10.1: Simplificar los radicales
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No todos los radicandos son cuadrados perfectos, donde cuando tomamos la raíz cuadrada, obtenemos un entero positivo. Por ejemplo, si entramos\(\sqrt{8}\) en una calculadora, la calculadora se visualizaría\(2.828427124746190097603377448419\cdots\) e incluso este número es una aproximación redondeada de la raíz cuadrada. Para ser lo más precisos posible, dejaremos todas las respuestas en forma exacta, es decir, las respuestas contienen números enteros y radicales, sin decimales.
Cuando decimos para simplificar una expresión con radicales, la expresión simplificada debería tener
- un radical, a menos que el radical se reduzca a un número entero
- un radicando sin factores que contengan cuadrados perfectos
- sin decimales
Siguiendo estas pautas se asegura que la expresión esté en su forma más simple.
Simplificar los radicales
Si\(a\),\(b\) son cualesquiera dos números reales positivos, entonces\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\nonumber\] En general, si\(a\),\(b\) son cualesquiera dos números reales positivos, entonces\[\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\nonumber\] donde\(n\) es un entero positivo y\(n\geq 2\).
Simplificar:\(\sqrt{75}\)
Solución
Podemos aplicar la regla del producto para radicales para simplificar este número. Necesitamos encontrar el factor más grande de\(75\) eso es un cuadrado perfecto (ya que tenemos una raíz cuadrada) y reescribir el radicand como producto de este cuadrado perfecto y su otro factor. El mayor factor de radicando\(75\) que es un cuadrado perfecto es\(25\).
\[\begin{array}{rl}\sqrt{75}&\text{Rewrite radicand as a product of }25\text{ and }3 \\ \sqrt{25\cdot 3}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{25}\cdot\sqrt{3}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot\sqrt{3}&\text{Rewrite} \\ 5\sqrt{3}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Si el radicando no es un cuadrado perfecto, nos vamos como está; de ahí, salimos\(\sqrt{3}\) como está.
Simplificar:\(\sqrt{72}\)
Solución
Podemos aplicar la regla del producto para radicales para simplificar este número. Necesitamos encontrar el factor más grande de\(72\) eso es un cuadrado perfecto (ya que tenemos una raíz cuadrada) y reescribir el radicand como producto de este cuadrado perfecto y su otro factor. El mayor factor de radicando\(72\) que es un cuadrado perfecto es\(36\).
\[\begin{array}{rl}\sqrt{72}&\text{Rewrite radicand as a product of }36\text{ and }2 \\ \sqrt{36\cdot 2}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{36}\cdot\sqrt{2}&\text{Simplify each square root} \\ 6\cdot\sqrt{2}&\text{Rewrite} \\ 6\sqrt{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Si el radicando no es un cuadrado perfecto, nos vamos como está; de ahí, salimos\(\sqrt{2}\) como está.
Simplifique los radicales con coeficientes
Simplificar:\(5\sqrt{63}\)
Solución
Podemos aplicar la regla de producto para radicales para simplificar este número y multiplicar coeficientes en los últimos pasos. Necesitamos encontrar el factor más grande de\(63\) eso es un cuadrado perfecto (ya que tenemos una raíz cuadrada) y reescribir el radicand como producto de este cuadrado perfecto y su otro factor. El mayor factor de radicando\(63\) que es un cuadrado perfecto es\(9\).
\[\begin{array}{rl}5\sqrt{63}&\text{Rewrite radicand as a product of }9\text{ and }7 \\ 5\sqrt{9\cdot 7}&\text{Apply product rule for radicals} \\ 5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{7}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot 3\cdot\sqrt{7}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 15\sqrt{7}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Si el radicando no es un cuadrado perfecto, nos vamos como está; de ahí, salimos\(\sqrt{7}\) como está.
Exponentes racionales
Cuando simplificamos los radicales, extraemos raíces de factores con exponentes en los que se encuentran múltiplos de la raíz (índice). Por ejemplo,\(\sqrt{x^4}=\sqrt[2]{x^4}=x^2\), pero fíjense que acabamos de dividir el poder encendido\(x\) por la raíz. Volvamos a ver el ejemplo, pero ahora como división de exponentes:
\[\sqrt{x^4}=\color{black}{\sqrt[\color{blue}{3}]{x\color{red}{^4}}=}x^{\dfrac{\color{red}{4}}{\color{blue}{2}}}=x^2\nonumber\]
La división con exponentes, o exponentes de fracción, se denominan exponentes racionales.
\(a\)Dejen ser la base,\(m\) y\(n\) sean números reales reales. Entonces
\[a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\nonumber\]
El denominador de un exponente racional es la raíz de lo radical y viceversa
Reescribir cada radical con su correspondiente exponente racional.
- \((\sqrt[5]{x})^3\)
- \((\sqrt[6]{3x})^5\)
- \(\dfrac{1}{\left(\sqrt[7]{a}\right)^3}\)
- \(\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{xy}\right)^2}\)
Solución
- Para la expresión\((\sqrt[5]{x})^3\), vemos que la raíz es\(5\). Esto quiere decir que el denominador del exponente racional es\(5\). De ahí que el numerador sea el exponente\(3\):\((\sqrt[5]{x})^3=x^{\dfrac{3}{5}}\).
- Para la expresión\((\sqrt[6]{3x})^5\), vemos que la raíz es\(6\). Esto quiere decir que el denominador del exponente racional es\(6\). De ahí que el numerador sea el exponente\(5\):\((\sqrt[6]{3x})^5=(3x)^{\dfrac{5}{6}}\).
- Para la expresión\(\dfrac{1}{(\sqrt[7]{a})^3}\), vemos que la raíz es\(7\). Esto quiere decir que el denominador del exponente racional es\(7\). De ahí que el numerador sea el exponente\(3\). Además, dado que la expresión con el radical está en el denominador, podemos reescribir la expresión usando un exponente negativo:\(\dfrac{1}{(\sqrt[7]{a})^3}=(a)^{-\dfrac{3}{7}}\).
- Para la expresión\(\dfrac{1}{(\sqrt[3]{xy})^2}\), vemos que la raíz es\(3\). Esto quiere decir que el denominador del exponente racional es\(3\). De ahí que el numerador sea el exponente\(2\). Además, dado que la expresión con el radical está en el denominador, podemos reescribir la expresión usando un exponente negativo:\(\dfrac{1}{(\sqrt[3]{xy})^2}=(xy)^{-\dfrac{2}{3}}\).
Reescribe cada expresión en su forma radical equivalente.
- \(a^{\dfrac{5}{3}}\)
- \((2mn)^{\dfrac{2}{7}}\)
- \(x^{-\dfrac{4}{5}}\)
- \((xy)^{-\dfrac{2}{9}}\)
Solución
- A partir de la definición, sabemos que el denominador del exponente racional es la raíz que convierte al numerador en el poder:\(a^{\dfrac{5}{3}}=\sqrt[3]{a^5}\) o\((\sqrt[3]{a})^5\).
- A partir de la definición, sabemos que el denominador del exponente racional es la raíz que convierte al numerador en el poder:\((2mn)^{\dfrac{2}{7}}=\sqrt[7]{(2mn)^2}\) o\((\sqrt[7]{2mn})^2\).
- De la definición, sabemos que el denominador del exponente racional es la raíz que convierte al numerador en el poder:\(x^{−\dfrac{4}{5}} = (\sqrt[5]{x})^{-4}\). Observe que la expresión aún contiene un exponente negativo. De ahí que necesitamos corresponder lo radical para reescribir la expresión con solo exponentes positivos:\[x^{-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{(\sqrt[5]{x})^4}\nonumber\]
- De la definición, sabemos que el denominador del exponente racional es la raíz que convierte al numerador en el poder:\((xy)^{−\dfrac{2}{9}} = (\sqrt[9]{x})^{−2}\). Observe que la expresión aún contiene un exponente negativo. De ahí que necesitamos corresponder lo radical para reescribir la expresión con solo exponentes positivos:\[(xy)^{-\dfrac{2}{9}}=\dfrac{1}{(\sqrt[9]{xy})^2}\nonumber\]
Nicole Oresme, matemática nacida en Normandía fue la primera en utilizar exponentes racionales. Utilizó la notación\(\dfrac{1}{3} • 9^{p}\) para representar\(9^{\dfrac{1}{3}}\). Sin embargo, su notación pasó en gran parte desapercibida
La capacidad de cambiar entre expresiones exponenciales racionales y expresiones radicales nos permite evaluar expresiones.
Evaluar\(27^{-\dfrac{4}{3}}\).
Solución
Primero reescribimos la expresión solo con exponentes positivos, luego evaluamos el exponente expuesto
\[\begin{array}{rl}27^{-\dfrac{4}{3}}&\text{Rewrite the expression with positive exponents} \\ \dfrac{1}{27^{\dfrac{4}{3}}}&\text{Rewrite in radical form} \\ \dfrac{1}{(\sqrt[3]{27})^4}&\text{Evaluate radical }\sqrt[3]{27}=3 \\ \dfrac{1}{(3)^4}&\text{Evaluate exponent }3^4=81 \\ \dfrac{1}{81}&\text{Result} \end{array}\nonumber\]
Por lo tanto,\(27^{−\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{81}\). Este resultado debe enfatizar el hecho de que los exponentes negativos significan recíprocos, y no números negativos.
Simplifique los radicales con variables
Comúnmente, los radicandos pueden contener variables. Al tomar las raíces cuadradas de las variables, sabemos que la raíz es\(2\); no siempre la escribimos, pero sabemos que está ahí. De ahí que aplicamos la regla del producto de los radicales reescribiendo el exponente de la variable y reescribimos los exponentes para que uno de los exponentes sea el mayor número par.
Simplificar:\(\sqrt{x^6 y^5}\)
Solución
Podemos aplicar la regla del producto para que los radicales simplifiquen reescribiendo el exponente de la variable y reescribiendo los exponentes para que uno de los exponentes sea el mayor número par.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{x^6y^5}&\text{Rewrite radicand} \\ \sqrt{x^6\cdot y^4\cdot y^1}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{x^6}\cdot\sqrt{y^4}\cdot\sqrt{y}&\text{Simplify each square root} \\ x^3\cdot y^2\cdot\sqrt{y}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ x^3y^2\sqrt{y}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Observe eso\((x^3)^2\) y\((y^2)^2=y^4\); de ahí, extraemos los cuadrados perfectos de las variables y dejamos el\(\sqrt{y}\) como está.
Recordemos, al tomar una raíz cuadrada de un número, el radicando debe ser mayor o igual a cero. Entonces, cuando estamos aplicando la raíz cuadrada a las variables, las variables también deben ser mayores o iguales a cero.
Observe, esencialmente estamos dividiendo los exponentes sobre las variables por dos y el factor que permanece en el radicando tiene exponente\(1\).
Simplificar:\(-5\sqrt{18x^4y^6z^{10}}\). Supongamos que todas las variables son positivas.
Solución
Podemos aplicar la regla del producto para que los radicales simplifiquen reescribiendo el exponente de la variable y reescribiendo los exponentes para que uno de los exponentes sea el mayor número par.
\[\begin{array}{rl}-5\sqrt{18x^4y^6z^{10}}&\text{Rewrite radicand} \\ -5\cdot\sqrt{9\cdot 2\cdot x^4\cdot y^6\cdot x^{10}}&\text{Apply product rule for radicals} \\ -5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{y^6}\cdot\sqrt{z^{10}}&\text{Simplify each square root} \\ -5\cdot 3\cdot\sqrt{2}\cdot x^2\cdot y^3\cdot z^5 &\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ -15x^2y^3z^5\sqrt{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\sqrt{20x^5y^9z^6}\). Supongamos que todas las variables son positivas.
Solución
Podemos aplicar la regla del producto para que los radicales simplifiquen reescribiendo el exponente de la variable y reescribiendo los exponentes para que uno de los exponentes sea el mayor número par.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{20x^5y^9z^6}&\text{Rewrite radicand} \\ \sqrt{4\cdot 5\cdot x^4\cdot x\cdot y^8\cdot y\cdot z^6}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{4}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{y^8}\cdot\sqrt{y}\cdot\sqrt{z^6}&\text{Simplify each square root} \\ 2\cdot\sqrt{5}\cdot x^2\cdot\sqrt{x}\cdot y^4\cdot\sqrt{y}\cdot z^3&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 2x^2y^4z^3\sqrt{5xy}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar la tarea de radicales
Simplificar. Supongamos que todas las variables son positivas.
\(\sqrt{245}\)
\(\sqrt{36}\)
\(\sqrt{12}\)
\(3\sqrt{12}\)
\(6\sqrt{128}\)
\(-8\sqrt{392}\)
\(\sqrt{192n}\)
\(\sqrt{196v^2}\)
\(\sqrt{252x^2}\)
\(-\sqrt{100k^4}\)
\(-7\sqrt{64x^4}\)
\(-5\sqrt{36m}\)
\(\sqrt{45x^2y^2}\)
\(\sqrt{16x^3y^3}\)
\(\sqrt{320x^4y^4}\)
\(6\sqrt{80xy^2}\)
\(5\sqrt{245x^2y^3}\)
\(-2\sqrt{180u^3v}\)
\(-8\sqrt{180x^4y^2z^4}\)
\(2\sqrt{80hj^4k}\)
\(-4\sqrt{54mnp^2}\)
\(\sqrt{125}\)
\(\sqrt{196}\)
\(\sqrt{338}\)
\(5\sqrt{32}\)
\(7\sqrt{128}\)
\(-7\sqrt{63}\)
\(\sqrt{343b}\)
\(\sqrt{100n^3}\)
\(\sqrt{200a^3}\)
\(-4\sqrt{175p^4}\)
\(-2\sqrt{128n}\)
\(8\sqrt{112p^2}\)
\(\sqrt{72a^3b^4}\)
\(\sqrt{512a^4b^2}\)
\(\sqrt{512m^4n^3}\)
\(8\sqrt{98mn}\)
\(2\sqrt{72x^2y^2}\)
\(-5\sqrt{72x^3y^4}\)
\(6\sqrt{50a^4bc^2}\)
\(-\sqrt{32xy^2z^3}\)
\(-8\sqrt{32m^2p^4q}\)
Escribe cada expresión en forma radical con solo exponentes positivos.
\(m^{\dfrac{3}{5}}\)
\((7x)^{\dfrac{3}{2}}\)
\((10r)^{-\dfrac{3}{4}}\)
\((6b)^{-\dfrac{4}{3}}\)
Escribe cada expresión en forma exponencial.
\(\dfrac{1}{(\sqrt{6x})^3}\)
\(\dfrac{1}{(\sqrt[4]{n})^7}\)
\(\sqrt{v}\)
\(\sqrt{5a}\)
Evaluar sin usar una calculadora.
\(8^{\dfrac{2}{3}}\)
\(4^{\dfrac{3}{2}}\)
\(16^{\dfrac{1}{4}}\)
\(100^{-\dfrac{3}{2}}\)