7.2: Factorización de trinomios de la forma x² + bx + c
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Factorizar con tres términos, o trinomios, es la técnica más importante, especialmente en álgebra adicional. Dado que el factoraje es producto de factores, primero analizamos la multiplicación para desarrollar el proceso de factorización de trinomios.
Factorización de Trinomios de la Forma\(x^2+bx+c\)
Si nos multiplicamos\((x + p)(x + q)\), obtendríamos
\[\begin{array}{c}x^2+px+qx+pq \\ x^2+(p+q)x+pq\end{array}\nonumber\]
Observe que los dos factores del último coeficiente deben sumar para ser el coeficiente medio, es decir,
\[p\cdot q=c\text{ and }p+q=b\nonumber\]
De ahí que si podemos encontrar dos números cuya suma es\(b\) y que se multipliquen a\(c\), entonces podemos dividir el término medio y factorizar por agrupación.
Paso 1. Encuentra dos números,\(p\) y\(q\), cuya suma es\(b\) y producto es\(c\).
Paso 2. Reescribir la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(p\) y\(q\).
Paso 3. Factor por agrupación.
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto.
Factor:\(x^2+9x+18\)
Solución
Primero identificamos\(b = 9\) y\(c = 18\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(18\) eso sumar\(9\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(9\) y producto es\(18\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,9\) | \(18\) | \(11\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(3,6\) | \(18\) | \(9\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,18\) | \(18\) | \(19\) |
Podemos ver en la tabla que\(3\) y\(6\) son los dos números cuyo producto es\(18\) y la suma es\(9\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(3x\) y\(6x\):\[\begin{array}{c}x^2+9x+18 \\ x^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }9x}{\underbrace{+3x+6x}}}\color{black}{}+18\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}x^2+6x+3x+18&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (x^2+3x)+(6x+18)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }6 \\ &\text{from the second group} \\ x(x+3)+6(x+3)&\text{Factor the GCF }(x+3) \\ (x+3)(x+6)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(x+3)(x+6)&\text{FOIL} \\ x^2+6x+3x+18&\text{Combine like terms} \\ x^2+9x+18&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((x+3)(x+6)\).
Factor:\(x^2 − 4x + 3\)
Solución
Primero identificamos\(b = −4\) y\(c = 3\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(3\) eso sumar\(−4\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(−4\) y producto es\(3\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,3\) | \(3\) | \(4\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,-3\) | \(3\) | \(-4\) |
Podemos ver en la tabla que\(−1\) y\(−3\) son los dos números cuyo producto es\(3\) y la suma es\(−4\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(−1x\) y\(−3x\):\[\begin{array}{c}x^2-4x+3 \\ x^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }-4x}{\underbrace{-1x-3x}}}\color{black}{}+3\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}x^2-1x-3x+3&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (x^2-1x)+(-3x+3)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }-3 \\ &\text{from the second group} \\ x(x-1)-3(x-1)&\text{Factor the GCF }(x-1) \\ (x-1)(x-3)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(x-1)(x-3)&\text{FOIL} \\ x^2-1x-3x+3&\text{Combine like terms} \\ x^2-4x+3&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((x-1)(x+3)\).
Factor:\(x^2 − 8x − 20\)
Solución
Primero identificamos\(b = −8\) y\(c = −20\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(−20\) eso sumar\(−8\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(−8\) y producto es\(−20\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-4,5\) | \(-20\) | \(1\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(4,-5\) | \(-10\) | \(-1\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-2,10\) | \(-20\) | \(8\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,-10\) | \(-20\) | \(-8\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,-20\) | \(-20\) | \(-19\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,20\) | \(-20\) | \(19\) |
Podemos ver en la tabla que\(2\) y\(−10\) son los dos números cuyo producto es\(−20\) y la suma es\(−8\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(2x\) y\(−10x\):\[\begin{array}{c}x^2-8x-20 \\ x^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }-8x}{\underbrace{+2x-10x}}}\color{black}{}-20\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}x^2+2x-10x-20&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (x^2+2x)+(-10x-20)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }-10 \\ &\text{from the second group} \\ x(x+2)-10(x+2)&\text{Factor the GCF }(x+2) \\ (x+2)(x-10)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(x+2)(x-10)&\text{FOIL} \\ x^2+2x-10x-20&\text{Combine like terms} \\ x^2-8x-20&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((x+2)(x+10)\).
Factor:\(a^2-9ab+14b^2\)
Solución
Primero identificamos\(b = −9\) y\(c = 14\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(14\) eso sumar\(−9\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(−9\) y producto es\(14\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,7\) | \(14\) | \(9\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-2,-7\) | \(14\) | \(-9\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,-14\) | \(14\) | \(-15\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,14\) | \(14\) | \(15\) |
Podemos ver en la tabla que\(−2\) y\(−7\) son los dos números cuyo producto es\(14\) y la suma es\(−9\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(−2ab\) y\(−7ab\):\[\begin{array}{c}a^2-9ab+14b^2 \\ a^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }-9ab}{\underbrace{-2ab-7ab}}}\color{black}{}+14b^2\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}a^2-2ab-7ab+14b^2&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (a^2-2ab)+(-7ab+14b^2)&\text{Factor }a\text{ from the first group and }-7b \\ &\text{from the second group} \\ a(a-2b)-7b(a-2b)&\text{Factor the GCF }(a-2b) \\ (a-2b)(a-7b)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(a-2b)(a-7b)&\text{FOIL} \\ a^2-2ab-7ab+14b^2&\text{Combine like terms} \\ a^2-9ab+14b^2&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((a-2b)(a-7b)\).
Hay un atajo para factorizar expresiones del tipo\(x^2 +bx+c\). Una vez que identificamos los dos números\(q\),\(p\) y, cuyo producto es\(c\) y suma es\(b\), podemos ver que estos dos números son los números en la forma factorizada, es decir,\((x + p)(x + q)\). Podemos usar este atajo sólo cuando el coeficiente de\(x^2\) es\(1\). (Se discute cuando el coeficiente es un número distinto al\(1\) de la siguiente sección.)
Factor:\(x^2-7x-18\)
Solución
Primero identificamos\(b = −7\) y\(c = −18\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(−18\) eso sumar\(−7\)?”
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-2,9\) | \(-18\) | \(7\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,-9\) | \(-18\) | \(-7\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,18\) | \(-18\) | \(17\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,-18\) | \(-18\) | \(-17\) |
Podemos ver en la tabla que\(2\) y\(−9\) son los dos números cuyo producto es\(−18\) y la suma es\(−7\). Usamos estos dos números para reescribir la expresión en forma factorizada:
\[\begin{array}{c}x^2-7x-18 \\ (x\color{blue}{+2}\color{black}{})(x\color{blue}{-9}\color{black}{})\end{array}\nonumber\]
Siempre podemos verificar la forma factorizada multiplicando y obteniendo la expresión original.
Factor:\(m^2-mn-30n^2\)
Solución
Primero identificamos\(b = −1\) y\(c = −30\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(−30\) eso sumar\(−1\)?”
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-2,15\) | \(-30\) | \(13\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,-15\) | \(-30\) | \(-13\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(5,-6\) | \(-30\) | \(-1\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-5,6\) | \(-30\) | \(1\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,-30\) | \(-30\) | \(-29\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,30\) | \(-30\) | \(29\) |
Podemos ver en la tabla que\(5\) y\(−6\) son los dos números cuyo producto es\(−30\) y la suma es\(−1\). Usamos estos dos números para reescribir la expresión en forma factorizada:
\[\begin{array}{c}m^2-mn-30n^2 \\ (m\color{blue}{+5n}\color{black}{})(m\color{blue}{-6n}\color{black}{})\end{array}\nonumber\]
Siempre podemos verificar la forma factorizada multiplicando y obteniendo la expresión original.
Factor:\(x^2+2x+6\)
Solución
Primero identificamos\(b = 2\) y\(c = 6\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(6\) eso sumar\(2\)?”
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,3\) | \(6\) | \(5\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-2,-3\) | \(6\) | \(-5\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,6\) | \(6\) | \(7\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-1,-6\) | \(6\) | \(-7\) |
Podemos ver en la tabla que no hay ningún factor de\(6\) cuya suma sea\(2\). Solo obtenemos sumas con\(5\) y\(7\)'s En este caso, llamamos a este trinomio no factoriable, o mejor aún, el trinomio es primo.
Si un trinomio (o polinomio) no es factorizable, entonces decimos nosotros el trinomio es primo.
Factorización de Trinomios de la Forma\(x^2+bx+c\) con un Factor Común Mayor
Factorizar el GCF es siempre el primer paso en la factorización de expresiones. Si todos los términos tienen un factor común, nosotros, primero, factorizamos el GCF y luego factorizamos como de costumbre.
Factor:\(3x^2-24x+45\)
Solución
Observe que los tres términos tienen un factor común de\(3\). Factorizamos\(3\) primero, luego factorizamos como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}3x^2-24x+45&\text{Factor the GCF} \\ \color{blue}{3}\color{black}{}(x^2-8x+15)\end{array}\nonumber\]
A continuación, sólo nos concentramos en la expresión entre paréntesis. ¿Qué dos números se multiplican a\(15\) esa suma\(−8\)?
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(3,5\) | \(15\) | \(8\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-3,-5\) | \(15\) | \(-8\) |
Podemos ver en la tabla que\(−3\) y\(−5\) son los dos números cuyo producto es\(15\) y la suma es\(−8\). Usamos estos dos números para reescribir la expresión en forma factorizada:
\[\begin{array}{c}3x^2-24x+4 \\ 3(x\color{blue}{-3}\color{black}{})(x\color{blue}{-5}\color{black}{})\end{array}\nonumber\]
Siempre podemos verificar la forma factorizada multiplicando y obteniendo la expresión original.
Los estudiantes tienden a olvidarse de escribir el GCF en la respuesta final. Asegúrese de incluir siempre el GCF en la forma factorizada final.
Además, para factorizar completamente, se requiere que el GCF sea factorizado fuera de la expresión. Si no, entonces la expresión no se factoriza por completo.
La primera persona en usar letras para valores desconocidos fue Francois Vieta en 1591 en Francia. Utilizó vocales para representar variables para resolver, así como los códigos usaban letras para representar un mensaje desconocido.
Factorización de Trinomios de la Forma\(x^2+bx+c\) Tareas
Factor completamente.
\(p^2+17p+72\)
\(n^2-9n+8\)
\(x^2-9x-10\)
\(b^2+12b+32\)
\(x^2+3x-70\)
\(n^2-8n+15\)
\(p^2+15p+54\)
\(n^2-15n+56\)
\(u^2-8uv+15v^2\)
\(m^2+2mn-8n^2\)
\(x^2-11xy+18y^2\)
\(x^2+xy-12y^2\)
\(x^2+4xy-12y^2\)
\(5a^2+60a+100\)
\(6a^2+24a-192\)
\(6x^2+18xy+12y^2\)
\(6x^2+96xy+378y^2\)
\(x^2+x-72\)
\(x^2+x-30\)
\(x^2+13x+40\)
\(b^2-17b+70\)
\(x^2+3x-18\)
\(a^2-6a-27\)
\(p^2+7p-30\)
\(m^2-15mn+50n^2\)
\(m^2-3mn-40n^2\)
\(x^2+10xy+16y^2\)
\(u^2-9uv+14v^2\)
\(x^2+14xy+45y^2\)
\(4x^2+52x+168\)
\(5n^2-45n+40\)
\(5v^2+20v-25\)
\(5m^2+30mn-90n^2\)
\(6m^2-36mn-162n^2\)