10.2: Sumar y restar radicales
- Page ID
- 117486
Sumar y restar radicales son muy similares a sumar y restar con variables. Para combinar términos, necesitan ser como términos. Con los radicales, tenemos algo similar llamado como radicales. Veamos un ejemplo con términos similares y radicales similares.
\[\begin{array}{cc}2\color{blue}{x}\color{black}{+}5\color{blue}{x}&\color{black}{2}\color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{+}5\color{blue}{\sqrt{3}} \\ (2+5)\color{blue}{x}&\color{black}{(}2+5)\color{blue}{\sqrt{3}} \\ 7\color{blue}{x}&\color{black}{7}\color{blue}{\sqrt{3}}\end{array}\nonumber\]
Observe que cuando combinamos los términos con\(\sqrt{3}\), era similar a combinar términos con\(x\). Al sumar y restar con radicales, podemos combinar como radicales igual que términos similares.
Si dos radicales tienen el mismo radicando y la misma raíz, entonces se les llama como radicales. Si esto es así, entonces\[a\sqrt{x}\pm b\sqrt{x}=(a\pm b)\sqrt{x},\nonumber\] dónde\(a\),\(b\) son números reales y\(x\) es algún número real positivo.
En general, para cualquier raíz\(n\),\[a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x}=(a\pm b)\sqrt[n]{x},\nonumber\] donde\(a\),\(b\) son números reales y\(x\) es algún número real positivo.
Al simplificar los radicales con suma y resta, primero simplificaremos la expresión, luego extraeremos cualquier factor del radicando siguiendo los lineamientos del apartado anterior.
Sumar y restar como radicales
Simplificar:\(7\sqrt[5]{6}+4\sqrt[5]{3}-9\sqrt[5]{3}+\sqrt[5]{6}\)
Solución
Observe, todos los índices son iguales, pero dos de los radicandos son diferentes. Sólo combinamos como radicales, donde la raíz y el radicando son lo mismo.
\[\begin{array}{rl}7\sqrt[5]{6}+4\sqrt[5]{3}-9\sqrt[5]{3}+\sqrt[5]{6}&\text{Combine the like radicals} \\ (7+1)\color{blue}{\sqrt[5]{6}}\color{black}{+}(4-9)\color{blue}{\sqrt[5]{3}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 8\color{blue}{\sqrt[5]{6}}\color{black}{-}5\color{blue}{\sqrt[5]{3}}&\color{black}{\text{Simplified expression}}\end{array}\nonumber\]
Aviso, radicandos\(6\) y no\(3\) tienen factores que sean\(5^{\text{th}}\) poderes perfectos. Así, la expresión se simplifica por completo.
Simplificar, luego sumar y restar como radicales
Simplificar:\(5\sqrt{45}+6\sqrt{18}-2\sqrt{98}+\sqrt{20}\)
Solución
Observe, todos los índices son iguales, pero ninguno de los radicandos es igual. No obstante, podemos ver que los radicandos tienen factores que son cuadrados perfectos. Podemos simplificar primero los radicandos, luego ver si podemos combinar como radicales.
\[\begin{array}{rl}5\sqrt{45}+6\sqrt{18}-2\sqrt{98}+\sqrt{20}&\text{Rewrite radicand} \\ 5\cdot\sqrt{9\cdot 5}+6\cdot\sqrt{9\cdot 2}-2\cdot\sqrt{49\cdot 2}+\sqrt{4\cdot 5}&\text{Apply product rule for radicals} \\ 5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}+6\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}-2\cdot\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot 3\cdot\sqrt{5}+6\cdot 3\cdot\sqrt{2}-2\cdot 7\cdot\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{5}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 15\sqrt{5}+18\sqrt{2}-14\sqrt{2}+2\sqrt{5}&\text{Combine the like radicals} \\ (15+2)\color{blue}{\sqrt{5}}\color{black}{+}(18-14)\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 17\color{blue}{\sqrt{5}}\color{black}{+}4\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Simplified expression}}\end{array}\nonumber\]
Los escritores árabes del\(16^{\text{th}}\) siglo utilizaron el símbolo similar al símbolo mayor que con un punto debajo,\(\stackrel{<}{·}\), para radicales.
Simplificar:\(4\sqrt[3]{54}-9\sqrt[3]{16}+5\sqrt[3]{9}\)
Solución
Aplicamos el mismo método que los ejemplos anteriores, pero la raíz es\(3\) y buscaremos el mayor factor del radicando que sea un cubo perfecto a la hora de simplificar los radicales.
\[\begin{array}{rl}4\sqrt[3]{54}-9\sqrt[3]{16}+5\sqrt[3]{9}&\text{Rewrite radicand} \\ 4\cdot\sqrt[3]{27\cdot 2}-9\cdot\sqrt[3]{8\cdot 2}+5\cdot\sqrt[3]{9}&\text{Apply product rule for radicals and simplify} \\ 4\cdot 3\sqrt[3]{2}-9\cdot 2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 12\sqrt[3]{2}-18\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Combine the like radicals} \\ (12-18)\color{blue}{\sqrt[3]{2}}\color{black}{+}5\sqrt[3]{9}&\text{Simplify} \\ -6\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Sumar y restar radicales tarea
Simplificar.
\(2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}\)
\(-3\sqrt{2}+3\sqrt{5}+3\sqrt{5}\)
\(-2\sqrt{6}-2\sqrt{6}-\sqrt{6}\)
\(3\sqrt{6}+3\sqrt{5}+2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{2}-3\sqrt{18}-\sqrt{2}\)
\(-3\sqrt{6}-\sqrt{12}+3\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{2}+2\sqrt{8}-3\sqrt{18}\)
\(3\sqrt{18}-\sqrt{2}-3\sqrt{2}\)
\(-3\sqrt{6}-3\sqrt{6}-\sqrt{3}+3\sqrt{6}\)
\(-2\sqrt{18}-3\sqrt{8}-\sqrt{20}+2\sqrt{20}\)
\(-2\sqrt{24}-2\sqrt{6}+2\sqrt{6}+2\sqrt{20}\)
\(3\sqrt{24}-3\sqrt{27}+2\sqrt{6}+2\sqrt{8}\)
\(-2\sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]{2}\)
\(2\sqrt[4]{243}-2\sqrt[4]{243}-\sqrt[4]{3}\)
\(3\sqrt[4]{2}-2\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{243}\)
\(-\sqrt[4]{324}+3\sqrt[4]{324}-3\sqrt[4]{4}\)
\(2\sqrt[4]{2}+2\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{64}-\sqrt[4]{3}\)
\(-3\sqrt[5]{6}-\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{192}-2\sqrt[5]{64}\)
\(2\sqrt[5]{160}-2\sqrt[5]{192}-\sqrt[5]{160}-\sqrt[5]{-160}\)
\(-\sqrt[6]{256}-2\sqrt[6]{4}-3\sqrt[6]{320}-2\sqrt[6]{128}\)
\(-3\sqrt{6}-3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\)
\(-2\sqrt{6}-\sqrt{3}-3\sqrt{6}\)
\(-3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\)
\(-\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\)
\(-\sqrt{54}-3\sqrt{6}+3\sqrt{27}\)
\(-\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{54}\)
\(2\sqrt{20}+2\sqrt{20}-\sqrt{3}\)
\(-3\sqrt{27}+2\sqrt{3}-\sqrt{12}\)
\(-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{8}+3\sqrt{6}\)
\(-3\sqrt{18}-\sqrt{8}+2\sqrt{8}+2\sqrt{8}\)
\(-3\sqrt{8}-\sqrt{5}-3\sqrt{6}+2\sqrt{18}\)
\(2\sqrt{6}-\sqrt{54}-3\sqrt{27}-\sqrt{3}\)
\(3\sqrt[3]{125}-\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{135}\)
\(-3\sqrt[4]{4}+3\sqrt[4]{324}+2\sqrt[4]{64}\)
\(2\sqrt[4]{6}+2\sqrt[4]{4}+3\sqrt[4]{6}\)
\(-2\sqrt[4]{243}-\sqrt[4]{96}+2\sqrt[4]{96}\)
\(2\sqrt[4]{48}-3\sqrt[4]{405}-3\sqrt[4]{48}-\sqrt[4]{162}\)
\(-3\sqrt[7]{3}-3\sqrt[7]{768}+2\sqrt[7]{384}+3\sqrt[7]{5}\)
\(-2\sqrt[7]{256}-2\sqrt[7]{256}-3\sqrt[7]{2}-\sqrt[7]{640}\)