6.2: Notación científica
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Una aplicación de las propiedades exponentes es la notación científica. La notación científica se utiliza para representar números realmente grandes o muy pequeños, como los números que son demasiado grandes o pequeños para mostrarlos en la calculadora. Por ejemplo, la distancia que recorre la luz por año en millas es un número muy grande (\(5,879,000,000,000\)) y la masa de un solo átomo de hidrógeno en gramos es un número muy pequeño (\(0.00000000000000000000000167\)). Operaciones básicas, como multiplicación y división, con estos números, serían bastante engorrosas. Sin embargo, las propiedades del exponente nos permiten realizar cálculos más sencillos.
La notación científica es una notación para representar números extremadamente grandes o pequeños en forma de\[a\times 10^N,\nonumber\] donde\(N\) es un número entero,\(1 ≤ a < 10\), y\(N\) es el número de decimales de la derecha o izquierda que movimos para obtener\(a\).
Algunas notas sobre la notación científica:
- \(N\)es la forma en que convertimos entre la notación científica y la estándar.
- \(N\)representa el número de veces que multiplicamos o dividimos por\(10\). (Recordar, multiplicar por\(10\) mueve el punto decimal de un valor positorio número uno.)
- Decidimos en qué dirección mover el decimal (izquierda o derecha) recordando que en notación estándar, los exponentes positivos son números mayores que diez y los exponentes negativos son números menores que uno (pero mayores que cero).
Caso 1. Si movemos el decimal a la izquierda con un número en notación estándar, entonces\(N\) será positivo.
Caso 2. Si movemos el decimal a la derecha con un número en notación estándar, entonces\(N\) será negativo.
Convertir números a notación científica
Convertir\(14,200\) a notación científica.
Solución
Dado que este número es mayor que\(10\), entonces movemos el decimal a la izquierda y\(N\) es positivo. Primero encontraremos\(a\), luego\(N\).
\[\begin{array}{rl}14200\color{blue}{.0}\color{black}{}&\text{Identify the location of the decimal} \\1\color{blue}{.}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{4\:}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{2}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{black}{0}}\:\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft }}{\color{black}{0. 0}}&\text{Four decimal places to the left} \\ 1.42&\text{The value of }a\end{array}\nonumber\]
Ya que movimos los\(4\) decimales hacia la izquierda para obtener\(1.42\), entonces sabemos\(N = 4\), es decir, el exponente sobre el\(10\) is\(4\). De ahí que la reescritura\(14,200\) de la notación estándar a la notación científica, obtenemos\[1.42\times 10^4\nonumber\]
Asegúrese de mover siempre el decimal por muchos decimales para obtener un número entre\(1\) y\(10\). En Ejemplo 6.2.1 , solo movimos cuatro decimales porque ese es el número de decimales que necesitábamos mover para obtener un número entre\(1\) y\(10\).
Convertir\(0.0042\) a notación científica.
Solución
Dado que este número es menor que\(1\) (pero mayor que cero), entonces movemos el decimal hacia la derecha y\(N\) es negativo. Primero encontraremos\(a\), luego\(N\).
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{0.}\color{black}{}0042&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright\: .}}{\color{black}{0.\: 0}}\stackrel{\color{blue}{\:\curvearrowright\: .}}{\: \color{black}{0}} \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright\: }}{\color{black}{\:4}} .2&\text{Three decimal places to the right} \\ 4.2&\text{The value for }a\end{array}\nonumber\]
Ya que movimos los\(3\) decimales a la derecha para obtener\(4.2\), entonces sabemos\(N = −3\), es decir, el exponente sobre el\(10\) is\(−3\). De ahí que la reescritura\(0.0042\) de la notación estándar a la notación científica, obtenemos\[4.2\times 10^{-3}\nonumber\]
Convertir números de notación científica a notación estándar
Para convertir un número de notación científica de la forma\[a\times 10^{N}\nonumber\] a notación estándar, podemos seguir estas reglas generales.
- Si\(N\) es positivo, esto significa que el número original fue mayor que\(10\), movemos el decimal a los\(N\) tiempos correctos.
- Si\(N\) es negativo, esto significa que el número original fue menor que\(1\) (pero mayor que cero), movemos el decimal a la izquierda\(N\) veces.
Convertir\(3.21\times 10^5\) a notación estándar.
Solución
Ya que\(N = 5\), que es positivo, entonces esto significa que la notación estándar del número es mayor que\(10\) y movemos el decimal a los\(5\) tiempos correctos.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{3.}\color{black}{}21&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\color{black}{3.\: 2}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\: \color{black}{1}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\:\color{blue}{0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright .}}{\:\color{blue}{0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowright }}{\:\color{blue}{0}}&\text{Five decimal places to the right} \\ 321000.&\text{Standard notation}\end{array}\nonumber\]
Ya que movimos los\(5\) decimales a la derecha para obtener\(321,000\), aviso, como estábamos moviendo el decimal, había valores posicional sin dígitos y así escribimos en los ceros. En general, hacemos esto cuando hay valores positorios sin dígitos al expandir los números.
Convertir\(7.4\times 10^{-3}\) a notación estándar.
Solución
Ya que\(N = −3\), que es negativo, entonces esto significa que la notación estándar del número es menor que\(1\) (pero mayor que cero) y movemos el decimal a los\(3\) tiempos de la izquierda.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{7.}\color{black}{4}&\text{Identify the location of the decimal} \\ \stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{blue}{0.0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft .}}{\color{blue}{\: 0}}\stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft}}{\color{black}{7.}}4&\text{Three decimal places to the left} \\ 0.0074&\text{Standard notation}\end{array}\nonumber\]
Ya que movimos los\(3\) decimales a la izquierda para obtener\(0.0074\), observe que tuvimos que escribir ceros en el lugar de las décimas y centésimas.
Multiplicar y dividir números en notación científica
Convertir números entre notación estándar y notación científica es importante para comprender la notación científica y su propósito. A continuación, multiplicamos y dividimos números en notación científica usando las propiedades exponentes. Si el resultado inmediato no está escrito en notación científica, completaremos un paso adicional para escribir la respuesta en notación científica.
Paso 1. Reescribir los factores como multiplicar o dividir\(a\) -valores y luego multiplicar o dividir\(10^N\) valores.
Paso 2. Multiplica o divide los\(a\) valores y aplica la regla de producto o cociente de exponentes para sumar o restar los exponentes\(N\),, sobre la base\(10\) s, respectivamente.
Paso 3. Asegúrese de que el resultado esté en notación científica. Si no, entonces reescribe en notación científica.
Multiplicar:\((2.1\times 10^{-7})(3.7\times 10^5)\)
Solución
Paso 1. Reescribir los factores como multiplicar\(a\) -valores y luego multiplicar\(10^N\) valores. \[(2.1)(3.7)\times (10^{-7}\cdot 10^5)\nonumber\]
Paso 2. Multply\(a\) valores y aplicar la regla de producto de exponentes sobre los\(10^N\) valores. \[\begin{array}{rl}(2.1)(3.7)\times 10^{-7+5}&\text{Simplify} \\ 7.77\times 10^{-2}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Dado que el producto resultó en notación científica, lo dejamos como está.
Dividir:\(\dfrac{4.96\times 10^4}{3.1\times 10^{-3}}\)
Solución
Paso 1. Reescribe los factores como\(a\) valores de división y luego dividiendo\(10^N\) valores. \[\dfrac{4.96}{3.1}\times \dfrac{10^4}{10^{-3}}\nonumber\]
Paso 2. Multply\(a\) valores y aplicar la regla de cociente de exponentes sobre los\(10^N\) valores. \[\begin{array}{rl}\dfrac{4.96}{3.1}\times 10^{4-(-3)}&\text{Simplify} \\ 1.6\times 10^7&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Dado que el cociente resultó en notación científica, lo dejamos como está.
Multiplicar:\((4.7\times 10^{-3})(6.1\times 10^9)\)
Solución
Paso 1. Reescribir los factores como multiplicar\(a\) -valores y luego multiplicar\(10^N\) valores. \[(4.7)(6.1)\times (10^{-3}\times 10^9)\nonumber\]
Paso 2. Multiplicar\(a\) valores y aplicar la regla de producto de exponentes sobre los\(10^N\) valores. \[\begin{array}{rl}(4.7)(6.1)\times 10^{-3+9}&\text{Simplify} \\ 28.67\times 10^6&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Dado que el producto resultó un número no en notación científica, lo hemos reescrito para que esté en notación científica. De ahí que necesitamos\(a\) ser un número al menos\(1\) y menor que\(10\), y\(28.67\) es mayor que\(10\), luego movemos el decimal hacia la izquierda y\(N\) es positivo. \[\begin{array}{rl}(2\color{blue}{8.}\color{black}{}67)\times 10^6&\text{Identify the location of the decimal} \\ \left( \stackrel{\color{blue}{\curvearrowleft}}{\color{black}{2}\color{blue}{.8}}\color{black}{}.67\times 10^1\right)\times 10^6&\text{One decimal place to the left} \\ 2.867\times 10^1\times 10^6&\text{Apply product rule of exponents} \\ 2.867\times 10^7&\text{Scientific notation}\end{array}\nonumber\]
Arquímedes (287 aC-212 aC), el matemático griego, desarrolló un sistema para representar números grandes utilizando un sistema muy similar a la notación científica. Utilizó su sistema para calcular el número de granos de arena que se necesitaría para llenar el universo. Su conclusión fueron\(10^{63}\) granos de arena porque imaginó que el universo tenía un diámetro de\(10^{14}\) estadios o aproximadamente años\(2\) luz.
Dividir:\(\dfrac{2.014\times 10^{-3}}{3.8\times 10^{-7}}\)
Solución
Paso 1. Reescribe los factores como\(a\) valores de división y luego dividiendo\(10^N\) valores. \[\dfrac{2.014}{3.8}\times \dfrac{10^{-3}}{10^{-7}}\nonumber\]
Paso 2. Dividir\(a\) valores y aplicar la regla de cociente de exponentes sobre los\(10^N\) valores. \[\begin{array}{rl}\dfrac{2.014}{3.8}\times 10^{-3-(-7)}&\text{Simplify} \\ 0.53\times 10^4 &\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Como el cociente resultó un número no en notación científica, lo hemos reescrito para que esté en notación científica. De ahí que necesitamos\(a\) ser un número al menos\(1\) y menor que\(10\), y\(0.53\) es menor que\(1\) (pero mayor que cero), luego movemos el decimal hacia la derecha y\(N\) es negativo. \[\begin{array}{rl}(\color{blue}{0.}\color{black}{}53)\times 10^4 &\text{Identify the location of the decimal} \\ \left(0.\color{blue}{\stackrel{\curvearrowright}{5}}\color{black}{}.3\times 10^{-1}\right)\times 10^4&\text{One decimal place to the right} \\ 5.3\times 10^{-1}\times 10^4&\text{Apply product rule of exponents} \\ 5.3\times 10^3&\text{Scientific notation}\end{array}\nonumber\]
Testo de notación científica
Escribe cada número en notación científica
\(885\)
\(0.081\)
\(0.039\)
\(0.000744\)
\(1.09\)
\(15,000\)
Escribe cada número en notación estándar.
\(8.7\times 10^5\)
\(9\times 10^{-4}\)
\(2\times 10^0\)
\(2.56\times 10^2\)
\(5\times 10^4\)
\(6\times 10^{-5}\)
Simplificar. Escribe cada respuesta en notación científica.
\((7\times 10^{-1})(2\times 10^{-3})\)
\((5.26\times 10^{-5})(3.16\times 10^{-2})\)
\((2.6\times 10^{-2})(6\times 10^{-2})\)
\(\dfrac{4.9\times 10^1}{2.7\times 10^{-3}}\)
\(\dfrac{5.33\times 10^{-6}}{9.62\times 10^{-2}}\)
\((5.5\times 10^{-5})^2\)
\((7.8\times 10^{-2})^5\)
\((8.03\times 10^4)^{-4}\)
\(\dfrac{6.1\times 10^{-6}}{5.1\times 10^{-4}}\)
\((3.6\times 10^0)(6.1\times 10^{-3})\)
\((1.8\times 10^{-5})^{-3}\)
\(\dfrac{9\times 10^4}{7.83\times 10^{-2}}\)
\(\dfrac{3.22\times 10^{-3}}{7\times 10^{-6}}\)
\(\dfrac{2.4\times 10^{-6}}{6.5\times 10^0}\)
\(\dfrac{6\times 10^3}{5.8\times 10^{-3}}\)
\((2\times 10^{-6})(8.8\times 10^{-5})\)
\((5.1\times 10^6)(9.84\times 10^{-1})\)
\(\dfrac{7.4\times 10^4}{1.7\times 10^{-4}}\)
\(\dfrac{7.2\times 10^{-1}}{7.32\times 10^{-1}}\)
\(\dfrac{3.2\times 10^{-3}}{5.02\times 10^0}\)
\((9.6\times 10^3)^{-4}\)
\((5.4\times 10^6)^{-3}\)
\((6.88\times 10^{-4})(4.23\times 10^1)\)
\(\dfrac{8.4\times 10^5}{7\times 10^{-2}}\)
\((3.15\times 10^3)(8\times 10^{-1})\)
\(\dfrac{9.58\times 10^{-2}}{1.14\times 10^{-3}}\)
\((8.3\times 10^1)^5\)
\(\dfrac{5\times 10^6}{6.69\times 10^2}\)
\((9\times 10^{-2})^{-3}\)
\((2\times 10^4)(6\times 10^1)\)