\(3x\cdot 4x^2\)
\(x^2y^4\cdot xy^2\)
\((4^3)^4\)
\((3^2)^3\)
\((xy)^3\)
\((2xy)^4\)
\(\dfrac{3^7}{3^3}\)
\(\dfrac{3^4}{3}\)
\(\dfrac{x^2y^4}{4xy}\)
\(\dfrac{xy^3}{4xy}\)
\((u^2v^2\cdot 2u^4)^3\)
\(\dfrac{3vu^5\cdot 2v^3}{uv^2\cdot 2u^3v}\)
\(\dfrac{2ba^7\cdot 2b^4}{ba^2\cdot 3a^3b^4}\)
\(\dfrac{2a^2b^2a^7}{(ba^4)^2}\)
\(\dfrac{yx^2\cdot (y^4)^2}{2y^4}\)
\(\dfrac{n^3(n^4)^2}{2mn}\)
\(\dfrac{(2y^3x^2)^2}{2x^2y^4\cdot x^2}\)
\(\dfrac{2x^4y^5\cdot 2z^{10}x^2y^7}{(xy^2z^2)^4}\)
\(\left(\dfrac{2q^3p^3r^4\cdot 2p^3}{(qrp^3)^2}\right)^4\)
\(2x^4y^{-2}\cdot (2xy^3)^4\)
\((a^4b^{-3})^3\cdot 2a^3b^{-2}\)
\((2x^2y^2)^4x^{-4}\)
\((x^3y^4)^3\cdot x^{-4}y^4\)
\(\dfrac{2x^{-3}y^2}{3x^{-3}y^3\cdot 3x^0}\)
\(\dfrac{4xy^{-3}\cdot x^{-4}y^0}{4y^{-1}}\)
\(\dfrac{u^2v^{-1}}{2u^0v^4\cdot 2uv}\)
\(\dfrac{u^2}{4u^0v^3\cdot 3v^2}\)
\(\dfrac{2y}{(x^0y^2)^4}\)
\(\left(\dfrac{2a^2b^3}{a^{-1}}\right)^4\)
\(\dfrac{2nm^4}{(2m^2n^2)^4}\)
\(\dfrac{(2mn)^4}{m^0n^{-2}}\)
\(\dfrac{y^3\cdot x^{-3}y^2}{(x^4y^2)^3}\)
\(\dfrac{2u^{-2}v^3\cdot (2uv^4)^{-1}}{2u^{-4}v^0}\)
\(\left(\dfrac{2x^0\cdot y^4}{y^4}\right)^3\)
\(\dfrac{y(2x^4y^2)^2}{2x^4y^0}\)
\(\dfrac{2yzx^2}{2x^4y^4z^{-2}\cdot (zy^2)^4}\)
\(\dfrac{2kh^0\cdot 2h^{-3}k^0}{(2kj^3)^2}\)
\(\dfrac{(cb^3)^2\cdot 2a^{-3}b^2}{(a^3b^{-2}c^3)^3}\)
\(\dfrac{(yx^{-4}z^2)^{-1}}{z^3\cdot x^2y^3z^{-1}}\)
\(2a^{-2}b^{-3}\cdot (2a^0b^4)^4\)
\(2x^3y^2\cdot (2x^3)^0\)
\((m^0n^3\cdot 2m^{-3}n^{-3})^0\)
\(2m^{-1}n^{-3}\cdot (2m^{-1}n^{-3})^4\)
\(\dfrac{3y^3}{3yx^3\cdot 2x^4y^{-3}}\)
\(\dfrac{3x^3y^2}{4y^{-2}\cdot 3x^{-2}y^{-4}}\)
\(\dfrac{2xy^2\cdot 4x^3y^{-4}}{4x^{-4}y^{-4}\cdot 4x}\)
\(\dfrac{2x^{-2}y^2}{4yx^2}\)
\(\dfrac{(a^4)^4}{2b}\)
\(\left(\dfrac{2y^{-4}}{x^2}\right)^{-2}\)
\(\dfrac{2y^2}{(x^4y^0)^{-4}}\)
\(\dfrac{2x^{-3}}{(x^4y^{-3})^{-1}}\)
\(\dfrac{2x^{-2}y^0\cdot 2xy^4}{(xy^0)^{-1}}\)
\(\dfrac{2yx^2\cdot x^{-2}}{(2x^0y^4)^{-1}}\)
\(\dfrac{u^{-3}v^{-4}}{2v(2u^{-3}v^4)^0}\)
\(\dfrac{b^{-1}}{(2a^4b^0)^0\cdot 2a^{-3}b^2}\)
\(\dfrac{2b^4c^{-2}\cdot (2b^3c^2)^{-4}}{a^{-2}b^4}\)
\(\left(\dfrac{(2x^{-3}y^0z^{-1})^3\cdot x^{-3}y^2}{2x^3}\right)^{-2}\)
\(\dfrac{2q^4\cdot m^2p^2q^4}{(2m^{-4}p^2)^3}\)
\(\dfrac{2mpn^{-3}}{(m^0n^{-4}p^2)^3\cdot 2n^2p^0}\)