10.7: Resolver con exponentes racionales
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En esta sección, llevamos la resolución con radicales un paso más allá y aplicamos radicales y exponentes racionales para resolver ecuaciones con exponentes. Dado que los radicales tienen algunas restricciones sobre el radicando, aquí también tendremos algunas restricciones a la hora de aplicar exponentes racionales en el proceso de resolución.
La propiedad Odd Root
Empecemos con el caso de que tomamos una extraña raíz de una ecuación.
Si\(x^n=p\), donde\(n\) es extraño, entonces\(\sqrt{x}=\sqrt[n]{p}\). Tenga en cuenta que el radicando puede ser cualquier número real, es decir,\(p\) es cualquier número en\((-\infty, \infty)\).
Resolver:\(x^5=32\)
Solución
Podemos aplicar fácilmente la propiedad de root impar para resolver\(x\).
\[\begin{array}{rl}x^5=32&\text{Apply odd root property} \\ \sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{32}&\text{Simplify} \\ x=2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver:\(4r^3-2=106\)
Solución
Podemos aplicar fácilmente la propiedad de root impar para resolver\(r\).
\[\begin{array}{rl}4r^3-2=106&\text{Isolate the variable term} \\ 4r^3=108&\text{Isolate }r^3 \\ r^3=27&\text{Apply odd root property} \\ \sqrt[3]{r^3}=\sqrt[3]{27}&\text{Simplify} \\ r=3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
La propiedad Even Root
Con raíces pares, tenemos la restricción sobre el radicando donde se requiere que el radicando sea no negativo aquí. Lo discutimos en la sección anterior, e.g., no\(\sqrt{-4}\) es un número real. Continuamos con esta restricción al tomar raíces pares de una ecuación.
Si\(x^n = p\), donde\(n\) es par, entonces\(x =\sqrt[n]{p}\)\( x = −\sqrt[n]{p}\) o o podemos escribir\(x = \pm\sqrt[n]{p}\). Tenga en cuenta que el radicando puede ser cualquier número real no negativo, es decir,\(p\geq 0\).
Resolver:\(x^4=16\)
Solución
Podemos aplicar fácilmente la propiedad de root par para resolver\(x\).
\[\begin{array}{rl}x^4=16&\text{Apply even root property} \\ \sqrt[4]{x^4}=\sqrt[4]{16}&\text{Simplify} \\ |x|=\pm 2 \\ x=\pm 2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe, no se le dio eso\(x ≥ 0\). De ahí que no podamos asumir que lo es, así que ponemos valor absoluto alrededor\(x\). Una vez que verifiquemos la (s) solución (s), entonces podremos eliminar el valor absoluto alrededor\(x\).
En 1545, el matemático francés Gerolamo Cardano publicó su libro El gran arte, o las reglas del álgebra, que incluía la solución a una ecuación con un cuarto poder, pero fue considerado absurdo por muchos llevar una cantidad al cuarto poder porque ¡solo hay tres dimensiones!
Resolver:\((2x + 4)^2 = 36\) Encuentra y verifica todas las soluciones que satisfagan la ecuación.
Solución
Podemos aplicar fácilmente la propiedad de root par para resolver\(x\).
\[\begin{array}{rl}(2x+4)^2=36&\text{Apply even root property} \\ \sqrt{(2x+4)^2}=\pm\sqrt{36} &\text{Simplify }\sqrt{36} \\ 2x+4=\pm 6&\text{Rewrite into two equations} \\ 2x+4=6\quad\text{or}\quad 2x+4=-6&\text{Isolate the variable term in each equation} \\ 2x=2\quad\text{or}\quad 2x=-10&\text{Solve each equation} \\ x=1\quad\text{or}\quad x=-5&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Siempre podemos verificar las soluciones sustituyendo de nuevo en\(1\),\(−5\) en la ecuación original:
\[\begin{array}{rl} (2x+4)^2=36&\text{Plug-n-chug }x=1 \\ (2(\color{blue}{1}\color{black}{)}+4)^2\stackrel{?}{=}36&\text{Simplify each side} \\ (2+4)^2\stackrel{?}{=}36 \\ 6^2\stackrel{?}{=}36 \\ 36=36&\checkmark\text{True}\end{array}\nonumber\]
Probemos la siguiente solución\(x=-5\):
\[\begin{array}{rl}(2x+4)^2=36&\text{Plug-n-chug }x=-5 \\ (2(\color{blue}{-5}\color{black}{)}+4)^2\stackrel{?}{=}36&\text{Simplify each side} \\ (-10+4)^2\stackrel{?}{=}36 \\ (-6)^2\stackrel{?}{=}36 \\ 36=36&\checkmark\text{True}\end{array}\nonumber\]
Así,\(1\), (-5) son, de hecho, soluciones a la ecuación original.
Resolver:\((6x − 9)^2 = 45\) Encuentra y verifica todas las soluciones que satisfagan la ecuación.
Solución
\[\begin{array}{rl}(6x-9)^2=45&\text{Apply even root property} \\ \sqrt{(6x-9)^2}=\pm \sqrt{45}&\text{Simplify }\sqrt{45} \\ 6x-9=\pm 3\sqrt{5}&\text{Isolate the variable term} \\ 6x=9\pm 3\sqrt{5}&\text{Divide both sides by }6 \\ x=\dfrac{9\pm 3\sqrt{5}}{6}&\text{Factor a GCF from numerator} \\ x=\dfrac{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{9}3\pm\sqrt{5})}{\color{blue}{\cancelto{2}{6}}} &\color{black}{\text{Simplify}} \\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe, no dividimos la ecuación en dos ecuaciones diferentes y resolvimos. Ya que\(\sqrt{45}\) es un número irracional, podemos dejar el\(±\) y resolver como de costumbre. Dejamos verificando las soluciones al alumno.
Resolver:\(256w^8+40=41\)
Solución
Tenemos que aislar primero el término variable, luego podemos aplicar la propiedad root par.
\[\begin{array}{rl}256w^8+40=41&\text{Isolate the variable term.} \\ 256w^8=1&\text{Divide each side by }256\\ w^8=\dfrac{1}{256}&\text{Apply even root property} \\ \sqrt[8]{w^8}=\pm\sqrt[8]{\dfrac{1}{256}}&\text{Simplify the radicals} \\ |w|=\pm\dfrac{1}{2} \\ w=\pm\dfrac{1}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe, no se le dio eso\(w\geq 0\). De ahí que no podamos asumir que lo es y ponemos valor absoluto alrededor\(w\). Una vez que verifiquemos la (s) solución (s), entonces podremos eliminar el valor absoluto alrededor\(w\).
Resolver ecuaciones con exponentes racionales
Cuando los exponentes son fracciones, convertimos el exponente racional en una expresión radical para resolver. Recordemos,\(a^{\dfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Después limpiamos el exponente aplicando ya sea la propiedad de raíz par o impar y resolvemos como de costumbre.
Dada una ecuación con exponentes racionales, podemos seguir los siguientes pasos para resolver.
Paso 1. Reescribe cualquier exponente racional como radicales.
Paso 2. Aplicar la propiedad raíz impar o par. Recordemos, incluso las raíces requieren que el radicando sea positivo a menos que se indique lo contrario.
Paso 3. Levanta cada lado al poder de la raíz.
Paso 4. Resolver. Verifica las soluciones, especialmente cuando hay una raíz pareja.
Resolver:\((4x+1)^{\dfrac{2}{5}}=9\). Supongamos que todas las variables son positivas.
Solución
Seguimos los pasos para resolver la ecuación con un exponente racional.
Paso 1. Reescribe cualquier exponente racional como radicales. \[\begin{aligned} (4x+1)^{\dfrac{2}{5}}&=9 \\ (\sqrt[5]{4x+1})^2&=9\end{aligned}\]
Paso 2. Aplicar la propiedad raíz impar o par. Recordemos, incluso las raíces requieren que el radicando sea positivo a menos que se indique lo contrario.
Ya que estamos tomando la raíz cuadrada, que es par, entonces aplicamos la propiedad even root:\[\begin{aligned}(\sqrt[5]{4x+1})^2&=9 \\ \sqrt[5]{4x+1}&=\pm\sqrt{9} \\ \sqrt[5]{4x+1}=\pm 3\end{aligned}\]
Paso 3. Levanta cada lado al poder de la raíz.
Como la raíz es\(5\), entonces podemos elevar cada lado a la quinta potencia:\[\begin{aligned}\sqrt[5]{4x+1}&=\pm 3 \\ (\sqrt[5]{4x+1})^5&=(\pm 3)^5 \\ 4x+1&=\pm 243\end{aligned}\]
Paso 4. Resolver. Verifica las soluciones, especialmente cuando hay una raíz pareja. \[\begin{array}{rll}4x+1=243&\text{or}&4x+1=-243 \\ 4x=242&\text{or}&4x=-244 \\ x=\dfrac{242}{4}&\text{or}&x=-61 \\ x=\dfrac{121}{2}&\text{or}&x=-61\end{array}\nonumber\]Podemos verificar todas las soluciones. Empecemos por verificar que\(x=-61\) es una solución. \[\begin{aligned}(\sqrt[5]{4x+1})^2&=9 \\ (\sqrt[5]{4(\color{blue}{-61}\color{black}{)}+61})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (\sqrt[5]{-244+1})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (\sqrt[5]{-243})^2&\stackrel{?}{=}9 \\ (-3)^2&\stackrel{?}{=}9 \\ 9&=9\:\checkmark\text{ True}\end{aligned}\]Dejamos la verificación de la segunda solución al alumno.
Así, las soluciones a la ecuación son\(\dfrac{121}{2},-61\).
Resolver:\((3x-2)^{\dfrac{3}{4}}=64\)
Solución
Seguimos los pasos para resolver la ecuación con un exponente racional.
Paso 1. Reescribe cualquier exponente racional como radicales. \[\begin{aligned}(3x-2)^{\dfrac{3}{4}}&=64 \\ (\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \end{aligned}\]
Paso 2. Aplicar la propiedad raíz impar o par. Recordemos, incluso las raíces requieren que el radicando sea positivo a menos que se indique lo contrario.
Ya que estamos tomando la raíz cubo, que es impar, entonces aplicamos la propiedad de root impar:\[\begin{aligned}(\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \\ \sqrt[4]{3x-2}&=\sqrt[3]{64} \\ \sqrt[4]{3x-2}&=4\end{aligned}\]
Paso 3. Levanta cada lado al poder de la raíz.
Como la raíz es\(4\), entonces podemos elevar cada lado a la cuarta potencia:\[\begin{aligned}\sqrt[4]{3x-2}&=4 \\ (\sqrt[4]{3x-2})^4&=4^4 \\ 3x-2&=256\end{aligned}\]
Paso 4. Resolver. Verifica las soluciones, especialmente cuando hay una raíz pareja. \[\begin{aligned}3x-2&=256 \\ 3x&=258 \\ x&=86\end{aligned}\]Dado que hay una raíz par en la ecuación original, debemos verificar la solución. \[\begin{aligned}(\sqrt[4]{3x-2})^3&=64 \\ (\sqrt[4]{3(\color{blue}{86}\color{black}{)}-2})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (\sqrt[4]{258-2})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (\sqrt[4]{256})^3&\stackrel{?}{=}64 \\ (4)^3&\stackrel{?}{=}64 \\ 64&=64\:\checkmark\text{ True}\end{aligned}\]
Así, la solución es\(86\).
A la hora de resolver ecuaciones con exponentes racionales, es muy útil convertir las ecuaciones en su forma radical para que podamos ver qué propiedad necesitamos usar e identificar si necesitamos verificar las soluciones debido a una raíz uniforme en la ecuación original.
Resolviendo con los exponentes racionales
Resolver.
\(x^2=75\)
\(x^2+5=13\)
\(3x^2+1=73\)
\((x+2)^5=-243\)
\((2x+5)^3-6=21\)
\((x-1)^{\dfrac{2}{3}}=4\)
\((2-x)^{\dfrac{3}{2}}=27\)
\((2x-3)^{\dfrac{2}{3}}=4\)
\((x+\dfrac{1}{2})^{-\dfrac{2}{3}}=4\)
\((x-1)^{-\dfrac{5}{2}}=32\)
\((3x-2)^{\dfrac{4}{5}}=16\)
\((4x+2)^{\dfrac{3}{5}}=-8\)
\(x^3=-8\)
\(4x^3-2=106\)
\((x-4)^2=49\)
\((5x+1)^4=16\)
\((2x+1)^2+3=21\)
\((x-1)^{\dfrac{3}{2}}=8\)
\((2x+3)^{\dfrac{4}{3}}=16\)
\((x+3)^{-\dfrac{1}{3}}=4\)
\((x-1)^{-\dfrac{5}{3}}=32\)
\((x+3)^{\dfrac{3}{2}}=-8\)
\((2x+3)^{\dfrac{3}{2}}=27\)
\((3-2x)^{\dfrac{4}{3}}=-81\)