9.3: Problemas de tasa de trabajo
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Si a una persona le toma\(4\) horas pintar una habitación y a otra persona\(12\) horas en pintar la misma habitación, trabajando juntos podrían pintar la habitación aún más rápido. Al final resulta que pintarían la habitación en\(3\) horas juntos. Esto se razona por la siguiente lógica. Si la primera persona pinta la habitación en\(4\) horas, pinta\(\dfrac{1}{4}\) de la habitación cada hora. Si la segunda persona tarda\(12\) horas en pintar la habitación, pinta\(\dfrac{1}{12}\) de la habitación cada hora. Así que juntos, cada hora pintan\(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\) de la habitación. Simplifiquemos esta suma:
\[\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\nonumber\]
Esto significa que cada hora, trabajando juntos, completan\(\dfrac{1}{3}\) la habitación. Si\(\dfrac{1}{3}\) de la habitación se pinta cada hora, se deduce que tardará\(3\) horas en completar toda la habitación.
Si la primera persona hace un trabajo en el tiempo A, una segunda persona hace un trabajo en el tiempo B, y juntos pueden hacer un trabajo en el tiempo T (total). Podemos usar la ecuación de tasa de trabajo:
\[\underset{\text{job per time A}}{\underbrace{\dfrac{1}{A}}}+\underset{\text{job per time B}}{\underbrace{\dfrac{1}{B}}}=\underset{\text{job per time T}}{\underbrace{\dfrac{1}{T}}}\nonumber\]
Los egipcios fueron los primeros en trabajar con fracciones. Cuando los egipcios escribieron fracciones, todas eran fracciones unitarias (un numerador de una). Utilizaron este tipo de fracciones durante unos 2 mil años. Algunos creen que este engorroso estilo de usar fracciones se utilizó durante tanto tiempo fuera de tradición. Otros creen que los egipcios tenían una forma de pensar y trabajar con fracciones que se ha perdido por completo en la historia.
Una Hora Desconocida
Adam puede limpiar una habitación en 3 horas. Si su hermana María ayuda, pueden limpiarlo en\(2\dfrac{2}{5}\) horas. ¿Cuánto tardará María en hacer el trabajo sola?
Solución
Usamos la ecuación de tasa de trabajo para modelar el problema, pero antes de hacer esto, podemos mostrar la información en una tabla:
| tiempo | trabajo por hora | |
|---|---|---|
| Adam | \(3\) | \(\dfrac{1}{3}\) |
| María | \(t\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
| Juntos | \(2\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{2\dfrac{2}{5}}\) |
Ahora, vamos a configurar la ecuación y resolver. Aviso,\(\dfrac{1}{2\dfrac{2}{5}}\) es una fracción impropia y podemos reescribir esto como\(\dfrac{1}{\dfrac{12}{5}}=\dfrac{5}{12}\). Primero aclaramos los denominadores, luego resolvemos la ecuación lineal como de costumbre.
\[\begin{aligned}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{t}&=\dfrac{5}{12} \\ \color{blue}{12t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{3}+\color{blue}{12t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t}&=\color{blue}{12t}\color{black}{}\cdot\dfrac{5}{12}\\ 4t+12&=5t \\ 12&=t \\ t&=12\end{aligned}\]
De esta manera, María tardaría\(12\) horas en limpiar la habitación sola.
Un fregadero se puede llenar con una tubería en\(5\) minutos, pero lleva\(7\) minutos drenar un fregadero lleno. Si tanto la tubería como el desagüe están abiertos, ¿cuánto tiempo tardará en llenar el fregadero?
Solución
Usamos la ecuación de tasa de trabajo para modelar el problema, pero antes de hacer esto, podemos mostrar la información en una tabla:
| tiempo | llenar por minuto | |
|---|---|---|
| Llenar el fregadero | \(5\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
| Drenar el fregadero | \(7\) | \(\dfrac{1}{7}\) |
| Juntos | \(t\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
Ahora, vamos a configurar la ecuación y resolver. Aviso, estaban llenando el fregadero y drenándolo. Ya que estamos drenando el fregadero, estamos perdiendo agua a medida que se llena el fregadero. De ahí que restemos la tasa en la que drena el fregadero. Primero aclaramos los denominadores, luego resolvemos la ecuación lineal como de costumbre.
\[\begin{aligned}\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}&=\dfrac{1}{t} \\ \color{blue}{35t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{5}-\color{blue}{35t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{7}&=\color{blue}{35t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t} \\ 7t-5t&=35 \\ 2t&=35 \\ t&=\dfrac{35}{2}\end{aligned}\]
Así, tardaría\(\dfrac{35}{2}\) minutos en llenar el fregadero, es decir,\(17\dfrac{1}{2}\) minutos.
Dos Tiempos Desconocidos
Mike toma el doble de tiempo que Rachel en completar un proyecto. Juntos pueden completar un proyecto en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno de ellos en completar un proyecto solo?
Solución
Usamos la ecuación de tasa de trabajo para modelar el problema, pero antes de hacer esto, podemos mostrar la información en una tabla:
| tiempo | proyecto por hora | |
|---|---|---|
| Mike | \(2t\) | \(\dfrac{1}{2t}\) |
| Rachel | \(t\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
| Juntos | \(10\) | \(\dfrac{1}{10}\) |
Ahora, vamos a configurar la ecuación y resolver. Primero aclaramos los denominadores, luego resolvemos la ecuación lineal como de costumbre.
\[\begin{aligned}\dfrac{1}{2t}+\dfrac{1}{t}&=\dfrac{1}{10} \\ \color{blue}{10t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{2t}+\color{blue}{10t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t}&=\color{blue}{10t}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{10} \\5+10&=t \\ 15&=t \\ t&=15\end{aligned}\]
Así, a Rachel le tomaría\(15\) horas completar un proyecto y Mike el doble de tiempo,\(30\) horas.
Brittney puede construir un cobertizo grande en\(10\) días menos que Cosmo. Si lo construyeran juntos, les llevaría\(12\) días. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos trabajando solos?
Solución
Usamos la ecuación de tasa de trabajo para modelar el problema, pero antes de hacer esto, podemos mostrar la información en una tabla:
| tiempo | construir por día | |
|---|---|---|
| Cosmo | \(t\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
| Brittney | \(t-10\) | \(\dfrac{1}{(t-10)}\) |
| Juntos | \(12\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
Ahora, vamos a configurar la ecuación y resolver. Primero aclaramos los denominadores, luego resolvemos la ecuación como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t-10}=\dfrac{1}{12}&\text{Apply the work-rate equation} \\ \color{blue}{12t(t-10)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t}+\color{blue}{12t(t-10)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t-10}=\color{blue}{12t(t-10)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{12}&\text{Clear denominators} \\ 12(t-10)+12t=t(t-10)&\text{Distribute} \\ 12t-120+12t=t^2-10t &\text{Combine like terms} \\ 24t-120=t^2-10t&\text{Notice the }t^2\text{ term; solve by factoring} \\ t^2-34t+120=0&\text{Factor} \\ (t-4)(t-30)=0&\text{Apply zero product rule} \\ t-4=0\text{ or }t-30=0&\text{Isolate variable terms} \\ t=4\text{ or }t=30&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Obtuvimos\(t = 4\) y\(t = 30\) para las soluciones. No obstante, necesitamos verificar estas soluciones con los tiempos de Cosmo y Brittney. Si\(t = 4\), entonces el tiempo de Brittney serían\(4 − 10 = −6\) días. Esto no tiene sentido ya que los días son siempre positivos. Así, a Cosmo le tomaría\(30\) días construir un cobertizo y Brittney\(10\) menos días,\(20\) días.
Un electricista puede completar un trabajo en una hora menos que su aprendiz. Juntos hacen el trabajo en\(1\) horas y\(12\) minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos trabajando solos?
Solución
Usamos la ecuación de tasa de trabajo para modelar el problema, pero antes de hacer esto, podemos mostrar la información en una tabla. Observe el tiempo dado haciendo el trabajo juntos:\(1\) hora y\(12\) minutos. Desafortunadamente, no podemos usar este formato en la ecuación de tasa de trabajo. De ahí que necesitamos convertir esto a las mismas unidades de tiempo:\(1\) hora y\(12\) minutos\(= 1\dfrac{12}{60}\) horas\(= 1.2\) horas\(= \dfrac{6}{5}\) horas.
| tiempo | trabajo por hora | |
|---|---|---|
| Electricista | \(t-1\) | \(\dfrac{1}{(t-1)}\) |
| Aprendiz | \(t\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
| Juntos | \(\dfrac{6}{5}\) | \(\dfrac{5}{6}\) |
Nota,\(\dfrac{1}{\dfrac{6}{5}} = \dfrac{5}{6}\). Ahora, vamos a configurar la ecuación y resolver. Primero aclaramos los denominadores, luego resolvemos la ecuación como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{6}&\text{Apply the work-rate equation} \\ \color{blue}{6t(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t-1}+\color{blue}{6t(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t}=\color{blue}{6t(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{5}{6}&\text{Clear denominators} \\ 6t+6(t-1)=5t(t-1)&\text{Distribute} \\ 6t+6t-6=5t^2-5t&\text{Combine like terms} \\ 12t-6=5t^2-5t&\text{Notice the }5t^2\text{ term; solve by factoring} \\ 5t^2-17t+6=0&\text{Factor} \\ (5t-2)(t-3)=0&\text{Apply zero product rule} \\ 5t-2=0\text{ or }t-3=0&\text{Isolate variable terms} \\ t=\dfrac{2}{5}\text{ or }t=3&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Obtuvimos\(t = \dfrac{2}{5}\) y\(t = 3\) para las soluciones. No obstante, necesitamos verificar estas soluciones con los tiempos de electricista y aprendiz. Si\(t =\dfrac{2}{5}\), entonces el tiempo del electricista sería\(\dfrac{2}{5} −1 = −\dfrac{3}{5}\) horas. Esto no tiene sentido ya que las horas son siempre positivas. De esta manera, tomaría al aprendiz\(3\) horas para completar un trabajo y al electricista\(1\) menos hora,\(2\) horas.
Problemas de tasa de trabajo Tarea
El padre de Bill puede pintar una habitación en dos horas menos de lo que Bill puede pintarla. Trabajando juntos pueden completar el trabajo en dos horas y\(24\) minutos. ¿Cuánto tiempo requeriría cada uno trabajar solo?
De dos tuberías de entrada, la tubería más pequeña tarda cuatro horas más que la tubería más grande en llenar una piscina. Cuando ambas tuberías están abiertas, la alberca se llena en tres horas y cuarenta y cinco minutos. Si solo la tubería más grande está abierta, ¿cuántas horas se requieren para llenar la piscina?
Jack puede lavar y encerar el auto familiar en una hora menos que Bob puede. Los dos trabajando juntos pueden completar el trabajo en\(1\dfrac{1}{5}\) horas. ¿Cuánto tiempo requeriría cada uno si trabajaran solos?
Si A puede hacer un trabajo solo en\(6\) días y B puede hacerlo solo en\(4\) días, ¿cuánto tiempo tardarán los dos trabajando juntos en completar el trabajo?
Trabajar solo le toma a John\(8\) horas más que Carlos hacer un trabajo. Trabajando juntos pueden hacer el trabajo en\(3\) horas. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno en hacer el trabajo trabajando solo?
A puede hacer una pieza de trabajo en\(3\) días, B en\(4\) días y C en\(5\) días cada uno trabajando solo. ¿Cuánto tiempo les llevará hacerlo trabajando juntos?
A puede hacer una pieza de trabajo en\(4\) días y B puede hacerlo en la mitad del tiempo. ¿Cuánto tiempo les llevará hacer el trabajo juntos?
Una cisterna se puede llenar por una tubería en\(20\) minutos y por otra en\(30\) minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán ambas tuberías juntas en llenar el tanque?
Si A puede hacer una pieza de trabajo en\(24\) días y A y B juntos pueden hacerlo en\(6\) días, ¿cuánto tiempo tardaría B en hacer el trabajo solo?
Un carpintero y su asistente pueden hacer un trabajo en\(3\dfrac{3}{4}\) días. Si el propio carpintero pudiera hacer el trabajo solo en\(5\) días, ¿cuánto tardaría el asistente en hacer el trabajo solo?
Si Sam puede hacer cierto trabajo en\(3\) días, mientras Fred tarda\(6\) días en hacer el mismo trabajo, ¿cuánto tiempo les llevará, trabajar juntos, completar el trabajo?
Tim puede terminar un determinado trabajo en\(10\) horas. A su esposa JoAnn le toma solo\(8\) horas hacer el mismo trabajo. Si trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les llevará completar el trabajo?
Dos personas que trabajan juntas pueden completar un trabajo en\(6\) horas. Si uno de ellos trabaja el doble de rápido que el otro, ¿cuánto tiempo tardaría la persona más rápida, trabajando sola, en hacer el trabajo?
Si dos personas que trabajan juntas pueden hacer un trabajo en\(3\) horas, ¿cuánto tiempo tardará la persona más lenta en hacer el mismo trabajo si una de ellas es\(3\) veces tan rápida como la otra?
Un tanque de agua se puede llenar con una tubería de entrada en\(8\) horas. Tarda el doble de tiempo para que la tubería de salida vacíe el tanque. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el tanque si ambas tuberías están abiertas?
Un fregadero se puede llenar desde el grifo en\(5\) cuestión de minutos. Solo toma\(3\) unos minutos vaciar el fregadero cuando el desagüe está abierto. Si el fregadero está lleno y tanto el grifo como el desagüe están abiertos, ¿cuánto tiempo tardará en vaciar el fregadero?
Se necesitan\(10\) horas para llenar una alberca con la tubería de entrada. Se puede vaciar en\(15\) hrs con la tubería de salida. Si la alberca está medio llena para empezar, ¿cuánto tiempo tardará en llenarla a partir de ahí si ambas tuberías están abiertas?
Un fregadero está\(\dfrac{1}{4}\) lleno cuando se abren tanto el grifo como el desagüe. El grifo solo puede llenar el fregadero en\(6\) minutos, mientras que tarda\(8\) minutos en vaciarlo con el desagüe. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el resto\(\dfrac{3}{4}\) del fregadero?
Un fregadero tiene dos grifos, uno para agua caliente y otro para agua fría. El fregadero se puede llenar con un grifo de agua fría en\(3.5\) minutos. Si ambos grifos están abiertos, el fregadero se llena en\(2.1\) minutos. ¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el fregadero con solo el grifo de agua caliente abierto?
Un tanque de agua está siendo llenado por dos tuberías de entrada. La tubería A puede llenar el tanque en\(4\dfrac{1}{2}\) horas, mientras que ambas tuberías juntas pueden llenar el tanque en\(2\) horas. ¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el tanque usando solo la tubería B?
Un tanque se puede vaciar por una cualquiera de las tres tapas. El primero puede vaciar el tanque en\(20\) minutos mientras que el segundo tarda\(32\) minutos. Si los tres trabajando juntos pudieran vaciar el tanque en\(8\dfrac{8}{59}\) minutos, ¿cuánto tiempo tardaría el tercero en vaciar el tanque?
Una tubería puede llenar una cisterna en\(1\dfrac{1}{2}\) horas mientras que una segunda tubería puede llenarla en\(2\dfrac{1}{3}\) hrs. Tres tubos trabajando juntos llenan la cisterna en\(42\) minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría la tercera tubería sola en llenar el tanque?
Sam tarda\(6\) horas más que Susan en encerar un piso. Trabajando juntos pueden encerar el piso en\(4\) horas. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno de ellos trabajando solos en encerar el piso?
Robert tarda\(9\) horas más que Paul en rapair una transmisión. Si les toma\(2 \dfrac{2}{5}\) horas hacer el trabajo si trabajan juntos, ¿cuánto tiempo tardará cada uno de ellos trabajando solo?
Sally tarda\(10\dfrac{1}{2}\) minutos más que Patricia en limpiar su dormitorio. Si trabajan juntos pueden limpiarlo en\(5\) cuestión de minutos. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno de ellos si trabajan solos?
A tarda\(7 \dfrac{1}{2}\) minutos más que B en hacer un trabajo. Trabajando juntos pueden hacer el trabajo en\(9\) minutos. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno trabajando solo?
El Secretario A tarda\(6\) minutos más que el Secretario B en escribir\(10\) páginas del manuscrito. Si dividen el trabajo y trabajan juntos les tomará\(8 \dfrac{3}{4}\) minutos escribir\(10\) páginas. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno trabajando solo en escribir las\(10\) páginas?
\(24\)A John le toma unos minutos más que a Sally cortar el césped. Si trabajan juntos pueden cortar el césped en\(9\) minutos. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno en cortar el césped si trabajan solos?