9.5: Problemas de ingresos
- Page ID
- 117513
Los problemas de ingresos son problemas en los que una persona compra una cierta cantidad de artículos por un determinado precio por artículo. Si multiplicamos el número de artículos por el precio por artículo obtendremos el valor total. Podemos recordar problemas de ingresos en el capítulo de problemas de palabras. Se utilizó la fórmula\(AVT\):
\[\text{Amount}\cdot\text{Value}=\text{Total}\nonumber\]
Seguiremos usando la misma fórmula, pero reescribiéndola para modelar con ecuaciones racionales como
\[\text{Value}=\dfrac{\text{Total}}{\text{Amount}}\nonumber\]
Un hombre compra varios peces para\($56\). Después de que tres peces mueren, decide vender el resto con una ganancia de\($5\) por pez. Su beneficio total fue\($4\). ¿Cuántos peces compró para empezar?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Dejar\(n\) representar el número de peces y\(p\) ser el precio de cada pescado.
| Monto | Precio | Valor Total | |
|---|---|---|---|
| Comprar | \(n\) | \(p\) | \($56\) |
| Vender | \(n-3\) | \(p+5\) | \($56+$4\) |
Hablemos de la mesa por un momento. Cuando el hombre compró el pescado, el valor total del pescado comprado era\($56\). Dado que se desconoce el precio de cada pescado y la cantidad comprada, lo dejamos como\(p\) y\(n\), respectivamente. El hombre quiere vender el pescado, pero tres murieron; de ahí que la cantidad que queda por vender es\(n − 3\). Ya que quiere sacar provecho\($5\) por pez, entonces tomamos el precio por el que el hombre compró el pescado y agregamos\($5\),\(p + 5\). Se da que su beneficio total fue\($4\), por lo que su valor total por vender el pescado fue el valor original,\($56\), más la\($4\) ganancia; de ahí, un total de\($60\).
Finalmente, configuremos las ecuaciones y resolvamos:
\[\begin{array}{ll}p_{Buy}=\dfrac{56}{n}&p_{Sell}+5=\dfrac{60}{(n-3)} \\ p_{Buy}=\dfrac{56}{n}&p_{Sell}=\dfrac{60}{(n-3)}-5\end{array}\nonumber\]
Ya que resolvimos para\(p\) en cada ecuación, podemos establecer los\(p\)'s iguales entre sí:
\[\begin{array}{rl}p_{Buy}=p_{Sell}&\text{Set }p\text{'s equal to each other} \\ \dfrac{56}{n}=\dfrac{60}{(n-3)}-5&\text{Multiply by the LCD} \\ \color{blue}{n(n-3)}\color{black}{}\cdot\dfrac{56}{n}=\color{blue}{n(n-3)}\color{black}{}\cdot\dfrac{60}{(n-3)}-\color{blue}{n(n-3)}\color{black}{}\cdot 5&\text{Clear denominators} \\ 56(n-3)=60n-5n(n-3)&\text{Distribute} \\ 56n-168=60n-5n^2+15n &\text{Combine like terms} \\ 56n-168=75n-5n^2&\text{Notice the }5n^2\text{ term; solve by factoring} \\ 5n^2-19n-168=0&\text{Factor} \\ (5n+21)(n-8)=0&\text{Apply zero product rule} \\ 5n+21=0\text{ or }n-8=0&\text{Isolate variable terms} \\ n=-\dfrac{21}{5}\text{ or }n=8&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Dado que la cantidad de peces siempre es positiva, omitimos la solución\(n = −\dfrac{21}{5}\). Así, el hombre compró\(8\) pescado.
Un grupo de estudiantes compró un sofá para su dormitorio que costaba\($96\). No obstante,\(2\) los estudiantes no pagaron su parte, por lo que cada estudiante tuvo que pagar\($4\) más. ¿Cuántos alumnos había en el grupo original?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Dejar\(n\) representar el número de alumnos y\(p\) ser el precio de cada acción.
| Monto | Precio | Valor Total | |
|---|---|---|---|
| Trato original | \(n\) | \(p\) | \($96\) |
| Trato real | \(n-2\) | \(p+4\) | \($96\) |
Hablemos de la mesa por un momento. El trato original era que todos los estudiantes del grupo original con\(n\) número de alumnos iban a dividir el valor total del sofá valorado en\($96\). Dado que se desconoce el precio de cada acción y el número de alumnos, lo dejamos como\(p\) y\(n\), respectivamente. Cuando se trataba de pagar realmente el sofá,\(2\) los estudiantes no pagaban su parte; de ahí que el número de estudiantes que quedaban por pagar es\(n − 2\). Ya que esto aumenta cada acción del resto del grupo, entonces tomamos la parte original y agregamos\($4\),\(p + 4\).
Finalmente, configuremos las ecuaciones y resolvamos:
\[\begin{array}{ll}p_{o}=\dfrac{96}{n}&p_{A}+4=\dfrac{96}{(n-2)} \\ p_{o}=\dfrac{96}{n}&p_{A}=\dfrac{96}{(n-2)}-4\end{array}\nonumber\]
Ya que resolvimos para\(p\) en cada ecuación, podemos establecer los\(p\)'s iguales entre sí:
\[\begin{array}{rl} p_{o}=p_{A}&\text{Set }p\text{'s equal to each other} \\ \dfrac{96}{n}=\dfrac{96}{(n-2)}-4&\text{Multiply by the LCD} \\ \color{blue}{n(n-2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{96}{n}=\color{blue}{n(n-2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{96}{(n-2)}-\color{blue}{n(n-2)}\color{black}{}\cdot 4&\text{Clear denominators} \\ 96(n-2)=96n-4n(n-2)&\text{Distribute} \\ 96n-192=96n-4n^2+8n&\text{Combine like terms} \\ 96n-192=104n-4n^2&\text{Notice the }4n^2\text{ term; solve by factoring} \\ 4n^2-8n-192=0&\text{Reduce all terms by a factor of }4 \\ n^2-2n-48=0&\text{Factor} \\ (n+6)(n-8)=0&\text{Apply zero product rule} \\ n+6=0\text{ or }n-8=0&\text{Isolate variable terms} \\ n=-6\text{ or }n=8&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Dado que la cantidad de alumnos es siempre positiva, omitimos la solución\(n = −6\) y hubo\(8\) alumnos en el grupo original.
Problemas de ingresos Tareas
Un comerciante compró algunas piezas de seda para\($900\). Si hubiera comprado\(3\) piezas más por el mismo dinero, habría pagado\($15\) menos por cada pieza. Encuentra el número de piezas compradas.
Varios hombres suscribieron una cierta cantidad para suplir un déficit de\($100\) pero\(5\) los hombres no lograron pagar y así aumentaron la participación de los demás por\($1\) cada uno. Encuentra la cantidad que pagó cada hombre.
Un comerciante compró varios barriles de manzanas para\($120\). Se quedó con dos barriles y vendió el resto con una ganancia de\($2\) por barril obteniendo una ganancia total de\($34\). ¿Cuántos barriles compró originalmente?
Un comerciante compró una serie de ovejas para\($440\). Después de\(5\) haber muerto vendió el resto a una ganancia de\($2\) cada uno obteniendo un beneficio de\($60\) para las ovejas. ¿Cuántas ovejas compró originalmente?
Un hombre compró una serie de artículos a igual costo para\($500\). Vendió todos\($540\) menos dos con un beneficio de\($5\) por cada artículo. ¿Cuántos artículos compró?
Un trapo compró muchos trajes para\($750\). Vendió todos menos\(3\) de ellos por\($864\) obtener ganancias\($7\) de cada traje vendido. ¿Cuántos trajes compró?
Un grupo de chicos compró un barco para\($450\). Cinco niños no lograron pagar su parte, de ahí que cada uno de los niños restantes se vio obligado a pagar\($4.50\) más. ¿Cuántos chicos había en el grupo original y cuánto había acordado pagar cada uno?
Los gastos totales de una fiesta de campamento fueron\($72\). Si hubiera habido\(3\) menos personas en el partido, le habría costado a cada persona\($2\) más de lo que le costó. ¿Cuánta gente había en la fiesta y cuánto costó cada una?