8.3: Obtener el mínimo denominador común
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Al igual que con las fracciones en aritmética, el mínimo común denominador o LCD es el múltiplo común más bajo (LCM) de los denominadores. Dado que las expresiones racionales son fracciones con polinomios, utilizamos la LCD para sumar y restar expresión racional con diferentes denominadores. En esta sección, obtenemos LCDs de expresiones racionales. Primero, echemos un vistazo al método para encontrar el LCM en aritmética.
Obtener el LCM en Aritmética
Encontrar\(\text{LCM}(3,6,15)\).
Solución
Encuentra la factorización prima de cada número en tu set.
\[\begin{aligned}3&=3 \\ 6&=2\cdot 3 \\ 15&=3\cdot 5\end{aligned}\]
A continuación, toma uno de cada factor y, para los factores repetidos, toma el exponente más alto. De ahí, el\(\text{LCM}(3, 6, 15) = 2\cdot 3\cdot 5 = 30\). Observe que todos los factores de cada número están en el LCM:
\[\begin{array}{c}\underset{6}{\underbrace{2\cdot 3}}\cdot 5 \\ 2\cdot\underset{15}{\underbrace{3\cdot 5}}\end{array}\nonumber\]
Obtener el LCM con Monomios
Usamos el mismo método que en Example 8.3.1 , pero ahora con variables.
Encuentra el\(LCM(4x^2y^5, 6x^4y^3z^6)\).
Solución
Encuentra la factorización principal de cada expresión en tu set.
\[\begin{aligned}4x^2y^5&=2^2x^2y^5 \\ 6x^4y^3z^6&=2\cdot 3\cdot x^4y^3z^6\end{aligned}\]
A continuación, toma uno de cada factor y, para los factores repetidos, toma el exponente más alto. De ahí, el\(\text{LCM}(4x^2y^5 , 6x^4y^3z^6 ) = 2^2\cdot 3\cdot x^4 \cdot y^5\cdot z^6 = 12x^4y^3 z^6\). Observe que tomamos el exponente más alto de factores repetidos para que todos los factores estén contenidos en la LCM.
Obtener el LCM con polinomios
Utilizamos el mismo método, pero ahora factorizamos usando técnicas de factorización para obtener el LCM entre polinomios. Recordemos, todos los factores están contenidos en la LCM.
Encuentra el\(\text{LCM}(x^2 + 2x − 3,\: x^2 − x − 12)\).
Solución
Encuentra la factorización principal de cada expresión en tu set.
\[\begin{aligned}x^2+2x-3&=(x+3)(x-1) \\ x^2-x-12&=(x-4)(x+3)\end{aligned}\]
A continuación, toma uno de cada factor y, para los factores repetidos, toma el exponente más alto. De ahí, el\(\text{LCM}(x^2 + 2x − 3,\: x^2 − x − 12) = (x − 1)(x + 3)(x − 4)\). Observe que todos los factores están contenidos en el LCM:
\[\begin{array}{c}\underset{x^2+2x-3}{\underbrace{(x-1)(x+3)}}(x-4) \\ (x-1)\underset{x^2-x-12}{\underbrace{(x+3)(x-4)}}\end{array}\nonumber\]
Encuentra el\(\text{LCM}(x^2 − 10x + 25,\: x^2 − 14x + 45)\).
Solución
Encuentra la factorización principal de cada expresión en tu set.
\[\begin{aligned}x^2-10x+25&=(x-5)^2 \\ x^2-14x+45&=(x-5)(x-9)\end{aligned}\]
A continuación, toma uno de cada factor y, para los factores repetidos, toma el exponente más alto. De ahí, el\(\text{LCM}(x^2 − 10x + 25,\: x^2 − 14x + 45) = (x − 5)^2 (x − 9)\).
Una vez que obtenemos el LCM de expresiones polinómicas, entonces este LCM se puede usar como la LCD en expresiones racionales dadas. Luego podemos reescribir cada fracción con la pantalla LCD. Recordemos, el LCD es el LCM de todos los denominadores en la expresión.
Reescribir fracciones con el mínimo denominador común
Encuentra la pantalla LCD entre\(\dfrac{5a}{4b^3c}\) y\(\dfrac{3c}{6a^2b}\). Reescribe cada fracción con la pantalla LCD.
Solución
Si necesitamos obtener el LCD, entonces podemos seguir una serie de pasos.
Paso 1. Encuentra el LCD, es decir, el LCM entre denominadores. En este caso, necesitamos encontrar el\(\text{LCM}(4b^3c,\: 6a^2b)\). \[\begin{aligned}4b^3c&=2^2\cdot b^3c \\ 6a^2b&=2\cdot 3\cdot a^2b\end{aligned}\]Podemos ver que el\(\text{LCM}(4b^3c,\: 6a^2b)=2^2\cdot 3\cdot a^2\cdot b^3\cdot c=12a^2b^3c\). Esta es la pantalla LCD.
Paso 2. A continuación, reescribimos cada fracción con la LCD. \[\begin{array}{rl}\dfrac{5a}{4b^3c}&\text{Multiply the numerator and denominator by }3a^2 \\ \dfrac{5a}{4b^3c}\cdot\color{blue}{\dfrac{3a^2}{3a^2}}&\color{black}{}\text{Notice we get }12a^2b^3c\text{ in the denominator} \\ \dfrac{15a^3}{12a^2b^3c}&\text{The denominator is the LCD }\checkmark \\ \\ \dfrac{3c}{6a^2b}&\text{Multiply the numerator and denominator by }2b^2c \\ \dfrac{3c}{6a^2b}\cdot\color{blue}{\dfrac{2b^2c}{2b^2c}}&\color{black}{}\text{Notice we get }12a^2b^3c\text{ in the denominator} \\ \dfrac{6b^2c^2}{12a^2b^3c}&\text{The denominator is the LCD }\checkmark\end{array}\nonumber\]De ahí,\(\dfrac{5a}{4b^3c}\) y se\(\dfrac{3c}{6a^2b}\) puede escribir en la forma equivalente con el\(\text{LCD}=12a^2b^3c\) as\[\dfrac{15a^3}{12a^2b^3c}\quad\text{and}\quad\dfrac{6b^2c^2}{12a^2b^3c},\nonumber\] respectivamente.
Encuentra la pantalla LCD entre\(\dfrac{5x}{x^2-5x-6}\) y\(\dfrac{x-2}{x^2+4x+3}\). Reescribe cada fracción con la pantalla LCD.
Solución
Si necesitamos obtener el LCD, entonces podemos seguir una serie de pasos.
Paso 1. Encuentra el LCD, es decir, el LCM entre denominadores. En este caso, necesitamos encontrar el\(\text{LCM}(x^2 − 5x − 6,\: x^2 + 4x + 3)\). \[\begin{aligned}x^2-5x-6&=(x+1)(x-6) \\ x^2+4x+3&=(x+3)(x+1)\end{aligned}\]Podemos ver que el\(\text{LCM}(x^2 − 5x − 6,\: x^2 + 4x + 3) = (x + 3)(x + 1)(x − 6)\). Esta es la pantalla LCD.
Paso 2. A continuación, reescribimos cada fracción con la LCD. \[\begin{array}{rl}\dfrac{5x}{x^2-5x-6}&\text{Factor the denominator} \\ \dfrac{5x}{(x+1)(x-6)}&\text{Multiply the numerator and denominator by }(x+3) \\ \dfrac{5x}{(x+1)(x-6)}\cdot\color{blue}{\dfrac{(x+3)}{(x+3)}}&\color{black}{}\text{Notice we get the LCD in the denominator} \\ \dfrac{5x(x+3)}{(x+1)(x-6)(x+3)}&\text{The denominator is the LCD }\checkmark \\ \\ \dfrac{x-2}{x^2+4x+3}&\text{Factor the denominator} \\ \dfrac{(x-2)}{(x+3)(x+1)}&\text{Multiply the numerator and denominator by }(x-6) \\ \dfrac{(x-2)}{(x+3)(x+1)}\cdot\color{blue}{\dfrac{(x-6)}{(x-6)}}&\color{black}{}\text{Notice we get the LCD in the denominator} \\ \dfrac{(x-2)(x-6)}{(x+3)(x+1)(x-6)}&\text{The denominator is the LCD }\checkmark\end{array}\nonumber\]De ahí,\(\dfrac{5x}{x^2-5x-6}\) y se\(\dfrac{x-2}{x^2+4x+3}\) puede escribir en el equivalente de con el\(\text{LCD}=(x+3)(x+1)(x-6)\) as\[\dfrac{5x(x+3)}{(x+1)(x-6)(x+3)}\quad\text{and}\quad\dfrac{(x-2)(x-6)}{(x+3)(x+1)(x-6)},\nonumber\] respectivamente.
Cuando los egipcios comenzaron a trabajar con fracciones, expresaron todas las fracciones como una suma de una fracción unitaria. Más bien que\(\dfrac{4}{5}\), escribirían la fracción como la suma,\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}\). Un problema interesante con este sistema es que este no es una representación única de\(\dfrac{4}{5}\); también\(\dfrac{4}{5}\) es igual a la suma\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}\).
Obtener la tarea de menor denominador común
Encuentra el numerador equivalente.
\(\dfrac{3}{8}=\dfrac{?}{48}\)
\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{?}{xy}\)
\(\dfrac{2}{3a^3b^2c}=\dfrac{?}{9a^5b^2c^4}\)
\(\dfrac{2}{x+4}=\dfrac{?}{x^2-16}\)
\(\dfrac{x-4}{x+2}=\dfrac{?}{x^2+5x+6}\)
\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{?}{5a}\)
\(\dfrac{5}{2x^2}=\dfrac{?}{8x^3y}\)
\(\dfrac{4}{3a^5b^2c^4}=\dfrac{?}{9a^5b^2c^4}\)
\(\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{?}{x^2-6x+9}\)
\(\dfrac{x-6}{x+3}=\dfrac{?}{x^2-2x-15}\)
Encuentra el múltiplo común más bajo.
\(2a^3,\: 6a^4b^2,\: 4a^3b^5\)
\(x^2-3x,\: x-3,\: x\)
\(x+2,\: x-4\)
\(x^2-25,\: x+5\)
\(x^2+3x+2,\: x^2+5x+6\)
\(5x^2y,\: 25x^3y^5z\)
\(4x-8,\: x-2,\: 4\)
\(x,\: x-7,\: x+1\)
\(x^2-9,\: x^2-6x+9\)
\(x^2-7x+10,\: x^2-2x-15,\: x^2+x-6\)
Encuentra la pantalla LCD y vuelve a escribir cada fracción con la pantalla LCD.
\(\dfrac{3a}{5b^2},\:\dfrac{2}{10a^3b}\)
\(\dfrac{x+2}{x-3},\:\dfrac{x-3}{x+2}\)
\(\dfrac{x}{x^2-16},\:\dfrac{3x}{x^2-8x+16}\)
\(\dfrac{x+1}{x^2-36},\:\dfrac{2x+3}{x^2+12x+36}\)
\(\dfrac{4x}{x^2-x-6},\:\dfrac{x+2}{x-3}\)
\(\dfrac{3x}{x-4},\:\dfrac{2}{x+2}\)
\(\dfrac{5}{x^2-6x},\:\dfrac{2}{x},\:\dfrac{-3}{x-6}\)
\(\dfrac{5x+1}{x^2-3x-10},\:\dfrac{4}{x-5}\)
\(\dfrac{3x+1}{x^2-x-12},\:\dfrac{2x}{x^2+4x+3}\)
\(\dfrac{3x}{x^2-6x+8},\:\dfrac{x-2}{x^2+x-20},\:\dfrac{5}{x^2+3x-10}\)