7.3: Factorización de trinomios de la forma ax² + bx + c
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El filósofo francés René Descartes utilizó por primera vez letras desde el principio del alfabeto para representar valores conocidos,\(a,\: b,\: c,\) y letras desde el final para representar valores desconocidos,\(x,\: y,\: z\).
Un ejemplo sencillo de un trinomio de la forma\(ax^2 + bx + c\), donde\(a\neq 1\), es\(3x^2 + 11x + 6\). Recordemos, que este trinomio fue producto de dos binomios y aplicamos el método FOIL para obtener el resultado. Echemos un vistazo a los factores binomiales:
\[(3x+2)(x+3)=\color{blue}{\underset{\text{F}}{\underbrace{3x^2}}}\color{black}{}+\color{blue}{\underset{\text{O}}{\underbrace{9x}}}\color{black}{}+\color{blue}{\underset{\text{I}}{\underbrace{2x}}}\color{black}{}+\color{blue}{\underset{\text{L}}{\underbrace{6}}}\color{black}{}=3x^2+11x+6\nonumber\]
En esta sección, invertimos el método FOIL y factor por agrupación, o utilizamos el método de prueba y error.
Factorización de Trinomios de la Forma ax² + bx + c Usando Agrupación
ax² + bx + c
Paso 1. Encuentra dos números,\(p\) y\(q\), cuya suma es\(b\) y producto es\(a\cdot c\).
Paso 2. Reescribir la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(p\) y\(q\).
Paso 3. Factor por agrupación.
Paso 4. Verifica la forma factorizada encontrando el producto.
Factor:\(3x^2+11x+6\)
Solución
Primero identificamos\(a = 3,\: b = 11\) y\(c = 6\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(3\cdot 6\) eso sumar\(11\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(11\) y producto es\(18\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(2,9\) | \(18\) | \(11\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(3,6\) | \(18\) | \(9\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(1,18\) | \(18\) | \(19\) |
Podemos ver en la tabla que\(2\) y\(9\) son los dos números cuyo producto es\(18\) y la suma es\(11\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(2x\) y\(9x\):\[\begin{array}{c}3x^2+11x+6 \\ 3x^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }11x}{\underbrace{+2x+9x}}}\color{black}{}+6\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}3x^2+2x+9x+6&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (3x^2+2x)+(9x+6)&\text{Factor }x\text{ from the first group and }3 \\ &\text{from the second group} \\ x(3x+2)+3(3x+2)&\text{Factor the GCF }(3x+2) \\ (3x+2)(x+3)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(3x+2)(x+3)&\text{FOIL} \\ 3x^2+2x+9x+6&\text{Combine like terms} \\ 3x^2+11x+6&\checkmark\text{Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((3x+2)(x+3)\).
Factor:\(8x^2-2x-15\)
Solución
Primero identificamos\(a = 8\),\(b = −2\) y\(c = −15\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(8\cdot −15\) eso sumar\(−2\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(−2\) y producto es\(−120\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-8,15\) | \(-120\) | \(7\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(8,-15\) | \(-120\) | \(-7\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(-10,12\) | \(-120\) | \(2\) |
| \ (p\) y\(q\) "alcance="fila"> \(10,-12\) | \(-120\) | \(-2\) |
Podemos ver en la tabla que\(10\) y\(−12\) son los dos números cuyo producto es\(−120\) y la suma es\(−2\). Usamos estos dos números en el Paso 2.
Paso 2. Reescribe la expresión para que el término medio se divida en dos términos,\(10x\) y\(−12x\):\[\begin{array}{c}8x^2-2x-15 \\ 8x^2\color{blue}{\underset{\text{sum is }-2x}{\underbrace{+10x-12x}}}\color{black}{}-15\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Factor por agrupación. \[\begin{array}{rl}8x^2+10x-12x-15&\text{Group the first two terms and the last two terms} \\ (8x^2+10x)+(-12x-15)&\text{Factor }2x\text{ from the first group and }-3 \\ &\text{from the second group} \\ 2x(4x+5)-3(4x+5)&\text{Factor the GCF }(4x+5) \\ (4x+5)(2x-3)&\text{Factored form}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verifique el formulario factorizado encontrando el producto:\[\begin{array}{rl}(4x+5)(2x-3)&\text{FOIL} \\ 8x^2+10x-12x-15&\text{Combine like terms} \\ 8x^2-2x-15&\checkmark\text{ Original expression}\end{array}\nonumber\]
Así, la forma factorizada es\((4x+5)(2x-3)\).
Al factorizar trinomios de la forma\(ax^2 + bx + c\), no hay atajo como vimos cuando factorizamos trinomios de la forma\(x^2 + bx + c\). No hay forma de evitar esto a pesar de los esfuerzos y deseos de los estudiantes por un atajo. Lo más cerca que nos acercamos a un atajo es factorizar por prueba y error en el que a continuación discutimos.
Ya que\(a\neq 1\), esto hace que el factoring sea más involucrado y nos obliga a factorizar por agrupación, a veces llamado método ac, o por prueba y error.
Factorización de Trinomios de la Forma\(ax^2+bx+c\) Usando Prueba y Error
Factor:\(10x^2-27x+5\)
Solución
Factorizar por prueba y error es solo eso: prueba y error. Recordar, FOIL: primero, exterior, interior, último. Sabemos que el primer producto es\(10x^2\) y el último es el producto\(5\). Vamos a probar diferentes combinaciones y FOIL cada combinación para obtener la expresión original. Esto a veces funciona más rápido que el\(ac\) método y a veces no. De ahí, prueba y error.
| binomios | FOIL | ¿Sí o no? |
|---|---|---|
| \((5x+5)(2x+1)\) | \(10x^2+15x+5\) | NO |
| \((2x+5)(5x+1)\) | \(10x^2+27x+5\) | NO |
| \((2x+5)(5x-1)\) | \(10x^2+23x-5\) | NO |
| \((2x-5)(5x-1)\) | \(10x^2-27x+5\) | SI |
Una vez que obtengamos la expresión original podemos dejar de tomar combinaciones. Hemos encontrado la forma factorizada de la expresión original:
\[(2x-5)(5x-1)\nonumber\]
Podemos ver que este método puede no ser el más eficiente en el tiempo a menos que, por supuesto, tengamos suerte y obtengamos la combinación correcta rápidamente.
Para factorizar trinomios de la forma\(x^2 + bx + c\), aquí hay algunos consejos útiles al factorizar por trialand-error:
- Siempre mire primero los\(c\) términos\(x^2\) y y determine los factores de estos términos.
- Según los signos trinomiales de los términos, los factores binomiales toman estos signos:
| trinomios | binomios | signos en factores binomiales |
|---|---|---|
| \(x^2+mx+n\) | \((x+p)(x+q)\) | todo positivo |
| \(x^2-mx+n\) | \((x-p)(x-q)\) | todos negativos |
| \(x^2-mx-n\) | \((x-p)(x+q)\) | uno positivo, uno negativo |
| \(x^2+mx-n\) | \((x-p)(x+q)\) | uno positivo, uno negativo |
Ahora, para los dos últimos casos, los binomios con resta y suma deben ser determinados por el alumno al frustrar cada combinación. También tenga en cuenta,\(m,\: n,\: p,\: q\) son todos los coeficientes y números, respectivamente. En general, podemos usar estos patrones de los signos en factores binomiales para cualquier expresión de forma trinomial.
Factor:\(4x^2-xy-5y^2\)
Solución
Sabemos que el primer producto es\(4x^2\) y el último es el producto\(−5y^2\). Vamos a probar diferentes combinaciones y FOIL cada combinación para obtener la expresión original. Dado que los signos de los dos últimos términos son negativos, esto significa que tenemos caso\(3\) desde arriba y los factores binomiales tendrán signos alternos.
| binomios | FOIL | ¿Sí o no? |
|---|---|---|
| \((2x+5y)(2x-y)\) | \(4x^2+8xy-5y^2\) | NO |
| \((2x-5y)(2x+y)\) | \(4x^2-8xy-5y^2\) | NO |
| \((4x+5y)(x-y)\) | \(4x^2+xy-5y^2\) | NO |
| \((4x-5y)(x+y)\) | \(4x^2-xy-5y^2\) | SI |
Una vez que obtengamos la expresión original podemos dejar de tomar combinaciones. Hemos encontrado la forma factorizada de la expresión original:
\[(4x-5y)(x+y)\nonumber\]
Factorización de Trinomios de la Forma\(ax^2+bx+c\) con un Factor Común Mayor
Como siempre, al factorizar, primero buscaremos un GCF, luego factorizar como de costumbre.
Factor:\(-18x^3-33x^2+30x\)
Solución
Observe que los tres términos tienen un factor común de\(−3x\). \(−3x\)Primero factorizamos, luego factorizamos como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}-18x^3-33x^2+30x&\text{Factor the GCF} \\ \color{blue}{-3x}\color{black}{}(6x^2+11x-10)\end{array}\nonumber\]
A continuación, sólo nos concentramos en la expresión entre paréntesis. Vamos a factificar por prueba y error. Sabemos que el primer producto es\(6x^2\) y el último es el producto\(−10\). Vamos a probar diferentes combinaciones y FOIL cada combinación para obtener la expresión original. Dado que los signos de los dos últimos términos son positivos y negativos, respectivamente, esto significa que tenemos caso\(4\) desde arriba y los factores binomiales tendrán signos alternos.
| binomios | FOIL | ¿Sí o no? |
|---|---|---|
| \((2x+5)(3x-2)\) | \(4x^2+11x-10\) | NO |
| \((2x-5)(3x+2)\) | \(4x^2-11x-10\) | SI |
Una vez que obtengamos la expresión original podemos dejar de tomar combinaciones. Hemos encontrado la forma factorizada de la expresión original:
\[-3x(2x-5)(3x+2)\nonumber\]
Recordemos, incluimos el GCF en la respuesta final o bien el trinomio no se factoriza completamente. Tenga en cuenta que si el\(ax^2\) término es negativo, entonces siempre factorizamos un negativo porque el factoring se vuelve menos desafiante cuando el término principal es positivo.
Nota
En general, cuando se le da un trinomio donde el coeficiente principal es negativo, como en el Ejemplo 7.3.5 , tratamos el coeficiente principal como un GCF y lo factorizamos antes de factorizar el trinomio, es decir, si\(a < 0\), entonces factorizamos la salida negativa antes de factorizar agrupando o prueba y error.
Ejemplo 7.3.6
Factor:\(3x^2+2x-7\)
Solución
Intentemos factorizar por el\(ac\) método. Primero identificamos\(a = 3,\: b = 2\) y\(c = −7\). Nos preguntamos: “¿Qué dos números se multiplican a\(3\cdot −7\) eso sumar\(2\)?”
Paso 1. Encuentra dos números cuya suma es\(2\) y producto es\(−21\):
| \(p\)y\(q\) | Producto | Suma |
|---|---|---|
| \ (p\) y\(q\) “>\(-3,7\) | \(-21\) | \(4\) |
| \ (p\) y\(q\) “>\(3,-7\) | \(-21\) | \(-4\) |
| \ (p\) y\(q\) “>\(-1,21\) | \(-21\) | \(20\) |
| \ (p\) y\(q\) “>\(1,-21\) | \(-21\) | \(-20\) |
Podemos ver en la tabla que no hay ningún factor de\(−21\) cuya suma sea\(2\). Sólo obtenemos sumas con\(4\) y\(20\)'s. En este caso, llamamos a este trinomio primo.
Factorización de Trinomios Usando Sustitución
Aunque estamos acostumbrados a factorizar expresiones de la forma\(ax^2 +bx+c\), podemos aplicar estas mismas estrategias de factorización a otros trinomios de la misma forma donde
\[a(\text{base})^2+b(\text{base})+c\nonumber\]
Ejemplo 7.3.7
Por ejemplo, factor\(2(y+1)^2+3(y+1)-35\).
Solución
Podemos ver que la base\((y + 1)\) es cuadrada, luego a la primera potencia en el término lineal. Vamos a permitir\(\color{blue}{u}\color{black}{} = y + 1\) y reescribir la expresión en términos de\(u\):\(\underset{\color{blue}{u}}{\underbrace{2(y+1)^2}}\color{black}{}+\underset{\color{blue}{u}}{\underbrace{3(y+1)}}\color{black}{}-35\)
\[2\color{blue}{u}\color{black}{}^2+3\color{blue}{u}\color{black}{}-35\nonumber\]
Vamos a factorizar la expresión en términos de\(u\). Después sustituya\(u = y + 1\) de nuevo al final.
\[\begin{array}{rl}2u^2+3u-35&\text{Factor using trial-and-error} \\ (2u-\quad )(u+\quad )&\text{Using the last case in trial-and-error,} \\ &\text{we know the signs will be }-,+ \\ (2u-7)(u+5)&\text{Two factors whose product is }-35 \\ &\text{are }-7,5\end{array}\nonumber\]
Comprobación con FOIL:
\[\begin{array}{c}2u^2+10u-7u-35 \\ 2u^2+3u-35\:\checkmark\end{array}\nonumber\]
Recordemos,\((2u − 7)(u + 5)\) es la forma factorizada de la expresión\(2u^2 + 3u − 35\), no la expresión original,\(2(y + 1)^2 + 3(y + 1) − 35\). Usamos la sustitución u para escribir la expresión original en términos de\(u\) lo que podríamos factorizar fácilmente. Por último, debemos volver a sustituirnos\(\color{blue}{u}\color{black}{} = y + 1\) en la expresión factorizada\((2\color{blue}{u}\color{black}{} − 7)(\color{blue}{u}\color{black}{} + 5)\) y simplificar:
\[\begin{array}{c}\left(2\color{blue}{(y+1)}\color{black}{}-7\right) (\color{blue}{(y+1)}\color{black}{}+5) \\ (2y+2-7)(y+1+5)\end{array}\nonumber\]
Simplificando cada factor, obtenemos la expresión factorizada final en términos de la variable original\(y\) para ser
\[(2y-5)(y+6)\nonumber\]
Factorización de expresiones de la forma\(a(\text{base})^2+b(\text{base})+c\)
Cuando se le da una expresión polinómica de la forma\(a(\text{base})^2 + b(\text{base}) + c\), podemos usar las mismas estrategias de factorización para factorizar estas expresiones mediante el uso de la sustitución u, donde\[u=\text{base}\nonumber\]
Nota
Al usar la sustitución u, asegúrese de sustituir de nuevo en la base original en la expresión factorizada para que la expresión factorizada final contenga la variable original.
Ejemplo 7.3.8
Factor:\(z^{2/3}+2z^{1/3}-80\)
Solución
Podemos ver que la base es\(z\). Además, podemos reescribir el primer término como\(\left(z^{1/3}\right)^{2}\), y el segundo término como\(\left(z^{1/3}\right)^{1}=z^{1/3}\). Vamos a permitir\(\color{blue}{u}\color{black}{}=z^{1/3}\) y reescribir la expresión en términos de\(u\):
\[\begin{array}{c}\underset{\color{blue}{u}}{\underbrace{\left(z^{1/3}\right)^2}}\color{black}{}+\underset{\color{blue}{u}}{\underbrace{2z^{1/3}}}\color{black}{}-80 \\ \color{blue}{u}\color{black}{}^2+2\color{blue}{u}\color{black}{}-80\end{array}\nonumber\]
Vamos a factorizar la expresión en términos de\(u\). Después sustituya\(u = z^{1/3}\) de nuevo al final.
\[\begin{array}{rl}u^2+2u-80&\text{Factor using trial-and-error} \\ (u-\quad )(u+\quad )&\text{Using the last case in trial-and-error} \\ &\text{we know the signs will be }-,+ \\ (u-8)(u+10)&\text{Two factors whose product is }-80 \\ &\text{are }-8,10\end{array}\nonumber\]
Comprobación con FOIL:
\[\begin{array}{c}u^2+10u-8u-80 \\ u^2+2u-80\:\checkmark\end{array}\nonumber\]
Recordemos,\((u − 8)(u + 10)\) es la forma factorizada de la expresión\(u^2 + 2u − 80\), no la expresión original,\(z^{2/3} + 2z^{1/3} − 80\). Por último, debemos volver a sustituirnos\(\color{blue}{u}\color{black}{} = z^{1/3}\) en la expresión factorizada\((\color{blue}{u}\color{black}{} − 8)(\color{blue}{u}\color{black}{} + 10)\) y simplificar:
\[\left(\color{blue}{z^{1/3}}\color{black}{}-8\right)\left(\color{blue}{z^{1/3}}\color{black}{}+10\right)\nonumber\]
Simplificando cada factor, obtenemos la expresión factorizada final en términos de la variable original\(z\) para ser
\[\left(z^{1/3}-8\right) \left(z^{1/3}+10\right)\nonumber\]
Factorización de Trinomios de la Forma de\(ax^2+bx+c\) Tareas
¿Cuáles son los valores posibles de\(p\) dado el trinomio\(ax^2+bx+c\)?
Ejercicio 7.3.1
\((2x+p)(x+3)\)dado\(2x^2+7x+3\)
Ejercicio 7.3.2
\((3x+p)(5x+2)\)dado\(15x^2-14x-8\)
Ejercicio 7.3.3
\((x+p)(4x-3)\)dado\(4x^2+x-3\)
Ejercicio 7.3.4
\((7x+p)(x-4)\)dado\(7x^2-30x+8\)
Factorar completamente por agrupación.
Ejercicio 7.3.5
\(7x^2-48x+36\)
Ejercicio 7.3.6
\(7b^2+15b+2\)
Ejercicio 7.3.7
\(5a^2-13a-28\)
Ejercicio 7.3.8
\(2x^2-5x+2\)
Ejercicio 7.3.9
\(2x^2+19x+35\)
Ejercicio 7.3.10
\(2b^2-b-3\)
Ejercicio 7.3.11
\(5k^2+13k+6\)
Ejercicio 7.3.12
\(3x^2-17x+20\)
Ejercicio 7.3.13
\(3x^2+17xy+10y^2\)
Ejercicio 7.3.14
\(5x^2+28xy-49y^2\)
Ejercicio 7.3.15
\(6x^2-39x-21\)
Ejercicio 7.3.16
\(21k^2-87k-90\)
Ejercicio 7.3.17
\(14x^2-60x+16\)
Ejercicio 7.3.18
\(6x^2+29x+20\)
Ejercicio 7.3.19
\(4k^2-17k+4\)
Ejercicio 7.3.20
\(4x^2+9xy+2y^2\)
Factorizar completamente por prueba y error.
Ejercicio 7.3.21
\(4m^2-9mn-9n^2\)
Ejercicio 7.3.22
\(4x^2+13xy+3y^2\)
Ejercicio 7.3.23
\(12x^2+62xy+70y^2\)
Ejercicio 7.3.24
\(24x^2-52xy+8y^2\)
Ejercicio 7.3.25
\(7n^2-44n+12\)
Ejercicio 7.3.26
\(7v^2-24v-16\)
Ejercicio 7.3.27
\(5n^2-4n-20\)
Ejercicio 7.3.28
\(3r^2-4r-4\)
Ejercicio 7.3.29
\(7x^2+29x-30\)
Ejercicio 7.3.30
\(5k^2-26k+24\)
Ejercicio 7.3.31
\(3r^2+16r+21\)
Ejercicio 7.3.32
\(3u^2+13uv-10v^2\)
Ejercicio 7.3.33
\(7x^2-2xy-5y^2\)
Ejercicio 7.3.34
\(5u^2+31uv-28v^2\)
Ejercicio 7.3.35
\(10a^2-54a-36\)
Ejercicio 7.3.36
\(21n^2+45n-54\)
Factor completamente.
Ejercicio 7.3.37
\(4r^2+r-3\)
Ejercicio 7.3.38
\(6p^2+11p-7\)
Ejercicio 7.3.39
\(4r^2+3r-7\)
Ejercicio 7.3.40
\(4m^2+6mn+6n^2\)
Ejercicio 7.3.41
\(4x^2-6xy+30y^2\)
Ejercicio 7.3.42
\(18u^2-3uv-36v^2\)
Ejercicio 7.3.43
\(16x^2+60xy+36y^2\)
Ejercicio 7.3.44
\(12x^2+50xy+28y^2\)
Factorizar completamente mediante el uso de sustitución.
Ejercicio 7.3.45
\((x-2y)^2+7(x-2y)-18\)
Ejercicio 7.3.46
\(3(a-b)^2-(a-b)-44\)
Ejercicio 7.3.47
\((5a-3b)^2+8(5a-3b)+16\)
Ejercicio 7.3.48
\((x-4y)^2-10(x-4y)+25\)
Ejercicio 7.3.49
\((3r-4)^2-4(3r-4)-12\)
Ejercicio 7.3.50
\((7m-1)^2+12(7m-1)-45\)
Ejercicio 7.3.51
\(w^{2/5}-2w^{1/5}-80\)
Ejercicio 7.3.52
\(x-5x^{1/2}-50\)
Ejercicio 7.3.53
\(x^{2/3}+8x^{1/3}-20\)
Ejercicio 7.3.54
\(x^{6/7}-10x^{3/7}+21\)