7.6: Resolver factorizando
- Page ID
- 117464
Al resolver ecuaciones lineales, tales como\(2x − 5 = 21\), podemos resolver aislando la variable en un lado y un número en el otro lado. No obstante, en este capítulo, tenemos un\(x^2\) término, así que si se ve diferente, entonces es diferente. De ahí que necesitamos un nuevo método para resolver ecuaciones trinomiales. Un método es usar la regla de producto cero. Existen otros métodos para resolver ecuaciones trinomiales, pero eso es para un capítulo futuro.
Una ecuación polinómica es cualquier ecuación que contiene una expresión polinómica. Una ecuación trinomial se escribe en la forma\[ax^2+bx+c=0,\nonumber\] donde\(a,\: b,\: c\) están los coeficientes, y\(a=\neq 0\).
Regla de producto cero
\[a\cdot b=0\text{ implies }a=0\text{ or }b=0\text{, or both }a=b=0\nonumber\]
La regla del producto cero establece que para que un producto sea cero, entonces uno de sus factores debe ser cero, o incluso ambos desde entonces\(0\cdot 0 = 0\). Extendamos esta regla para resolver una ecuación trinomial.
Resolver para\(x\):\((2x-3)(5x+1)=0\)
Solución
Usando la regla de cero producto, sabemos que para que este producto sea igual a cero, entonces al menos uno de los factores debe ser cero:
\[\begin{array}{rl}(2x-3)(5x+1)=0&\text{Set seach factor equal to zero} \\ 2x-3=0\quad\text{or}\quad 5x+1=0&\text{Solve} \\ 2x=3\quad\text{or}\quad 5x=-1 \\ x=\dfrac{3}{2}\quad\text{or}\quad x=-\dfrac{1}{5}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver por Factoring
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma\(ax^2 + bx + c = 0\).
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores.
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido.
Paso 4. Verificar la (s) solución (es).
Resolver para\(x\):\(4x^2+x-3=0\)
Solución
Paso 1. La ecuación ya se da con cero en el lado derecho. \[4x^2+x-3=0\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores:\[\begin{aligned}4x^2+x-3&=0 \\ 4x^2-3x+4x-3&=0 \\ x(4x-3)+1(4x-3)&=0 \\ (4x-3)(x+1)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}(4x-3)(x+1)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ 4x-3=0\quad\text{or}\quad x+1=0&\text{Solve} \\ 4x=3\quad\text{or}\quad x=-1 \\ x=\dfrac{3}{4}\quad\text{or}\quad x=-1&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar la (s) solución (es):\(x =\dfrac{3}{4}\) y\(x = −1\)\[\begin{array}{rl} 4\color{blue}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}\color{black}{}+\color{blue}{\left(\dfrac{3}{4}\right)}\color{black}{}-3\stackrel{?}{=}0 & 4\color{blue}{(-1)}\color{black}{}^2+\color{blue}{(-1)}\color{black}{}-3\stackrel{?}{=}0 \\ 4\cdot\dfrac{9}{16}+\dfrac{3}{4}-3\stackrel{?}{=}0&4(1)-1-3\stackrel{?}{=}0 \\ 0=0\quad\checkmark & 0=0\quad\checkmark\end{array}\nonumber\]
Así, las soluciones son\(x=\dfrac{3}{4}\) y\(x=-1\).
Reescribe la ecuación con cero en un lado
Resolver para\(x\):\(x^2=8x-15\)
Solución
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma con cero en el lado derecho:\[\begin{aligned}x^2&=8x-15 \\ x^2-8x+15&=0\end{aligned}\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores:\[\begin{aligned} x^2-8x+15&=0 \\ (x-5)(x-3)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}(x-5)(x-3)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ x-5=0\quad\text{or}\quad x-3=0&\text{Solve} \\ x=5\quad\text{or}\quad x=3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar la (s) solución (es):\(x = 5\) y\(x = 3\)\[\begin{array}{rl}\color{blue}{(5)}\color{black}{}^2\stackrel{?}{=}8\color{blue}{(5)}\color{black}{}-15&\color{blue}{(3)}\color{black}{}^2\stackrel{?}{=}8\color{blue}{(3)}\color{black}{}-15 \\ 25\stackrel{?}{=}40-15&9\stackrel{?}{=}24-15 \\ 25=25\quad\checkmark &9=9\quad\checkmark\end{array}\nonumber\]
Así, las soluciones son\(x=5\) y\(x=3\).
Simplificar la ecuación
A veces la ecuación no es tan sencilla. Tal vez tengamos que hacer algún trabajo preliminar para que la ecuación tome la forma de una ecuación trinomial y luego podamos usar la regla del producto cero.
Resolver para\(x\):\((x-7)(x+3)=-9\)
Solución
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma con cero en el lado derecho. Observe, primero tendremos que ALUMINAR el lado izquierdo, luego obtener cero a la derecha. \[\begin{aligned}(x-7)(x+3)&=-9 \\ x^2-4x-21&=-9 \\ x^2-4x-12&=0\end{aligned}\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores:\[\begin{aligned}x^2-4x-12&=0 \\ (x-6)(x+2)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}(x-6)(x+2)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ x-6=0\quad\text{or}\quad x+2=0&\text{Solve} \\ x=6\quad\text{or}\quad x=-2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar la (s) solución (es):\(x = 6\) y\(x = −2\)\[\begin{array}{rl}(\color{blue}{(6)}\color{black}{}-7)(\color{blue}{(6)}\color{black}{}+3)\stackrel{?}{=}-9&(\color{blue}{(-2)}\color{black}{}-7)(\color{blue}{(-2)}\color{black}{}+3)\stackrel{?}{=}-9 \\ -9=-9\quad\checkmark &-9=-9\quad\checkmark\end{array}\nonumber\]
Así, las soluciones son\(x=6\) y\(x=-2\).
Resolver para\(x\):\(3x^2+4x-5=7x^2+4x-14\)
Solución
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma con cero en el lado derecho. Aviso, tendremos que combinar términos similares para obtener cero a la derecha. \[\begin{aligned}3x^2+4x-5&=7x^2+4x-14 \\ -4x^2+9&=0 \\ \color{blue}{(-1)}\color{black}{}(-4x^2+9)&=0\color{blue}{(-1)}\color{black}{} \\ 4x^2-9&=0\end{aligned}\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores:\[\begin{aligned}4x^2-9&=0 \\ (2x+3)(2x-3)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}(2x+3)(2x-3)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ 2x+3=0\quad\text{or}\quad 2x-3=0 &\text{Solve} \\ x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{or}\quad x=\dfrac{3}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Dejamos verificando la (s) solución (s):\(x = −\dfrac{3}{2}\) y\(x =\dfrac{3}{2}\), al alumno.
Resolver para\(x\):\(4x^2=12x-9\)
Solución
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma con cero en el lado derecho:\[\begin{aligned}4x^2&=12x-9 \\ 4x^2-12x+9&=0\end{aligned}\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores:\[\begin{aligned}4x^2-12x+9&=0 \\ (2x-3)^2&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Usa la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}(2x-3)^2=0&\text{Rewrite as two factors} \\ (2x-3)(2x-3)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ 2x-3=0\quad\text{or}\quad 2x-3=0&\text{Solve} \\ x=\dfrac{3}{2}\quad\text{or}\quad x=\dfrac{3}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\] Observe que obtenemos la misma solución para ambos factores. A pesar de que solemos obtener dos soluciones diferentes, en algunos casos, obtenemos una solución. Llamamos a esta solución con multiplicidad dos.
Paso 4. Dejamos verificando la (s) solución (s):\(x =\dfrac{3}{2}\), al alumno.
Así, la solución es\(x=\dfrac{3}{2}\) con multiplicidad dos.
Al resolver trinomios de la forma\(ax^2 + bx + c = 0\), siempre debemos obtener dos soluciones. Hay un caso en el que obtendremos una solución con multiplicidad dos. Este caso es cuando la ecuación trinomial es un trinomio cuadrado perfecto.
Resolver para\(x\):\(4x^2=8x\)
Solución
Paso 1. Escribe la ecuación dada en la forma con cero en el lado derecho. \[\begin{aligned}4x^2&=8x \\ 4x^2-8x&=0\end{aligned}\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores. Observe aquí, solo factorizaremos un GCF. \[\begin{aligned}4x^2-8x&=0 \\ 4x(x-2)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}4x(x-2)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ 4x=0\quad\text{or}\quad x-2=0&\text{Solve} \\ x=0\quad\text{or}\quad x=2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Dejamos verificando la (s) solución (s):\(x = 0\) y\(x = 2\), al alumno.
Resolver para\(x\):\(2x^3-14x^2+24x=0\)
Solución
Paso 1. Nos dieron la ecuación en la forma con cero en el lado derecho:\[2x^3-14x^2+24x=0\nonumber\]
Paso 2. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación en un producto de factores. Observe aquí, factorizaremos un GCF además de factorizar el trinomio. \[\begin{aligned}2x^3-14x^2+24x&=0 \\ 2x(x^2-7x+12)&=0 \\ 2x(x-3)(x-4)&=0\end{aligned}\]
Paso 3. Utilice la regla de producto cero para establecer cada factor igual a cero y luego resolver para lo desconocido:\[\begin{array}{rl}2x(x-3)(x-4)=0&\text{Set each factor equal to zero} \\ 2x=0\quad\text{or}\quad x-3=0\quad\text{or}\quad x-4=0&\text{Solve} \\ x=0\quad\text{or}\quad x=3\quad\text{or}\quad x=4&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Dejamos verificando la (s) solución (s):\(x = 0,\: x = 3\)\(x = 2\), y, al alumno.
Observe, obtuvimos tres soluciones a la ecuación. Aunque se nos dio un trinomio, observe que el grado del trinomio fue\(3\), es decir, cuando factorizamos, obtuvimos tres factores. De ahí que contaremos con tres soluciones. En general, el número de soluciones será como máximo el número de factores, por ejemplo, obtenemos dos factores y una solución con multiplicidad dos.
Si bien el factoring funciona muy bien para resolver problemas con un\(x^2\) término, Tartaglia, en la Italia\(16^{\text{th}}\) del siglo, desarrolló un método para resolver problemas con\(x^3\). Guardó su método en secreto hasta que otro matemático, Cardan, lo sacó de su secreto y publicó los resultados. A día de hoy, la fórmula se conoce como Fórmula de Cardan
Resolver Factorizando la tarea
Resuelve cada ecuación factorizando.
\((k-7)(k+2)=0\)
\((x-1)(x+4)=0\)
\(6x^2-150=0\)
\(2n^2+10n-28=0\)
\(7x^2+26x+15=0\)
\(5n^2-9n-2=0\)
\(x^2-4x-8=-8\)
\(x^2 − 5x − 1 = −5\)
\(49p^2 + 371p − 163 = 5\)
\(7x^2 + 17x − 20 = −8\)
\(7r^2 + 84 = −49r\)
\(x^2 − 6x = 16\)
\(3v^2 + 7v = 40\)
\(35x^2 + 120x = −45\)
\(4k^2 + 18k − 23 = 6k − 7\)
\(9x^2 − 46 + 7x = 7x + 8x^2 + 3\)
\(2m^2 + 19m + 40 = −2m\)
\(40p^2 + 183p − 168 = p + 5p^2\)
\((a + 4)(a − 3) = 0\)
\((2x + 5)(x − 7) = 0\)
\(p^2 + 4p − 32 = 0\)
\(m^2 − m − 30 = 0\)
\(40r^2 − 285r − 280 = 0\)
\(2b^2 − 3b − 2 = 0\)
\(v^2 − 8v − 3 = −3\)
\(a^2 − 6a + 6 = −2\)
\(7k^2 + 57k + 13 = 5\)
\(4n^2 − 13n + 8 = 5\)
\(7m^2 − 224 = 28m\)
\(7n^2 − 28n = 0\)
\(6b^2 = 5 + 7b\)
\(9n^2 + 39n = −36\)
\(a^2 + 7a − 9 = −3 + 6a\)
\(x^2 + 10x + 30 = 6\)
\(5n^2 + 41n + 40 = −2\)
\(24x^2 + 11x − 80 = 3x\)
\((x − 3)^2 − 6(x − 3) + 8 = 0\)
\(4(2 − 5x)^2 + 8(2 − 5x) = −3\)