10.8: Números complejos
- Page ID
- 117491
Cuando se utilizó por primera vez las matemáticas, el propósito principal era contar. Por lo tanto, originalmente no usaron números negativos, cero, fracciones o números irracionales. No obstante, los antiguos egipcios rápidamente desarrollaron la necesidad de “una parte” y así conformaron un nuevo tipo de número, la proporción o fracción. Los antiguos griegos no creían en números irracionales (la gente fue asesinada por creer lo contrario). Los mayas de Centroamérica más tarde compusieron el número cero cuando encontraron uso para ello como marcador de posición. Los matemáticos chinos antiguos componían números negativos cuando encontraron uso para ellos.
Cuando trabajamos con radicales, a menudo trabajamos con radicandos que son mayores o iguales a cero. ¿Y qué pasa con el caso cuando el radicando es negativo, sobre todo con raíces pares? Anteriormente, decíamos números como no\(\sqrt{-4}\) eran números reales, pero ¿qué tipo de número es? En este evento, llamamos números que contienen raíces cuadradas de números negativos números complejos. Antes de llegar al número complejo, discutimos la unidad imaginaria.
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria, denotada por\(i\), es el número cuyo cuadrado es\(−1\), es decir,\[i^2=-1\text{ or }i=\sqrt{-1}\nonumber\]
Simplifica el\(\sqrt{-16}\) uso de la unidad imaginaria.
Solución
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-16}&\text{Consider the negative as a factor of }-1 \\ \sqrt{-1\cdot 16}&\text{Apply the product property of square roots} \\ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{16}&\text{Evaluate and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ 4i&\sqrt{-16}\text{ using the imaginary unit}\end{array}\nonumber\]
Simplifica el\(\sqrt{-24}\) uso de la unidad imaginaria.
Solución
Para este ejemplo, utilizamos técnicas desde simplificar radicales además de reescribir el radical con la unidad imaginaria.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-24}&\text{Consider the negative as a factor of }-1 \\ \sqrt{-1\cdot 24}&\text{Apply the product property of square roots} \\ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{24}&\text{Simplify }\sqrt{24}\text{ and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ i\cdot\sqrt{4\cdot 6}&\text{Simplify the radical} \\ 2i\sqrt{6}&\sqrt{-24}\text{ using the imaginary unit}\end{array}\nonumber\]
Simplificar\((3i)(7i)\).
Solución
\[\begin{array}{rl}(3i)(7i)&\text{Multiply} \\ 21i^2&\text{Apply the definition and rewrite }i^2\text{ as }-1 \\ 21(\color{blue}{-1}\color{black}{)}&\text{Multiply} \\ -21&\text{Result}\end{array}\nonumber\]
Como regla general, siempre reescribimos\(\sqrt{-1}\) como\(i\), y\(i^2\) como\(-1\).
Números Complejos
Un número complejo es un número de la forma\(a + bi\), donde\(a\) y\(b\) son números reales, y\(a\) se llama la parte real de\(a + bi\) y\(bi\) se llama la parte imaginaria de\(a + bi\).
Expresar\(4+\sqrt{-64}\) como un número complejo en la forma\(a+bi\).
Solución
\[\begin{array}{rl}4+\sqrt{-64}&\text{Rewrite }\sqrt{-64}\text{ as factors }64\text{ and }-1 \\ 4+\sqrt{-1\cdot 64}&\text{Apply product property of square roots} \\ 4+\sqrt{-1}\cdot\sqrt{64}&\text{Simplify the radicals} \\ 4+8i&\text{Complex number}\end{array}\nonumber\]
Aquí,\(4\) es la parte real y\(8i\) es la parte imaginaria. Juntos, hacen un número complejo.
Expresar\(7-\sqrt{-18}\) como un número complejo en la forma\(a+bi\).
Solución
\[\begin{array}{rl}7-\sqrt{-18}&\text{Rewrite }\sqrt{-18}\text{ as factors }18\text{ and }-1 \\ 7-\sqrt{-1\cdot 18}&\text{Apply product property of square roots} \\ 7-\sqrt{-1}\cdot\sqrt{18}&\text{Simplify }\sqrt{18}\text{ and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ 7-i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&\text{Simplify the radical} \\ 7-3i\sqrt{2}&\text{Complex number}\end{array}\nonumber\]
Aquí,\(7\) es la parte real y\(−3i\sqrt{2}\) es la parte imaginaria. Juntos, hacen un número complejo.
Simplifique expresiones con números complejos
Al simplificar expresiones con números complejos, es importante que reescribamos cualquier radical que contenga\(\sqrt{-1}\) o\(i^2\), reemplazándolos por\(i\) y\(−1\), respectivamente. Entonces simplificamos.
Simplificar\(\sqrt{-6}\cdot\sqrt{-3}\).
Solución
Reescribimos cada factor usando la unidad imaginaria, luego aplicamos la operación.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-6}\cdot\sqrt{-3}&\text{Rewrite the radicals with }i \\ (i\sqrt{6})(i\sqrt{3})&\text{Multiply} \\ i^2\cdot\sqrt{18}&\text{Rewrite }i^2\text{ as }-1\text{ and simplify the }\sqrt{18} \\ -1\cdot\sqrt{9\cdot 2}&\text{Simplify the radical} \\ -1\cdot 3\sqrt{2}&\text{Simplify the }-1\cdot 3 \\ -3\sqrt{2}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Fíjate, aunque empezamos con unidades imaginarias, nuestro producto no contenía ninguna por el\(i^2\) término. Recordemos, cada vez que vemos una\(i^2\), la reescribimos como\(−1\), que contiene no\(i\).
Simplificar\(\dfrac{-15-\sqrt{-200}}{20}\).
Solución
Reescribimos cada término usando la unidad imaginaria según sea necesario, luego aplicamos la operación.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{-15-\sqrt{-200}}{20}&\text{Rewrite the radical with }i\text{ and as a product of factors} \\ \dfrac{-15-\sqrt{-1\cdot 100\cdot 2}}{20}&\text{Simplify the radical} \\ \dfrac{-15-10i\sqrt{2}}{20}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{5(-3-2i\sqrt{2})}{20}&\text{Reduce the fraction by a factor of }5 \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{5}}\color{black}{(}-3-2i\sqrt{2})}{\color{blue}{\cancelto{4}{20}}}&\color{black}{\text{Rewrite}} \\ \dfrac{-3-2i\sqrt{2}}{4}&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
La respuesta anterior bastará, pero si quisiéramos reescribir\(\dfrac{-3-2i\sqrt{2}}{4}\) como un número complejo estándar, entonces reescribiríamos la respuesta como\[-\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\nonumber\] dónde\(-\dfrac{3}{4}\) está la parte real y\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\) es la parte imaginaria.
Simplifique expresiones con números complejos sumando, restando y multiplicando
Aplicamos operaciones aritméticas a números complejos de una manera muy similar a la forma en que aplicamos operaciones aritméticas con expresiones que contienen variables. Combinamos términos similares, cuando es necesario. En este caso, términos similares son aquellos con partes reales y aquellos con partes imaginarias.
Agregar:\((2+5i)+(4-7i)\)
Solución
Simplificamos combinando términos similares: combinamos partes reales y combinamos partes imaginarias.
\[\begin{array}{rl}(2+5i)+(4-7i)&\text{Combine like terms} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(2+4)}}}+\underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-7i)}}}&\text{Simplify} \\ 6-2i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Resta:\((4-8i)-(3-5i)\)
Solución
Simplificamos combinando términos similares: combinamos partes reales y combinamos partes imaginarias, pero, primero, distribuimos la resta a cada término entre paréntesis después del signo de resta.
\[\begin{array}{rl}(4-8i)\color{blue}{-}\color{black}{(}3-5i)&\text{Distribute the negative} \\ 4-8i\color{blue}{-3+5i}&\color{black}{\text{Combine like terms}} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(4-3)}}} + \underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-8i)}}}&\text{Simplify} \\ 1-3i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((5i)-(3+8i)+(-4+7i)\)
Solución
Simplificamos combinando términos similares: combinamos partes reales y combinamos partes imaginarias, pero, primero, distribuimos la resta a cada término entre paréntesis después del signo de resta.
\[\begin{array}{rl}(5i)\color{blue}{-}\color{black}{(}3+8i)+(-4+7i)&\text{Distribute the negative} \\ 5i\color{blue}{-3-8i}\color{black}{-}4+7i&\text{Combine like terms} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(-3-4)}}}+\underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-8i+7i)}}} &\text{Simplify} \\ -7+4i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Multiplicar con números complejos es similar a multiplicar por variables excepto que reescribimos cada\[\sqrt{-1}\quad\text{as}\quad i\quad\text{and}\quad i^2\quad\text{as}\quad -1\nonumber\]
Simplificar:\(5i(3i-7)\)
Solución
Multiplicamos como de costumbre aplicando las mismas reglas de exponente.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5i}\color{black}{(}3i-7)&\text{Distribute }5i \\ 15\color{blue}{i^2}\color{black}{-}35i&\text{Rewrite }\color{blue}{i^2=-1} \\ 15\color{blue}{(-1)}\color{black}{-}35i&\text{Simplify} \\ -15-35i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Multiplicando expresiones donde los factores toman una forma binomial, aplicamos el método de FOIL, un método que discutimos en los exponentes y capítulo polinomial.
Recordemos, el método FOIL:
\[\begin{array}{ll} \textbf{F}\text{irst}&\text{-Multiply the first terms in each parenthesis} \\ \textbf{O}\text{uter}&\text{-Multiply the outer terms in each parenthesis} \\ \textbf{I}\text{nner}&\text{-Multiply the inner terms in each parenthesis} \\ \textbf{L}\text{ast}&\text{-Multiply the last terms in each parenthesis}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((2-4i)(3+5i)\)
Solución
Multiplicamos esta expresión usando el método de FOIL.
\[\begin{array}{rl}(2-4i)(3+5i)&\text{FOIL} \\ 6+10i-12i-20\color{blue}{i^2}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ 6+10i-12i-20\color{blue}{(-1)}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 6+10i-12i+20&\text{Combine like terms} \\ 26-2i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((4-5i)^2\)
Solución
Multiplicamos esta expresión usando ya sea el método de FOIL o la fórmula trinomial cuadrada perfecta, donde\((A − B)^2 = A^2 − 2AB + B^2\). Usemos la fórmula perfecta del trinomio cuadrado.
\[\begin{array}{rl}(4-5i)^2&\text{Apply the perfect square trinomial formula} \\ (4)^2-2(4)(5i)+(5i)^2&\text{Simplify} \\ 16-40i+25\color{blue}{i^2}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ 16-40i+25\color{blue}{(-1)}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 16-40i-25&\text{Combine like terms} \\ -9-40i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((3i)(6i)(2-3i)\)
Solución
Multiplicamos esta expresión como de costumbre y con distribución.
\[\begin{array}{rl}(3i)(6i)(2-3i)&\text{Multiple first two monomials} \\ \color{blue}{18i^2}\color{black}{(}2-3i)&\text{Distribute }\color{blue}{18i^2} \\ 36i^2-54\color{blue}{i^3}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^3=i^2\cdot i} \\ 36\color{blue}{i^2}\color{black}{-}54\color{blue}{i^2}\color{black}{\cdot}i&\text{Rewrite }\color{blue}{i^2=-1} \\ 36\color{blue}{(-1)}\color{black}{-}54\color{blue}{(-1)}\color{black}{i}&\text{Simplify} \\ -36+54i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Simplifique las expresiones con números complejos aplicando el conjugado
Dividir con números complejos es interesante si tenemos una parte imaginaria en el denominador. ¿Qué hacemos con un\(i\) en el denominador? Pensemos\(i\) y su representación:\(i = \sqrt{-1}\). Si hay una\(i\) en el denominador, entonces hay una raíz cuadrada en el denominador. De ahí que tengamos que racionalizar el denominador, pero ahora usando números complejos.
Para racionalizar el denominador con solo una parte imaginaria en el denominador, multiplicar el numerador y el denominador por\(i\), por ejemplo,\[\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{i}{i}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{7+3i}{-5i}\)
Solución
Vemos que hay una\(−5i\) en el denominador. Podemos multiplicar el numerador y el denominador por\(i\) para reescribir el denominador sin\(i\), es decir, sin raíz cuadrada.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{7+3i}{-5i}&\text{Multiply numerator and denominator by }i \\ \dfrac{(7+3i)}{-5i}\cdot\dfrac{i}{i}&\text{Distribute }i\text{ in numerator} \\ \dfrac{7i+3\color{blue}{i^2}}{-5\color{blue}{i^2}}&\color{black}{\text{Rewrite }}i^2=-1 \\ \dfrac{7i+3\color{blue}{(-1)}}{-5\color{blue}{(-1)}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{7i-3}{5}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Hay momentos en los que el denominador dado no es sólo la parte imaginaria. Muchas veces, en el denominador, tenemos un número complejo. Para racionalizar estos denominadores, utilizamos el conjugado.
Racionalizamos denominadores con números complejos del tipo\(a ± bi\) multiplicando el numerador y denominador por sus conjugados, e.g.\[\dfrac{1}{a+bi}\cdot\dfrac{a-bi}{a-bi}\nonumber\]
El conjugado para
- \(a+bi\)es\(a-bi\)
- \(a-bi\)es\(a+bi\)
Simplificar:\(\dfrac{2-6i}{4+8i}\)
Solución
Vemos que hay una\(4+8i\) en el denominador. Podemos multiplicar el numerador y el denominador por\(4 − 8i\) para reescribir el denominador sin\(i\), es decir, sin raíz cuadrada.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{2-6i}{4+8i}&\text{Multiply numerator and denominator by conjugate} \\ \dfrac{2-6i}{4+8i}\cdot\dfrac{4-8i}{4-8i}&\text{Multiply numerator and denominator} \\ \dfrac{8-16i-24i+48\color{blue}{i^2}}{16-64\color{blue}{i^2}}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ \dfrac{8-16i-24i+48\color{blue}{(-1)}}{16-64\color{blue}{(-1)}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{8-16i-24i-48}{16+64}&\text{Combine like terms} \\ \dfrac{-40-40i}{80}&\text{Factor out GCF from numerator} \\ \dfrac{40(-1-i)}{80}&\text{Reduce out GCF from numerator} \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{40}}\color{black}{(}-1-i)}{\color{blue}{\cancelto{2}{80}}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{-1-i}{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Poderes de\(i\)
Echemos un vistazo a los poderes de\(i\):
\[\begin{array}{lll}i^1=i & i^5=i & i^9=i \\ i^2=-1 & i^6=-1 & i^{10}=-1 \\ i^3=-i & i^7=-i & i^{11}=-i \\ i^4=1 & i^8=1 & i^{12}=1\end{array}\nonumber\]
Observe, después de cada cuarta potencia de\(i\), el ciclo comienza de nuevo donde está cada potencia que es un múltiplo de cuatro\(1\). De ahí que para cualquier poder de\(i\), podemos simplificar fácilmente reescribiendo el poder de\(i\) como producto de\(i\) eso es un múltiplo de cuatro y\(i\) elevado a un poder de como máximo\(3\). Veamos un ejemplo.
Simplificar:\(i^{35}\)
Solución
Observe que el poder es\(35\), que equivale a\(32\) más\(3\). Podemos reescribir el poder como suma de\(32\) y\(3\), luego, la expresión como producto.
\[\begin{array}{rl}i^{35}&\text{Rewrite the power as a sum with the largest multiple of four} \\ i^{32+3}&\text{Rewrite as a product using product rule of exponents} \\ i^{32}\cdot i^3&\text{Simplify} \\ 1\cdot -i&\text{Multiply} \\ -i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Para encontrar dónde dividir el poder\(i\), podríamos dividir el poder por cuatro. Luego usa el resto para evaluar la expresión. Por ejemplo, en Example 10.8.17 , podríamos dividir\(35\) por\(4\):\[35\div 4=8\text{ R}\color{red}{3}\nonumber\]
Luego usa el resto\(3\) para evaluar\(i^{35}\), es decir,\[i^{35}=i^{\color{red}{3}}\color{black}{=}-i\nonumber\]
Simplificar:\(i^{73}\)
Solución
Usando la nota anterior, tomemos el poder\(73\) y dividamos por\(4\):\[73\div 4=18\text{ R}\color{red}{1}\nonumber\]
Podemos usar el resto para reescribir\(i^{73}\) como\[i^{73}=i^{\color{red}{1}}\color{black}{=i}\nonumber\]
De ahí\(i^{73}=i\).
Podemos usar el método del resto o el método que se muestra en Example 10.8.17 .
Simplificar:\(i^{124}\)
Solución
Usando el método del resto, tomemos\(124\) y dividamos por\(4\):\[124\div 4=31\text{ R}\color{red}{0}\nonumber\]
Podemos usar el resto para rewrtie\(i^{124}\) como\[i^{124}=i^{\color{red}{0}}\color{black}{=1}\nonumber\]
De ahí\(i^{124} = 1\). Observe, el poder\(124\) es un múltiplo de cuatro, y sabemos que cualquier poder de\(i\) eso es un múltiplo de cuatro es uno del ciclo para poderes de\(i\).
Tareas de Números Complejos
Simplificar.
\(\sqrt{-64}\)
\(\sqrt{-9}\)
\(\sqrt{-81}\)
\(\sqrt{-121}\)
\(\sqrt{-100}\)
\(\sqrt{-45}\)
\(\sqrt{-90}\)
\(\sqrt{-420}\)
\(\sqrt{-245}\)
\((6i)(-8i)\)
\((-5i)(8i)\)
\((-8i)(4i)\)
\((-3i)(-4i)\)
\((-9i)(-4i)\)
\((3i)(5i)\)
\((-7i)^2\)
\(\sqrt{-10}\cdot\sqrt{-2}\)
\(\sqrt{-12}\cdot\sqrt{-2}\)
\(-7-\sqrt{-16}\)
\(-3+\sqrt{-121}\)
\(2-\sqrt{-25}\)
\(4+\sqrt{-4}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{-27}}{6}\)
\(\dfrac{8-\sqrt{-16}}{4}\)
\(\dfrac{-4-\sqrt{-8}}{-4}\)
\(\dfrac{6+\sqrt{-32}}{4}\)
\(\dfrac{25-\sqrt{-75}}{5}\)
\(\dfrac{-10+\sqrt{-250}}{5}\)
\(\dfrac{15+\sqrt{-108}}{6}\)
\(\dfrac{12+\sqrt{-192}}{8}\)
\(3-(-8+4i)\)
\((7i)-(3-2i)\)
\((-6i)-(3+7i)\)
\((3-3i)+(-7-8i)\)
\((i)-(2+3i)-6\)
\((6+5i)^2\)
\((-7-4i)(-8+6i)\)
\((-4+5i)(2-7i)\)
\((-8-6i)(-4+2i)\)
\((1+5i)(2+i)\)
\(\dfrac{-9+5i}{i}\)
\(\dfrac{-10-9i}{6i}\)
\(\dfrac{-3-6i}{4i}\)
\(\dfrac{10-i}{-i}\)
\(\dfrac{4i}{-10+i}\)
\(\dfrac{8}{7-6i}\)
\(\dfrac{7}{10-7i}\)
\(\dfrac{5i}{-6-i}\)
\((3i)-(7i)\)
\(5+(-6-6i)\)
\((-8i)-(7i)-(5-3i)\)
\((-4-i)+(1-5i)\)
\((5-4i)+(8-4i)\)
\((-i)(7i)(4-3i)\)
\((8i)(-2i)(-2-8i)\)
\((3i)(-3i)(4-4i)\)
\(-8(4-8i)-2(-2-6i)\)
\((-6i)(3-2i)-(7i)(4i)\)
\((-2+i)(3-5i)\)
\(\dfrac{-3+2i}{-3i}\)
\(\dfrac{-4+2i}{3i}\)
\(\dfrac{-5+9i}{9i}\)
\(\dfrac{10}{5i}\)
\(\dfrac{9i}{1-5i}\)
\(\dfrac{4}{4+6i}\)
\(\dfrac{9}{-8-6i}\)
\(\dfrac{8i}{6-7i}\)
\(i^{77}\)
\(i^{48}\)
\(i^{62}\)
\(i^{154}\)
\(i^{251}\)
\(i^{68}\)
\(i^{181}\)
\(i^{51}\)