9.4: Problemas de movimiento uniforme
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Podemos recordar problemas de movimiento uniforme en el capítulo de problemas de palabras. Utilizamos la fórmula\(r\cdot t = d\) y organizamos la información dada en una tabla. Ahora, usamos la ecuación como
\[t=\dfrac{d}{r}\nonumber\]
Aplicamos el mismo método en esta sección solo las ecuaciones serán ecuaciones racionales.
Problemas de movimiento uniforme
Greg fue a una conferencia en una ciudad a\(120\) kilómetros de distancia. En el camino de regreso, debido a la construcción de carreteras tuvo que conducir\(10\) mph más lento, lo que resultó en que el viaje de regreso\(2\) tardara horas más. ¿Qué tan rápido manejó camino a la conferencia?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Vamos a\(r\) representar la tasa en la que condujo a la conferencia.
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| A la conferencia | \(r\) | \(t\) | \(120\) |
| De la conferencia | \(r-10\) | \(t+2\) | \(120\) |
Ahora podemos configurar cada ecuación.
\[\begin{array}{ll} t_{to}=\dfrac{120}{r}& t_{from}+2=\dfrac{120}{r-10} \\ t_{to}=\dfrac{120}{r}& t_{from}=\dfrac{120}{r-10}-2\end{array}\nonumber\]
Ya que resolvimos para\(t\) en cada ecuación, podemos establecer los\(t\)'s iguales entre sí y resolver para\(r\):
\[\begin{array}{rl} t_{to}=t_{from}&\text{Set }t's\text{ equal to each other} \\ \dfrac{120}{r}=\dfrac{120}{r-10}-2&\text{Multiply by the LCD} \\ \color{blue}{r(r-10)}\color{black}{}\cdot\dfrac{120}{r}=\color{blue}{r(r-10)}\color{black}{}\cdot\dfrac{120}{r-10}-\color{blue}{r(r-10)}\color{black}{}\cdot 2&\text{Clear denominators} \\ 120(r-10)=120r-2r(r-10)&\text{Distribute} \\ 120r-1200=120r-2r^2+20r&\text{Combine like terms} \\ 120r-1200=140r-2r^2 &\text{Notice the }2r^2 \text{ term; solve by factoring} \\ 2r^2-20r-1200=0&\text{Reduce all terms by a factor of }2 \\ r^2-10r-600=0&\text{Factor} \\ (r+20)(r-30)=0&\text{Apply zero product rule} \\ r+20=0\text{ or }r-30=0&\text{Isolate variable terms} \\ r=-20\text{ or }r=30& \text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Dado que la tasa del auto siempre es positiva, omitimos la solución\(r = −20\). Así, Greg condujo a un ritmo de\(30\) millas por hora a la conferencia.
El hombre más rápido del mundo (a la hora de imprimir) es el jamaicano Usain Bolt quien estableció el récord de correr\(100\) metros en\(9.58\) segundos el 16 de agosto de 2009 en Berlín. Esa es una velocidad de más de\(23\) millas por hora.
Problemas de movimiento uniforme con corrientes y vientos
Otro tipo de problema de movimiento uniforme es donde una embarcación viaja en un río con la corriente o contra la corriente (o un avión volando con el viento o contra el viento). Si una embarcación viaja aguas abajo, la corriente la empujará o aumentará la tasa por la velocidad de la corriente. Si una embarcación viaja aguas arriba, la corriente tirará contra ella o disminuirá la tasa por la velocidad de la corriente.
Un hombre rema corriente abajo por\(30\) millas luego se da la vuelta y regresa a su ubicación original, el viaje total tomó\(8\) horas. Si la corriente fluye a\(2\) millas por hora, ¿qué tan rápido remaría el hombre en agua sin gas?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Vamos a\(r\) representar la tasa en la que el hombre remaría en agua sin gas.
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| Downstream | \(r+2\) | \(t\) | \(30\) |
| Upstream | \(r-2\) | \(8-t\) | \(30\) |
Ahora podemos configurar cada ecuación.
\[\begin{array}{ll} t_{ds}=\dfrac{30}{r+2}& 8-t_{us}=\dfrac{30}{r-2} \\ t_{ds}=\dfrac{30}{r+2}& t_{us}=8-\dfrac{30}{r-2}\end{array}\nonumber\]
Ya que resolvimos para\(t\) en cada ecuación, podemos establecer los\(t\)'s iguales entre sí y resolver para\(r\):
\[\begin{array}{rl} t_{ds}=t_{us}&\text{Set }t\text{'s equal to each other} \\ \dfrac{30}{r+2}=8-\dfrac{30}{r-2}&\text{Multiply by the LCD} \\ \color{blue}{(r+2)(r-2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{30}{r+2}=\color{blue}{(r+2)(r-2)}\color{black}{}\cdot 8-\color{blue}{(r+2)(r-2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{30}{r-2}&\text{Clear denominators} \\ 30(r-2)=8(r+2)(r-2)-30(r+2)&\text{Distribute} \\ 30r-60=8r^2-32-30r-60&\text{Combine like terms} \\ 30r-60=8r^2-30r-92&\text{Notice the }8r^2\text{ term; solve by factoring} \\ 8r^2-60r-32=0&\text{Reduce all terms by a factor of }4 \\ 2r^2-15r-8=0&\text{Factor} \\ (2r+1)(r-8)=0&\text{Apply zero product rule} \\ 2r+1=0\text{ or }r-8=0&\text{Isolate the variable terms} \\ r=-\dfrac{1}{2}\text{ or }r=8&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]Dado que la tasa de la embarcación siempre es positiva, omitimos la solución\(r = −\dfrac{1}{2}\). Así, el hombre remó a razón de\(8\) millas por hora en agua sin gas.
Problemas de movimiento uniforme tarea
Un tren recorrió\(240\) kilómetros a cierta velocidad. Cuando el motor fue reemplazado por un modelo mejorado, la velocidad se incrementó en\(20\) km/hr y el tiempo de viaje para el viaje disminuyó por\(1\) hora. ¿Cuál era la tasa de cada motor?
La velocidad de la corriente en una corriente es\(3\) km/hr. Un hombre remó río arriba por\(3\) kilómetros y luego regresó. El viaje de ida y vuelta requirió\(1\) horas y\(20\) minutos. ¿Qué tan rápido estaba remando?
Un piloto que volaba a una velocidad constante contra un viento en contra de\(50\) km/hr voló por\(750\) kilómetros, luego invirtió dirección y regresó a su punto de partida. Completó el viaje de ida y vuelta en\(8\) horas. ¿Cuál era la velocidad del avión?
Dos conductores están probando el mismo modelo de automóvil a velocidades que difieren en\(20\) km/hr. El que conduce a un ritmo más lento conduce\(70\) kilómetros por una autopista y regresa por la misma ruta. El que conduce a un ritmo más rápido conduce\(76\) kilómetros por la autopista y regresa por la misma ruta. Ambos conductores salen al mismo tiempo, y el auto más rápido regresa\(\dfrac{1}{2}\) una hora antes que el auto más lento. ¿A qué tarifas se manejaron los autos?
Un atleta planea remar aguas arriba una distancia de\(2\) kilómetros para luego regresar a su punto de partida en un tiempo total de\(2\) horas y\(20\) minutos. Si la tasa de la corriente es\(2\) km/hr, ¿qué tan rápido debe remar?
Un automóvil va a un lugar a\(72\) kilómetros de distancia y luego regresa, el viaje de ida y vuelta ocupando\(9\) horas. Su velocidad al regresar es\(12\) millas por hora más rápida que su velocidad al ir. Encuentra la tasa de velocidad tanto en ir como en regresar.
Un automóvil realizó un viaje de\(120\) millas y luego regresó, el viaje de ida y vuelta ocupando\(7\) horas. Al regresar, la tasa se incrementó\(10\) millas por hora. Encuentra la tarifa de cada uno.
La tasa de un arroyo es de\(3\) millas por hora. Si una tripulación fila río abajo por una distancia de\(8\) millas y luego de regreso nuevamente, el viaje de ida y vuelta ocupando\(5\) horas, ¿cuál es la tasa de la tripulación en aguas tranquilas?
La distancia ferroviaria entre dos pueblos es de\(240\) millas. Si la velocidad de un tren aumentara\(4\) millas por hora, el viaje tomaría\(40\) minutos menos. ¿Cuál es la tarifa habitual del tren?
Al ir\(15\) millas por hora más rápido, un tren habría requerido una\(1\) hora menos para viajar\(180\) millas. ¿Qué tan rápido viajó?
El señor Jones visita a su abuela que vive a\(100\) kilómetros de distancia de forma regular. Recientemente se ha abierto una nueva autopista y, aunque la ruta de la autopista es de\(120\) millas, puede conducir\(20\) mph más rápido en promedio y toma\(30\) minutos menos tiempo para realizar el viaje. ¿Cuál es la tarifa del Sr. Jones tanto en la ruta antigua como en la autopista?
Si un tren hubiera viajado\(5\) millas por hora más rápido, habría necesitado\(1 \dfrac{1}{2}\) horas menos tiempo para recorrer\(150\) millas. Encuentra la tarifa del tren.
Un viajero que tiene\(18\) millas por recorrer, calcula que su tarifa habitual le haría llegar media hora tarde para una cita; encuentra que para llegar a tiempo debe viajar a una tarifa media milla por hora más rápido. ¿Cuál es su tarifa habitual?