7.7: Resolver aplicaciones por factorización
- Page ID
- 117453
Hay dos tipos de aplicaciones que discutiremos en esta sección. Hay muchos más tipos de problemas que podemos modelar mediante una ecuación trinomial, pero por ahora solo discutiremos problemas de enteros y rectángulos. Hay más por venir en un capítulo posterior.
Problemas de enteros
El producto de dos números enteros positivos es\(48\) y la suma de los mismos dos números es\(14\). Encuentra los números.
Solución
Primero, recordamos el método de sustitución en sistema de ecuación en dos variables. Recordemos, resolvimos para una variable en una ecuación, luego sustituimos la expresión en la segunda ecuación. Aplicamos este método para problemas enteros. Vamos a configurar el sistema. Dejar\(x\) y\(y\) ser los dos enteros positivos:
\[\begin{aligned}xy&=48 \\ x+y&=14\end{aligned}\]
Tomando la segunda ecuación y reescribiéndola como\(y = 14−x\), sustituimos\(y\) en la primera ecuación:
\[\begin{aligned}x\color{blue}{y}\color{black}{}&=48 \\ x\color{blue}{(14-x)}\color{black}{}&=48\end{aligned}\]
Ahora, podemos resolver.
\[\begin{array}{rl}x\color{blue}{(14-x)}\color{black}{}=48&\text{Distribute} \\ 14x-x^2=48&\text{Rewrite with zero on the right side} \\ -x^2+14x-48=0&\text{Multiply each term by }-1 \\ x^2-14x+48=0&\text{Factor} \\ (x-6)(x-8)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ x-6=0\quad\text{or}\quad x-8=0&\text{Solve} \\ x=6\quad\text{or}\quad x=8&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Dado que ambas soluciones son positivas, entonces los números son\(6\) y\(8\).
A William Horner, matemático británico de finales del\(18^{\text{th}}\) siglo/ principios\(19^{\text{th}}\) del siglo, se le atribuye un método para resolver ecuaciones simultáneas. Sin embargo, el matemático chino Chu Shih-chieh en 1303 resolvió estas ecuaciones con exponentes tan altos como\(14\).
Rectángulos usando el área
La longitud de un rectángulo es\(3\) más pulgadas que el ancho. Si el área es de pulgadas\(40\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones?
Solución
Primero, debemos recordar la fórmula para el área de un rectángulo:
\[A=\ell\cdot w\nonumber\]
Utilizamos esta fórmula para modelar una ecuación trinomial. Sabemos que la longitud del rectángulo es\(3\) más pulgadas que el ancho:
\[\ell =3+w\nonumber\]
A continuación, se nos da que el área de este rectángulo es pulgadas\(40\) cuadradas:\(A = 40\). Vamos a modelar esta información en una ecuación trinomial:
\[\begin{array}{rl}A=\ell\cdot w&\text{Replace }\ell\text{ with }3+w\text{ and }A=40 \\ 40=(3+w)\cdot w&\text{Distribute} \\ 40=3w+w^2&\text{Rewrite with zero on the right} \\ -w^2-3w+40=0&\text{Multiply each term by }-1\\ w^2+3w-40=0\end{array}\nonumber\]
A continuación, resolvemos la ecuación factorizando:
\[\begin{array}{rl}w^2+3w-40=0&\text{Factor} \\ (w-5)(w+8)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ w-5=0\quad\text{or}\quad w+8=0&\text{Solve} \\ w=5\quad\text{or}\quad w=-8&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Como tenemos un rectángulo y estamos encontrando el largo y ancho del rectángulo, entonces omitimos cualquier solución negativa porque el largo y el ancho no pueden ser negativos. De ahí que omitimos\(w = −8\), y obtenemos un ancho de\(5\) pulgadas y un largo de\(8\) pulgadas\((ℓ = 3 + 5)\).
Aplicaciones de factorización con funciones
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en pies, por encima del nivel del mar, en función del tiempo,\(t\), viene dada por\(h(t) = −16t^2 + 144t + 352\). ¿Cuándo choca el cohete contra el suelo después de ser lanzado?
Solución
Un cohete llega al suelo después de ser lanzado cuando no hay distancia entre el cohete y el suelo. De ahí que la altura entre el cohete y el suelo sea\(0\) pies. Tenemos que encontrar\(t\) cuándo\(h(t)=0\).
\[\begin{array}{rl}h(t)=-16t^2+144t+352&\text{Replace }h(t)\text{ with zero} \\ 0=-16t^2+144t+352&\text{Factor the GCF }-16 \\ 0=-16(t^2-9t-22)&\text{Divide each side by }-16 \\ 0=t^2-9t-22&\text{Factor} \\ 0=(t-11)(t+2)&\text{Apply the zero product rule} \\ t-11=0\quad\text{or}\quad t+2=0&\text{Solve} \\ t=11\quad\text{or}\quad t=-2&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Con las aplicaciones, omitimos respuestas que no son razonables y como estamos tratando de obtener el tiempo que tarda el cohete en chocar contra el suelo, debemos omitir la solución\(t = −2\). De esta manera, tardará\(11\) segundos para que el cohete golpee el suelo.
El beneficio de una determinada mercancía\(n\), donde\(n\) está en unidades, viene dada por la función\[P(n)=-25n^2+400n+1425\nonumber\]
En el punto de equilibrio, la ganancia es cero, es decir,\(P(n) = 0\). Encuentra el número de unidades donde se encuentra el punto de equilibrio, es decir, encontrar\(n\) cuándo\(P(n) = 0\).
Solución
El punto de equilibrio es cuando la ganancia es cero, es decir, cuándo\(P(n) = 0\). Tenemos que establecer\(P(n) = 0\) y resolver para\(n\).
\[\begin{array}{rl}P(n)=-25n^2+400n+1425&\text{Replace }P(n)\text{ with zero} \\ 0=-25n^2+400n+1425&\text{Factor the GCF }-25 \\ 0=-25(n^2-16n-57)&\text{Divide each side by }-25 \\ 0=n^2-16n-57&\text{Factor} \\ 0=(n-19)(n+3)&\text{Apply the zero product rule} \\ n-19=0\quad\text{or}\quad n+3=0&\text{Solve} \\ n=19\quad\text{or}\quad n=-3&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Con las aplicaciones, omitimos respuestas que no son razonables y como estamos tratando de obtener el número de unidades donde se encuentra el punto de equilibrio, entonces debemos omitir la solución\(n = −3\). Por lo tanto, el punto de equilibrio se ubica después de que\(19\) las unidades se venden y producen
Resolver aplicaciones factorizando la tarea
El producto de dos números enteros positivos es\(104\) y la suma de los mismos dos números es\(21\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(50\) y la suma de los mismos dos números es\(15\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(48\) y la suma de los mismos dos números es\(14\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(30\) y la suma de los mismos dos números es\(11\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(44\) y la suma de los mismos dos números es\(15\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(18\) y la suma de los mismos dos números es\(11\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(28\) y la suma de los mismos dos números es\(11\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(18\) y la suma de los mismos dos números es\(9\). Encuentra los números.
El producto de dos números enteros positivos es\(54\) y la suma de los mismos dos números es\(15\). Encuentra los números.
La longitud de un rectángulo es\(6\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(160\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(4\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(117\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(6\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(91\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(4\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(45\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(7\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(98\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(6\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(40\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(7\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(144\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(4\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(96\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(7\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(60\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
La longitud de un rectángulo es\(3\) pulgadas más larga que ancha. Si el área es de pulgadas\(88\) cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en pies, sobre el nivel del mar, en función del tiempo,\(t\), viene dada por ¿\[h(t) = −16t^2 + 64t + 192\nonumber\]Cuándo choca el cohete contra el suelo después de ser lanzado?
Se lanza un cohete a los\(t = 0\) segundos. Su altura, en pies, sobre el nivel del mar, en función del tiempo,\(t\), viene dada por ¿\[h(t) = −16t^2 + 48t + 448\nonumber\]Cuándo choca el cohete contra el suelo después de ser lanzado?
El beneficio para una determinada mercancía\(n\), donde\(n\) está en unidades, viene dada por la función\[P(n) = −25n^2 + 325n + 750\nonumber\] En el punto de equilibrio, la ganancia es cero, es decir,\(P(n) = 0\). Encuentra el número de unidades donde se encuentra el punto de equilibrio, es decir, encontrar\(n\) cuándo\(P(n) = 0\).
El beneficio para una determinada mercancía\(n\), donde\(n\) está en unidades, viene dada por la función\[P(n) = −25n^2 + 325n + 1200\nonumber\] En el punto de equilibrio, la ganancia es cero, es decir,\(P(n) = 0\). Encuentra el número de unidades donde se encuentra el punto de equilibrio, es decir, encontrar\(n\) cuándo\(P(n) = 0\).