7.1: Mayor factor común y agrupación
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En esta lección, nos enfocamos en factorizar utilizando el mayor factor común, el GCF, de un polinomio. Cuando multiplicamos polinomios, multiplicamos los monomios por polinomios distribuyendo, como
\[4x^2(2x^2-3x+8)=8x^4-12x^3+32x^2\nonumber\]
Resolvemos el mismo problema, pero al revés. Comenzaremos con\(8x^2 −12x^3 + 32x^2\) y obtendremos su forma factorizada.
Primero, tenemos que identificar el GCF de un polinomio. Introducimos el GCF de un polinomio observando un ejemplo en aritmética. El método en el que se obtuvo el GCF entre números en aritmética es el mismo método que utilizamos para obtener el GCF con polinomios.
Encontrar el mayor factor común
La forma factorizada de un número o expresión es la expresión escrita como producto de factores.
El mayor factor común (GCF) de un polinomio es el polinomio más grande que es un factor de todos los términos en el polinomio.
Encuentre el GCF de\(15\),\(24\), y\(27\).
Solución
Primero obtenemos la factorización prima de cada número:
\[\begin{aligned}15&=3\cdot 5 \\ 24&=2^3\cdot 3\\ 27&=3^3\end{aligned}\]
A continuación, tomamos solo los factores comunes y si algún factor común se repite, tomamos el factor con el exponente más pequeño. Recordemos, el GCF es el factor más grande que se divide en todos los números. Tenemos que tomar\(3\) (solo tomamos\(3^1\) porque solo hay uno tres en común en los tres números). Observe, no hay otros factores en común con los tres números. De ahí,\(\text{GCF}(15, 24, 27) = 3\).
Al encontrar el GCF de un polinomio, utilizamos el mismo método y la única diferencia es que tenemos variables en la expresión.
Encuentre el GCF de\(24x^4y^2z\),\(18x^2y^4\), y\(12x^3yz^5\)
Solución
Primero obtenemos la factorización prima de cada monomio:
\[\begin{aligned}24x^4y^2z&=2^3\cdot 3\cdot x^4\cdot y^2\cdot z \\ 18x^2y^4&=2\cdot 3^2\cdot x^2\cdot y^4 \\ 12x^3yz^5&=2^2\cdot 3\cdot x^3\cdot y\cdot z^5\end{aligned}\]
A continuación, tomamos solo los factores comunes y si algún factor común se repite, tomamos el factor con el exponente más pequeño. Recordemos, el GCF es el factor más grande que divide en todos los términos en la expresión. Tenemos que tomar\(2\cdot 3\cdot x^2\cdot y\cdot z\). De ahí,\(\text{GCF}(24x^4y^2z,\: 18x^2y^4 ,\: 12x^3yz^5) = 6x^2yz\).
Factorizar el mayor factor común
Una vez que obtengamos el GCF, podemos comenzar a factorizar el GCF a partir de una expresión. Finalmente, queremos poder ver el GCF rápidamente y comenzar a factorizar de inmediato. Por supuesto, solo con la práctica obtenemos mejores habilidades. Vamos a probar un ejemplo.
Factorizar el GCF:\(4x^2-20x+16\)
Solución
Mirando cada término, escribamos la factorización principal de cada término:
\[\begin{aligned}4x^2&=2^2\cdot x^2 \\ 20x&=2^2\cdot 5\cdot x \\ 16&=2^4\end{aligned}\]
Tenemos que tomar\(2^2\). De ahí,\(\text{GCF}(4x^2,\: 20x,\: 16) = 2^2 = 4\). Vamos a reescribir cada término en la expresión como producto del GCF y los factores que quedan:
\[\begin{array}{rl}4x^2-20x+16&\text{Rewrite with the GCF }4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{}\cdot x^2-\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot 5x+\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot 4&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{4}\color{black}{}(x^2-5x+4)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 1. Encuentra el GCF de la expresión.
Paso 2. Reescribir cada término como producto del GCF y los factores restantes.
Paso 3. Reescribir como producto del GCF y los factores restantes entre paréntesis.
Paso 4. \(\checkmark\)Verificar la forma factorizada multiplicando. El producto debe ser la expresión original.
Factorizar el GCF:\(25x^4-15x^3+20x^2\)
Solución
Mirando cada término, comencemos por escribir la factorización principal de cada término.
\[\begin{aligned}25x^4&=5^2\cdot x^4 \\ 15x^3&=3\cdot 5\cdot x^3 \\ 20x^2&=2^2\cdot 5\cdot x^2\end{aligned}\]
Paso 1. Tenemos que tomar\(5x^2\). De ahí,\(\text{GCF}(25x^4,\: 15x^3,\: 20x^2) = 5x^2\).
Paso 2. Vamos a reescribir cada término en la expresión como producto del GCF y los factores que quedan:\[\begin{array}{rl}25x^4-15x^3+20x^2&\text{Rewrite with the GCF }5x^2 \\ \color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 5x^2-\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 3x+\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 4\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Reescribe la expresión con el GCF y los factores restantes entre paréntesis:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 5x^2-\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 3x+\color{blue}{5x^2}\color{black}{}\cdot 4&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{5x^2}\color{black}{}(5x^2-3x+4)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifiquemos la forma factorizada:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5x^2}\color{black}{}(5x^2-3x+4)&\text{Distribute the GCF} \\ 25x^4-15x^3+20x^2&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\(5x^2(5x^2-3x+4)\).
Factorizar el GCF:\(3x^3y^2z + 5x^4y^3z^5 − 4xy^4\)
Solución
Mirando cada término, comencemos por escribir la factorización principal de cada término.
\[\begin{aligned}3x^3y^2z&=3\cdot x^3\cdot y^2\cdot z \\ 5x^4y^3z^5&=5\cdot x^4\cdot y^3\cdot z^5 \\ 4xy^4&=2^2\cdot x\cdot y^4\end{aligned}\]
Paso 1. Tenemos que tomar\(xy^2\). De ahí,\(\text{GCF}(3x^3y^2z,\: 5x^4y^3z^5,\: 4xy^4) = xy^2\).
Paso 2. Vamos a reescribir cada término en la expresión como producto del GCF y los factores que quedan:\[\begin{array}{rl}3x^3y^2z+5x^4y^3z^5-4xy^4&\text{Rewrite with the GCF }xy^2 \\ \color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 3x^2z+\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 5x^3yz^5-\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 4y^2\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Reescribe la expresión con el GCF y los factores restantes entre paréntesis:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 3x^2z+\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 5x^3yz^5-\color{blue}{xy^2}\color{black}{}\cdot 4y^2&\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{xy^2}\color{black}{}(3x^2z+5x^2yz^5-4y^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifiquemos la forma factorizada:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{xy^2}\color{black}{}(3x^2z+5x^2yz^5-4y^2)&\text{Distribute the GCF} \\ 3x^3y^2z+5x^4y^3z^5-4xy^4&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\(xy^2 (3x^2z + 5x^2yz^5 − 4y^2 )\).
El primer algoritmo registrado para encontrar el mayor factor común proviene del matemático griego Euclides alrededor del año 300 a.C.
Vamos a probar un ejemplo con el ojo de balling el GCF y reescribir en forma factorizada.
Factorizar el GCF:\(21x^3+14x^2+7x\)
Solución
Al observar los coeficientes, podemos ver que hay un factor común de\(7\) en cada término. Además, vemos un factor de\(x\) en común en los tres términos. De ahí que tomemos\(7x\) como el GCF. Observe que no tomamos un exponente mayor\(x\) porque solo un factor de\(x\) es común en los tres términos.
Reescribamos la expresión en forma factorizada.
\[\begin{array}{rl}21x^3+14x^2+7x&\text{Rewrite with the GCF }7x \\ \color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 3x^2+\color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 2x+\color{blue}{7x}\color{black}{}\cdot 1 &\text{Rewrite the expression with the GCF and parenthesis} \\ \color{blue}{7x}\color{black}{}(3x^2+2x+1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Siempre podemos verificar la forma factorizada distribuyendo\(7x\) y obteniendo la expresión original.
Un binomio como el mayor factor común
Como parte de una estrategia general de factorización, siempre buscamos un GCF. A veces el GCF es un monomio, como en los ejemplos anteriores, o un binomio. Aquí discutimos factorizar un polinomio donde el GCF es un binomio. Normalmente llamamos a este factor agrupando. Considera el siguiente ejemplo.
Factor:\(3ax-7bx\)
Solución
\[\begin{array}{rl}3a\color{blue}{x}\color{black}{}-7b\color{blue}{x}&\text{Both have }x\text{ in common, factor it out} \\ \color{blue}{x}\color{black}{}(3a-7b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Hagamos esto interesante. Apliquemos este mismo método, pero en lugar de ser el GCF\(x\), dejemos que el GCF sea el binomio\(2a + 5b\).
Encuentra:\(3a(2a+5b)-7b(2a+5b)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}3a\color{blue}{(2a+5b)}\color{black}{}-7b\color{blue}{(2a+5b)}&\color{black}{\text{Both have }}(2a+5b)\text{ in common, factor it out} \\ \color{blue}{(2a+5b)}\color{black}{}(3a-7b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Factor por Agrupación
En Example 7.1.8 , factorizamos un GCF de\((2a + 5b)\) la misma manera que factorizamos un\(x\) en Example 7.1.7 . Este proceso se puede extender a expresiones factoriales donde no hay un GCF. Usaremos un proceso conocido como factor por agrupación. Factor por agrupación es un método utilizado para factorizar polinomios cuando hay al menos cuatro términos en la expresión. Tomemos el siguiente ejemplo.
Multiplicar:\((2a+3)(5b+2)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(2a+3)(5b+2)&\text{Distribute }(2a+3)\text{ into second parenthesis} \\ 5b(2a+3)+2(2a+3)&\text{Distribute} \\ 10ab+15b+4a+6&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Observe que el producto tiene cuatro términos ninguno de los cuales comparte un factor común.
Para factorizar por agrupación, primero notamos que la expresión polinómica obtiene cuatro términos.
Paso 1. Agrupe dos conjuntos de dos términos, e.g\(ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)\).,.
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo, p.\(a(x + y) + b(x + y)\)
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión,\((x + y)(a + b)\) p.
Factor:\(10ab+15b+4a+6\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}10ab+15b+4a+6&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (10ab+15b)+(4a+6)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(10ab+15b)+(4a+6)&\text{Factor }5b\text{ from the first group and }2\text{ from the second group} \\ 5b(2a+3)+2(2a+3)\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}5b\color{blue}{(2a+3)}\color{black}{}+2\color{blue}{(2a+3)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2a+3) \\ \color{blue}{(2a+3)}\color{black}{}(5b+2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Factor:\(6x^2+9xy-14x-21y\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}6x^2+9xy-14x-21y&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (6x^2+9xy)+(-14x-21y)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo. \[\begin{array}{rl}(6x^2+9xy)+(-14x-21y)&\text{Factor }3x\text{ from the first group and }-7 \\ &\text{from the second group} \\ 3x(2x+3y)-7(2x+3y)\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}3x\color{blue}{(2x+3y)}\color{black}{}-7\color{blue}{(2x+3y)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2x+3y) \\ \color{blue}{(2x+3y)}\color{black}{}(3x-7)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Aviso después del Paso 2. , queremos que el GCF del binomio sea idéntico para que podamos factorializarlo en el Paso 3. Asegúrese de que estos binomios sean idénticos. Un error común es cuando los binomios no son idénticos (a veces por un negativo) y los estudiantes factor de todos modos.
Factor:\(5xy-8x-10y+16\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}5xy-8x-10y+16&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (5xy-8x)+(-10y+16)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(5xy-8x)+(-10y+16)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }-2 \\ &\text{from the second group} \\ x(5y-8)-2(5y-8)&\text{Both binomials are identical}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}x\color{blue}{(5y-8)}\color{black}{}-2\color{blue}{(5y-8)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(5y-8) \\ \color{blue}{(5y-8)}\color{black}{}(x-2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Factor:\(12ab-14a-6b+7\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}12ab-14a-6b+7&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (12ab-14a)+(-6b+7)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(12ab-14a)+(-6b+7)&\text{Factor }2a\text{ from the first group and }-1 \\ &\text{from the second group} \\ 2a(6b-7)-1(6b-7)&\text{Both binomials are identical}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}2a\color{blue}{(6b-7)}\color{black}{}-1\color{blue}{(6b-7)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(6b-7) \\ \color{blue}{(6b-7)}\color{black}{}(2a-1)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Cuidado en este tipo de expresiones, donde factorizamos todo el segundo binomio y nos quedamos con el término\(1\). Esto ocurre a veces con factoring y es importante escribir siempre el\(1\) en el Paso 2. para que no nos olvidemos que está ahí. Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Factor por Agrupación Reordenando Términos
En ocasiones después de completar el Paso 2. , los binomios no son idénticos (por más de un signo negativo). En este punto debemos volver al problema original y reorganizar los términos para que cuando factorizamos por agrupación, obtengamos binomios idénticos en el Paso 2.
Factor:\(4a^2 − 21b^3 + 6ab − 14ab^2\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}4a^2-21b^3+6ab-14ab^2&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (4a^2-21b^3)+(6ab-14ab^2)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(4a^2-21b^3)+(6ab-14ab^2)&\text{Factor }2ab\text{ from the second group} \\ (4a^2-21b^3)+2a(3b-7b^2)&\text{Binomials are NOT identical}\end{array}\nonumber\] Dado que estos binomios no son idénticos, volvemos a la expresión original y reordenamos los términos. Intentemos\(6ab\) trasladarnos al primer grupo y\(−21b^3\) al segundo grupo.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}4a^2+6ab-21b^3-14ab^2&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (4a^2+6ab)+(-21b^3-14ab^2) \end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(4a^2+6ab)+(-21b^3-14ab^2)&\text{Factor }2a\text{ from the first group and }-7b^2 \\ &\text{from the second group} \\ 2a(2a+3b)-7b^2(3b+2a)&\text{Rewrite so the binomials are identical} \\ 2a(2a+3b)-7b^2(2a+3b)&\text{Binomials are identical}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}2a\color{blue}{(2a+3b)}\color{black}{}-7b^2\color{blue}{(2a+3b)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2a+3b) \\ \color{blue}{(2a+3b)}\color{black}{}(2a-7b^2)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Factor:\(8xy-12y+15-10x\)
Solución
Observe que tenemos\(4\) términos ninguno de los cuales comparte un factor común. Por lo tanto, utilizamos factor por agrupación.
Paso 1. Agrupar dos conjuntos de dos términos:\[\begin{array}{rl}8xy-12y+15-10x&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (8xy-12y)+(15-10x)\end{array}\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el GCF de cada grupo:\[\begin{array}{rl}(8xy-12y)+(15-10x)&\text{Factor }4y\text{ from the first group and }5 \\ &\text{from the second group} \\ 4y(2x-3)+5(3-2x)&\text{Binomials are NOT identical, but VERY close}\end{array}\nonumber\] Como estos binomios no son idénticos sino cercanos a él, podemos pensarlo un poco más. Estos binomios serían idénticos si solo se cambiaran el\(3\) y\(−2x\) en el segundo binomio. Vamos a factorizar un\(−1\) fuera del segundo binomio:\[\begin{array}{rl}4y(2x-3)+5(3-2x)&\text{Factor a }-1\text{ from the second binomial} \\ 4y(2x-3)+5\cdot\color{blue}{-1}\color{black}{}(-3+2x)&\text{Rewrite so the binomials are identical} \\ 4y(2x-3)-5(2x-3)&\text{Binomials are identical}\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factorizar el GCF a partir de la expresión:\[\begin{array}{rl}4y\color{blue}{(2x-3)}\color{black}{}-5\color{blue}{(2x-3)}&\color{black}{\text{Factor the GCF }}(2x-3) \\ \color{blue}{(2x-3)}\color{black}{}(4y-5)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, podemos verificar la forma factorizada multiplicando los binomios y obteniendo la expresión original.
Si los binomios son\((a−b)\) y\((b−a)\),\(−1\) factorizaremos de uno de los binomios para obtener binomios idénticos.
\[\begin{array}{rl}(b-a)&\text{Factor out }-1 \\ -1(-b+a)&\text{Apply the commutative property to the addition} \\ -1(a-b)&\text{Now the binomial is written as subtraction}\end{array}\nonumber\]
Sofía Kovalevskaya de Rusia fue la primera mujer en el cuerpo editorial de una revista matemática a finales del\(19^{\text{th}}\) siglo. También investigó los anillos giratorios del planeta Saturno.
El factor común más grande y la tarea de agrupación
Factor el mayor factor común.
\(9+8b^2\)
\(45x^2-25\)
\(56-35p\)
\(7ab-35a^2b\)
\(-3a^2b+6a^3b^2\)
\(-5x^2-5x^3-15x^4\)
\(20x^4-30x+30\)
\(28m^4+40m^3+8\)
\(30b^9+5ab-15a^2\)
\(-48a^2b^2-56a^3b-56a^5b\)
\(20x^8y^2z^2+15x^5y^2z+35x^3y^3z\)
\(50x^2y+10y^2+70xz^2\)
\(30qpr − 5qp + 5q\)
\(-18n^5+3n^3-21n+3\)
\(-40x^{11}-20x^{12}+50x^{13}-50x^{14}\)
\(-32mn^8+4m^6n+12mn^4+16mn\)
\(x-5\)
\(1+2n^2\)
\(50x-80y\)
\(27x^2y^5-72x^3y^2\)
\(8x^3y^2+4x^3\)
\(-32n^9+32n^6+40n^5\)
\(21p^6+30p^2+27\)
\(-10x^4+20x^2+12x\)
\(27y^7+12y^2x+9y^2\)
\(30m^6+12mn^2-25\)
\(3p+12q-15q^2r^2\)
\(30y^4z^3x^5+50y^4z^5-10y^4z^3x\)
\(28b+14b^2+35b^3+7b^5\)
\(30a^8+6a^5+27a^3+21a^2\)
\(-24x^6-4x^4+12x^3+4x^2\)
\(-10y^7+6y^{10}-4y^{10}x-8y^8x\)
Factorizar cada uno completamente.
\(40r^3-8r^2-25r+5\)
\(3n^3-2n^2-9n+6\)
\(15b^3+21b^2-35b-49\)
\(3x^3+15x^2+2x+10\)
\(35x^3-28x^2-20x+16\)
\(7xy-49x+5y-35\)
\(32xy+40x^2+12y+15x\)
\(16xy-56x+2y-7\)
\(2xy-8x^2+7y^3-28y^2x\)
\(40xy+35x-8y^2-7y\)
\(32uv − 20u + 24v − 15\)
\(10xy + 30 + 25x + 12y\)
\(3uv+14u-6u^2-7v\)
\(16xy-3x-6x^2+8y\)
\(35x^3-10x^2-56x+16\)
\(14v^3+10v^2-7v-5\)
\(6x^3-48x^2+5x-40\)
\(28p^3+21p^2+20p+15\)
\(7n^3+21n^2-5n-15\)
\(42r^3-49r^2+18r-21\)
\(15ab-6a+5b^3-2b^2\)
\(3mn − 8m + 15n − 40\)
\(5mn + 2m − 25n − 10\)
\(8xy + 56x − y − 7\)
\(4uv+14u^2+12v+42u\)
\(24xy+25y^2-20x-30y^3\)
\(56ab + 14 − 49a − 16b\)